湘教版（2019）必修 第一册3.2 函数的基本性质同步测试题

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3.2.1函数的单调性与最值同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知函数，函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数，函数，若，，不等式成立，则实数的取值范围为

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

4. 若不等式对一切都成立，则的最小值为   

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围为

A.  B.  C.  D.

6. 函数     

A. 有最小值，无最大值 B. 有最大值，无最小值
C. 有最小值，有最大值 D. 无最大值，也无最小值

7. 函数的单调增区间是

A.  B.  C.  D.

8. 若函数在区间上的最大值为，则实数   

A.  B.  C.  D. 或

9. 已知二次函数，若对任意的，，有，则的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

10. 设函数的定义域为，若满足：在内是单调增函数；存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”若函数且是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 设函数，则使得成立的的取值范围是  

A.  B.
C.  D.

12. 已知函数是奇函数，且在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上 

A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值

二、多空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 定义：函数在区间上的最大值与最小值的差为在区间上的极差，记作．

若，则          ； 

若，且，则实数的取值范围是          ．

14. 函数的单调减区间为          ；若函数在上在取得最小值，则实数的取值范围是          ．
15. 若表示两数中的最大值，若，则的最小值为          ，若关于对称，则          ．
16. 定义若函数，则最小值为          ，不等式的解集为          ．
17. 函数的单调减区间为          ；若函数在上在取得最小值，则实数的取值范围是          ．
18. 已知则          ，的最小值为          

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

19. 已知函数．

若定义域为，求的取值范围；

若，求的单调区间；

是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．






 

20. 已知函数．

当时，求函数的值域；

若函数的最大值是，求实数的值；

已知，若存在两个不同的正数，，当函数的定义域为时，函数的值域为，求实数的取值范围．






 

21. 已知函数

当时，求函数最大值；

当时，函数有意义，求实数的取值范围．






 

22. 已知函数是函数的反函数．

求函数的单调递增区间；

设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围．






 

23. 已知函数．

若定义域为，求的取值范围；

若，求的单调区间；

是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．






 

24. 已知函数．

若，求的单调区间．

若有最大值，求的值．

若的值域是，求的值．






 

25. 已知幂函数为偶函数一次函数满足，．

Ⅰ求和的解析式；

Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的单调性的应用、函数的最值、不等式恒成立问题，属中档题．
将已知转化为在上的最大值小于在上的最大值来解决．
【解答】
解：函数，函数，
若，，使得不等式
在上的最大值小于在上的最大值．
由
，
所以；
由


，；
当时，，，符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
，，
因为，
则；
此时，得出．
 当时，在单调递增，在单调递减，
则，
此时，得出．
综上所述实数的取值范围为  ，
故选D．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的单调性的应用、函数的最值、不等式恒成立问题，属中档题．
将已知转化为在上的最大值小于在上的最大值来解决．
【解答】
解：函数，函数，
若，，使得不等式
在上的最大值小于在上的最大值．
由
，
所以；
由


，；
当时，，，符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
，，
因为，
则；
此时，得出．
 当时，在单调递增，在单调递减，
则，
此时，得出．
综上所述实数的取值范围为  ，
故选D．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查对勾函数的性质，属于基础题．
解决问题的关键利用对勾函数判断函数的单调性，进而确定最值．

【解答】

解：由对勾函数的性质可得在上单调递减，

时，单调递减，

当时，取得最小值为．
故选A．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
由题意，可得对于一切恒成立，由函数在上单调递减，求出函数的最小值，即可求出结果．
【解答】
解：不等式对于一切恒成立，
即有对于一切恒成立，
令，
由对勾函数的单调性可得，函数在上单调递减，
则当时，取得最小值，最小值为，
则有，解得，
则的最小值为．
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值以及函数的对称性，属于中档题．
利用配方法得出，开口向上，对称轴，根据最值可得实数的取值范围．

【解答】

解：由题意，，开口向上，对称轴，
当且仅当时，函数取得最小值，则可知该函数在单调递减，
所以对称轴一定在给定区间的右侧或右端点处，即，
又，所以．
故选A．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值，属于中档题．
利用复合函数的单调性，即可得函数的最值．

【解答】

解：在定义域上是增函数，

，即函数的最小值为，无最大值．
故选A

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

根据复合函数单调性之间的关系求函数的递增区间即可．
本题主要考查函数单调递增区间的求解．

【解答】

解：由得或，即函数的定义域为，
设，则函数的增区间为，减区间为，
是增函数，
根据复合函数的单调性的性质可知，函数的递增区间是，
故选：．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复合函数的单调性，属于中档题．
先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可．

【解答】

解：函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减函数，最大值为
当时，在上单调递增函数，最大值为，
即，显然不合题意；
当时，，，不符合题意舍去；
故实数．
故选B．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查二次函数的性质及其最值．
根据二次函数的性质得到其对称轴，然后讨论其在上的单调性，使其在上的最值之差的绝对值小于等于即可．

【解答】

解：函数的对称轴是，
当时，即，在上单调递增，
要使任意的，，有，
只需，解得，
；
当时，即，
在上单调递减，在上单调递增，
要使任意的，，有，
只需，解得，
；
当时，即，在上单调递减，
要使任意的，，有，
只需，即，解得，
；
综上所述，
故选C 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查对数的基本运算，准确把握“成功函数”的概念，合理运用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式是解决本题的关键，综合性较强，是难题．
根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解． 
【解答】
解：依题意，函数且是定义域为的“成功函数”，
设存在，使得在上的值域为，

即
，是方程的两个不等的实根，
设，则，
方程等价为的有两个不等的正实根，
即
，解得，
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查复合函数的奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，考查绝对值不等式，运用偶函数的性质是解题的关键．
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，可得函数在时为增函数，在时为减函数，将不等式进行转化，等价为，即，平方后求解即可．
【解答】
解：函数的定义域为，且，
函数为偶函数，
当时，为增函数，为增函数，
故函数在时为增函数，在时为减函数，
等价为，
即，
平方得，解得或，
所求的取值范围是 ．
故选D．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．

【解答】

解：函数是奇函数，在上是减函数，
在上也是减函数，
在区间上的值域为，
最大值为，最小值为，
在区间上也是减函数，且最大值为，
最小值为，
故选：．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的单调性和对勾函数的单调性，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于较难题．
求得的对称轴，判断在的单调性，可得最值，即可得到所求；
由题意可得在不单调，讨论，，，结合对勾函数的单调性，即可得到的范围．

【解答】

解：的对称轴为，
可得在递增，
可得的最大值为，
最小值为，
可得；
若，且，
可得不为单调函数，
若时，为的递增函数，
若时，为的递增函数，
若时，根据对勾函数的单调性可知在处单调性发生变化，
则，可得，
即的范围是．
故答案为：；．

14.【答案】和

【解析】

【分析】

本题考查判断函数的单调区间，分段函数，其中画出满足条件的图象，利用数形结合的办法分析求解是解答的关键．
根据零点分段法，将函数的解析式化为分段函数，画出函数的图象，可知其单调区间，进而可求出实数的取值范围．

【解答】

解：函数
其函数图象如下图所示：

由函数解析式可得，
时，函数的图象为二次函数图象的一部分，
而的对称轴为，图像开口向上，
因此的单调减区间为和；
由函数图象可得：
函数在上取得最小值，
当时，，解得，
当时，，解得，
实数须满足，
故实数的集合是
故答案为和；．

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查函数的单调性和函数的最值 ，属于难题；

化简函数的解析式，讨论的范围，由指数函数的单调性，可得最小值，利用函数的图象和函数的图象关于直线对称，得，求得参数即可本题解题的关键在于理解新定义，熟练运用函数的单调性、对称性等性质即可突破难点．
【解答】

解：因为，所以时，，时，．

故

当时，函数单调递增，，且当时，取得最小值；

当时，函数单调递减，，

故的最小值为；

若关于对称，

由函数的图象关于对称，函数的图象关于对称，

即有函数的图象关于对称，

可知，求得，

故答案为：；

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查分段函数的运用，考查新定义的理解和运用，同时考查一次函数与指数函数的单调性及应用，属于中档题．
在中，令，得的值，对讨论，即可求的最小值，讨论和，即可求解
【解答】
解：令，解得，
由为增函数，为减函数，
当时，，
即，
当时，，
，
故的最小值为，
当，解得，
当，解得，
故不等式的解集为，
故答案为，．  

17.【答案】和

【解析】

【分析】
本题考查判断函数的单调区间，函数的最值，其中画出满足条件的图象，利用数形结合的办法分析求解是解答的关键．
将函数的解析式化为分段函数，画出函数的图象，可知其单调区间，再根据在上在取得最小值，结合函数的图象，可求出实数的取值范围．
【解答】
解：函数
其函数图象如下图所示：

由函数解析式可得，
时，函数的图象为二次函数图象的一部分，
而的对称轴为，图像开口向上，
因此的单调减区间为和；
由函数图象可得：
函数在上取得最小值，
当时，，解得，
当时，，解得，
实数须满足，
故实数的范围是
故答案为和；．  

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和函数的单调性，属中档题．
由分段函数的特点易得的值；由二次函数和对勾函数的单调性即可得到答案．

【解答】

解： 因为，
所以；
由题易知，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最小值为，
故答案为；．

19.【答案】解：因为的定义域为，
所以对任意恒成立，
显然时不合题意，
从而必有，
解得，
即的取值范围是．

因为，
所以，
因此，，
这时．
由得，即函数定义域为．
令．
则在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．

假设存在实数使的最小值为，
则应有最小值，
因此应有，解得．
故存在实数，使的最小值为．
 

【解析】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质应用，属于中档题．
由题意可得，对任意恒成立，显然时不合题意，从而必有，由此求得的取值范围．
因为求得，这时由求得函数定义域为令，求得的单调区间，即可得到的单调区间．
假设存在实数使的最小值为，则应有最小值，根据，解得的值，从而得出结论．
 

20.【答案】解：当时，，
，，，
即值域为．
由题意得：且满足取等条件，即．
令，则，且满足取等条件．

解法一：显然，不成立，不满足条件，且有最大值，故．

因此，的判别式，解得舍去．

检验：当时，，且当，即时取得“”，满足题意．

解法二：，
 ，且满足取等条件，

即，其中．

事实上，，
当且仅当时，，

故满足条件的．

同设，并记，
，的对称轴方程．

又，，故在区间上单调递增．

由复合函数单调性可知：函数在区间上单调递增，故
即
即

即两不等正数，均满足方程，

，方程在区间有两不等实根．

故只需，即．

【解析】本题考查函数的值域、单调性及二次函数方程根的分布问题，属于较难题．
将代入，先求真数的范围，再求值域即可；
令，分类讨论，利用二次函数问题求取值；
易知当时，在上单调递增，所以是方程的两个不等正根，利用换元，再由二次函数方程根的分布求解即可．
 

21.【答案】解：当时，，其定义域为，

，

当时，．

由题知对一切恒成立．

对一切恒成立．

令，则

令，
可知函数在上单调递减，在上单调递增．
，，
，
．

【解析】本题考查对数型复合函数的定义域，最值，属于较难题．
得出，利用对数型复合函数的性质求解即可；

令，，利用函数的单调性求解即可．

22.【答案】解：依题意可知，
在上单递增，则，
若求函数的单调递增区间，即求的单调递增区间，
所以
得，即，
故的单调递增区间为．
因为在上单调递减，
所以，．
由，得，
则，
即对任意恒成立．
因为，所以函数在上单调递增，
则，
由，得，所以的取值范围为
 

【解析】本题考查复合函数的单调性以及不等式恒成立问题，正弦函数的性质，对数的运算，属于中档题．
根据题意可得，根据对数函数的性质以及复合函数的单调性即可求解
由在上单调递减，结合题意可得，结合对数运算以及函数的单调性即可求解．
 

23.【答案】解：因为的定义域为，
所以对任意恒成立，
显然时不合题意，
从而必有，
解得，
即的取值范围是．

因为，
所以，
因此，，
这时．
由得，即函数定义域为．
令．
则在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．

假设存在实数使的最小值为，
则应有最小值，
因此应有，解得．
故存在实数，使的最小值为．
 

【解析】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质应用，属于中档题．
由题意可得，对任意恒成立，显然时不合题意，从而必有，由此求得的取值范围．
因为求得，这时由求得函数定义域为令，求得的单调区间，即可得到的单调区间．
假设存在实数使的最小值为，则应有最小值，根据，解得的值，从而得出结论．
 

24.【答案】解：当时．
令由于在上单调递增，在上单调递减．
而在上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增．
即函数的递增区间是，减区间是；
令，，
由于有最大值，所以应有最小值，
所以，解得．
由指数函数的性质知：要使的值域为
应使的值域为．
因此只能有，
因为若则为二次函数其值域不可能为．
故．
 

【解析】本题考查复合函数的单调性，最值和值域问题；
将代入解析式，利用复合函数同增异减的原则分析内函数的单调性，外函数是减函数，利用同增异减得到判断；
令，，由于有最大值，所以应有最小值，所以，解得；
由指数函数的性质知：要使的值域为应使的值域为．
因此只能有．
 

25.【答案】解：Ⅰ因为函数为幂函数，所以，

即，解得：或．

当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意；

所以，．

因为为一次函数，所以，设，由，，

得：，解得：所以．

Ⅱ，
令，因为，所以，

而在上单调递增，

所以，当，即时，取得最小值．
当，即时，取得最大值．

所以，函数在区间上的最小值为，最大值为．

【解析】本题考查了幂函数及一次函数的概念，考查了利用函数的单调性求最值，属于中档题．
Ⅰ由幂函数的概念可知：，再结合偶函数的性质可得出的解析式再由为一次函数，用待定系数法，代点，列出方程组求解即可得到解析式
Ⅱ由Ⅰ得：，令，，利用换元法结合函数的单调性即可求出最值．