高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数随堂练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数随堂练习题，共21页。试卷主要包含了2任意角的三角函数同步练习，0分），【答案】B，【答案】C，【答案】A，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

湘教版（2019）高中数学必修第一册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
已知角α的终边在直线y=3x上，则cs(π2+2α)=( )
A. 32B. -32C. ±32D. ±12
化简1+2sin(π+3)sin(3π2+3)等于( )
A. cs3−sin3B. sin3−cs3C. −sin3−cs3D. sin3+cs3
已知角α终边上一点P(−2,3)，则的值为( )
A. 32B. −32C. 23D. −23
已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin132°,cs132°)，则tan(α+12°)=( )
A. 3B. 33C. −3D. −33
已知角α的终边在直线2x+y=0上，则cs(π2+2α)的值为( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
已知角α终边上一点P(−2,3)，则的值为( )
A. 32B. −32C. 23D. −23
已知角α的终边在直线y=3x上，则cs(π2+2α)=( )
A. 32B. −32C. ±32D. ±12
若点P(csα,sinα)在直线y=−2x上，则cs (2α+π2)的值等于( )
A. −45B. 45C. −35D. 35
已知0<β<α<π2，点P(1,43)为角α的终边上一点，且sinαsin(π2−β)+csαcs(π2+β)=3314，则角β=( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
已知角α的终边经过点P(sin 10°,−cs 10°)，则α的可能取值为( )
A. −80°B. −10°C. 10°D. 80°
已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x−y=0上，则sin3π2+θ+2cs5π−θsinπ2−θ−sinπ−θ=( )
A. 3B. −3C. 0D. 13
已知α是第二象限角，且当角α的终边绕原点顺时针旋转π2后与单位圆交点的纵坐标为817，则tanα=
A. 815B. −815C. −158D. 158
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a+b=75，则ab= ，cs2α+π2= ．
在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=−2x上，则tan α= ， ．
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a,b)，且a+b=75，则ab= ，cs2α+π2= ．
在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(−3,−1)，则tanα= ，cs(12π+α)+sin(32π+α)= ．
如图，角α，β的终边分别与单位圆交于点A，B，且点B在第二象限，C是圆与x轴的正半轴的交点，点A的坐标为513,1213，∠AOB=90°，则cs(π+α)= ，tanβ= ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
(1)已知0<β<π2<α<3π4，csπ4−α=35，sin3π4+β=513，求cs(α+β)的值．
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B的横坐标分别为7210，31010. 求α+2β的值．
已知角α终边上一点P(−4,3)，求的值．
在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点P−35,m，将角α的终边顺时针旋转后得到角β，记角β的终边与单位圆的交点为Q．
(1)若m=−45，求Q点的坐标；
(2)若sinβ+csβ=75，求tanα的值．
已知角θ的终边经过点P(4,−3)，求下列各式的值．
(1)6sin θ3cs θ−sin θ；
(2)cs2(θ−2π)+sin2(θ+4π)+sin2(θ+2π)−3．
如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=π2，记∠MOA=α，∠MOB=β．
(1)若α=π6，求点A，B的坐标；
(2)若点A的坐标为45,m，求sinα−sinβ的值．
已知sin α+csα=−15
(1)求sin (π2+α)·cs (π2−α)的值；
(2)若π2<α<π，且角β终边经过点P(−3,7)，求1sin(π−α)+1cs(π+α)+2cs(−β−2π)的值．
已知角α的终边经过点P(m,22)，sinα=223且α为第一象限角．
(1)求m的值；
(2)若tanβ=2，求sinαcsβ+3sin(π2+α)sinβcs(π+α)cs(−β)−3sinαcs(3π2+β)的值．
已知角α的终边经过点P(m,22)，sinα=223且α为第二象限角．
(1)求m、csα、tanα的值；
(2)若tanβ=2，求sinαcsβ+3sin(π2+α)sinβcs(π+α)cs(−β)−3sinαsinβ的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数的关系，诱导公式，二倍角公式．
法一：由题得，再把cs(π2+2α)化为，代值计算即得．
法二：由题可得与同号，把cs(π2+2α)化为，判断其符号即可得出．
【解答】
解：法一：由角α的终边在直线y=3x上得，
cs(π2+2α)=−sin2α=−2sinαcsα=−2sinαcsαsin2α+cs2α=−2tanαtan2α+1=−32．
故选B．
法二：由角α的终边在直线y=3x上得，与同号，
则，
故选B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了诱导公式和三角函数线的知识，考查化简能力和计算能力．属于基础题．
利用诱导公式和三角函数线化简可得答案．
【解析】
解：1+2sin (π+3)sin (3π2+3)=1+−2sin3−cs3=1+2sin3cs3
=sin23+cs23+2sin3cs3=sin3+cs32=sin3+cs3，
又3属于第二象限角，且利用三角函数线可知cs3>sin3，
故sin 3+ cs 3 < 0，
故原式=−sin 3−cs 3 ．
故选C．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了任意角的三角函数，诱导公式，属于一般题．
利用任意角的三角函数得sinα=313，csα=−313，再利用诱导公式和同角三角函数的基本关系得cs(π2+α)·sin(π+α)cs(π−α)·sin(3π−α)=−sinαcsα，代入从而得结论．
【解答】
解：因为点P(−2,3)为角α终边上一点，
所以sinα=313，csα=−313，
又因为cs(π2+α)·sin(π+α)cs(π−α)·sin(3π−α)=sin2α−csαsinα=−sinαcsα，
所以cs(π2+α)·sin(π+α)cs(π−α)·sin(3π−α)=−−313213=32．
故选A．

4.【答案】D
【解析】
【分析】
考查三角函数概念，终边相同的角，以及同角三角函数的关系和诱导公式的运用，属于基础题．
根据cs132°<0，sin132°>0，α所在的象限，利用正切函数的定义，诱导公式，同角三角函数的商数关系将tanα转化为某个特定角的正切的形式，进而表示出α取值，代入所求中计算即可求解．
【解答】
解：因为cs132°<0，sin132°>0，得到点P在第四象限，即α为第四象限角，
又tanα=cs132°sin132°=−sin42°cs42°=−tan42°=tan−42°，
所以α=−42°+k·360°，k∈Z，
所以tan(α+12°)=tan−42°+k·360°+12°=tan−30°=−33，
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线斜率的意义，任意角的三角函数，考查同角三角函数基本关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应用，是基础题．
由已知条件求出α的正切值，再利用同角三角函数基本关系以及倍角公式化简求值即可．
【解答】
解：因为角α的终边在直线2x+y=0上，所以tanα=−2
所以csπ2+2α=−sin2α=−2sinαcsαsin2α+cs2α=−2tanα1+tan2α=−−2×21+4=45．
故选A．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了任意角的三角函数，诱导公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题．
利用任意角的三角函数得tanα=−32，再利用诱导公式和同角三角函数的基本关系得cs(π2+α)·sin(π+α)cs(π−α)·sin(3π−α)=−tanα，从而得结论．
【解答】
解：因为点P(−2,3)角α终边上一点，
所以tanα=−32．
又因为cs(π2+α)·sin(π+α)cs(π−α)·sin(3π−α)=sin2α−csαsinα=−tanα，
所以cs(π2+α)·sin(π+α)cs(π−α)·sin(3π−α)=32．
故选A．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数的关系，诱导公式，二倍角公式.属于基础题．
由题得tanα=3，再把cs(π2+2α)化为−2tanαtan2α+1，代入值计算即得．
【解答】
解：由角α的终边在直线y=3x上得tanα=3，
=−2sinαcsαsin2α+cs2α=−2tanαtan2α+1=−32．
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：∵点P(csα,sinα)在直线y=−2x上，
∴sinα=−2csα，
∴tanα=−2．
∴cs(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcsαsin2α+cs2α
=−2tanα1+tan2α=45．
故选：B．
根据点P在直线上，得到tanα，利用诱导公式和同角关系式及二倍角公式化简得出答案．
本题考查了诱导公式的应用，同角三角函数的关系及二倍角公式，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查任意角的三角函数和两角和与差的三角函数，属于中档题．
先利用任意角的三角函数得到sinα=437，csα=17，然后得到，再结合这两个角的范围求出，然后再利用两角和与差的三角函数即可．
【解答】
解：因为角α的终边过点P(1,43)，
所以，
因为，
所以，
所以sinα−β=3314，
，
∴csα−β=1314，
所以，
又，
故选D．
10.【答案】A
【解析】略
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，正确运用三角函数的定义、诱导公式是关键，属于基础题．
利用三角函数的定义，求出tanθ，利用诱导公式化简代数式，代入即可得出结论．
【解答】
解：∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x−y=0上，
∴tanθ=2，
∴sin(3π2+θ)+2cs(5π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=(−csθ)+(−2csθ)csθ−sinθ=−31−tanθ=3．
故选：A．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角函数定义以及诱导公式和同角三角函数关系，属于基础题．
由题意和三角函数定义可得sin(α−π2)=817，然后根据诱导公式以及同角三角函数关系可得答案．
【解答】
解：当角α的终边顺时针旋转π2后与单位圆交点的纵坐标为817，
即有：sin(α−π2)=817，
利用诱导公式可得：csα=−817，
因为α是第二象限角，则sinα=1517，
则有tanα=−158．
故选C．
13.【答案】1225
−2425
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数基本关系和诱导公式，二倍角公式的应用，属较易题．
由题意sinα+csα=75.两边平方可得sin2α+cs2α+2sin αcs α=4925，∴1+2sin αcs α=4925，再利用二倍角公式和诱导公式求值．
【解答】
解：由题知sinα=b，csα=a，
∵a+b=75，∴sinα+csα=75.两边平方可得sin2α+cs2α+2sin αcs α=4925，
∴1+2sin αcs α=4925，
∴2sin αcs α=2425．
∴sin αcs α=ab=1225，
∴cs (2α+π2)=−sin 2α=−2sin αcs α=−2425．
故答案为1225； −2425．
14.【答案】−2
135
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义和利用诱导公式化简是解决本题的关键，是基础题．
根据三角函数的定义，结合同角三角函数关系，利用诱导公式进行化简，第二空利用1=sin2α+cs2α，转化为含tanα的式子，代入即可．
【解答】
解：在直线y=−2x上任取一点P(m,−2m)(m≠0)，
由已知角α的终边在直线y=−2x上，
得tan α=−2mm=−2，
∴sin(α−π)cs(α+π2)+(sinα−csα)2
=−sinα(−sinα)+sin2α+cs2α−2sinαcsα
=2sin2α+cs2α−2sinαcsα
=2sin2α+cs2α−2sinαcsαsin2α+cs2α
=2tan2α+1−2tanαtan2α+1=8+1+44+1=135．
故答案为−2，135．
15.【答案】1225
−2425
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数基本关系和诱导公式，二倍角公式的应用，属较易题．
由题意sinα+csα=75.两边平方可得sin2α+cs2α+2sin αcs α=4925，∴1+2sin αcs α=4925，再利用二倍角公式和诱导公式求值．
【解答】
解：由题知sinα=b，csα=a，
∵a+b=75，∴sinα+csα=75.两边平方可得sin2α+cs2α+2sin αcs α=4925，
∴1+2sin αcs α=4925，
∴2sin αcs α=2425．
∴sin αcs α=ab=1225，
∴cs (2α+π2)=−sin 2α=−2sin αcs α=−2425．
故答案为1225； −2425．
16.【答案】33
1+32
【解析】
【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】
解：：根据角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(−3,−1)，
可得x=− 3 ,y=−1,r=|OP|=2，
∴tanα= yx = −1 − 3 = 3 3 ,
cs(12π+α)+sin(32π+α)=−sinα−csα=1+32，
故答案为33 ;1+32．
17.【答案】−513
−512
【解析】
【分析】
本题考查任意角的三角函数，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
由A点坐标知csα=513，sinα=1213，由诱导公式知cs(π+α)=−csα，csβ=cs(α+90∘)=−sinα，结合同角三角函数的基本关系，即可得解．
【解答】
解：∵角α，的终边与单位圆交于点A，且A点的坐标为(513,1213)，
∴csα=513，sinα=1213，
则cs(π+α)=−csα=−513；
∵角β的终边与单位圆交于点B，且点B在第二象限，∠AOB=90∘，
∴csβ=cs(α+90∘)=−sinα=−1213，sinβ=1−cs2 β=513，
则tanβ=sin βcs β=−512．
故答案为−513；−512．
18.【答案】解：(1)因为0<β<π2<α<3π4，
所以π4−α∈[−π2,−π4)，3π4+β∈(3π4,5π4]
又因为cs(π4−α)=35，sin(3π4+β)=513，
所以sin(π4−α)=−45，cs(3π4+β)=−1213，
从而得
=sin(3π4+β)cs(π4−α)−cs(3π4+β)sin(π4−α]
=513×35−(−1213)×(−45)=−3365
又因为sin[π2+(α+β)]=cs(α+β)，
所以cs(α+β)=−3365;
(2)由题意可得点A的坐标(7210,210)，点B的坐标为(31010,1010)，
得tanα=17，tanβ=13，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12，
tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=1，
由tanβ=13<1，得0<β<π4，
由tanα=17<1，得0<α<π4，
从而得0<α+β<π2，因为tan(α+β)=12<1，
所以0<α+β<π4，从而得0<α+2β<π2，
所以α+2β=π4．
【解析】本题考查了同角三角函数基本关系以及和角差角公式的应用，属于较难题．
(1)根据同角三角函数基本关系求解cs(π4−a)=35，sin(3π4+β)=513，然后根据差角公式即可求解；
(2)利用任意角三角函数定义以及和角公式求解tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=1.即可求解α+2β的值
19.【答案】解：角α终边上一点P(−4,3)，，
原式．
【解析】本题考查任意角三角函数及诱导公式在化简求值中的应用，属于基础题．
利用任意角的三角函数定义求出tanα=−34，再利用诱导公式化简即可求出结果．
20.【答案】解：因为角α的终边与单位圆交于点P(−35,m)，
所以sin α=m，cs α=−35．
因为角α的终边顺时针旋转后得到角β，
所以sin β=sin (α−π2)=−cs α=−(−35)=35，
cs β=cs (α−π2)=sin α=m．
(1)当m=−45时，因为角β的终边与单位圆的交点为Q，
所以点Q的坐标为−45,35;
(2)因为sin β+cs β=75，sin β=35，
所以cs β=45，即sin α=45．
因为cs α=−35，
所以tan α=sin αcs α=45−35=−43．
【解析】本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数，重点考查转化，计算能力，属于中档题．
(1)由条件可知β=α−π2，并且sinα=m，csα=−35，再根据诱导公式求csβ,sinβ，根据三角函数的定义求得点Q的坐标；
(2)根据(1)的结果代入求得csβ=45，并且sinα=csβ，再根据同角三角函数关系式求tanα．
21.【答案】解：(1)由角θ的终边经过点P(4,−3)，
由任意角正切函数定义可得tan θ=yx=−34，
则6sin θ3cs θ−sin θ=6tan θ3−tan θ=6×−343−−34=−65;
(2)根据三角函数的定义可得sin θ=−316+9=−35，
所以cs2 (θ−2π)+sin2 (θ+4π)+sin2 (θ+2π)−3
=cs2 θ+sin2 θ+sin2 θ−3=1+sin2 θ−3
=925−2=−4125.
【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数定义，考查诱导公式与同角三角函数的基本关系，属于中档题．
(1)根据任意角的三角函数定义求得tanθ=−34，利用同角三角函数基本关系即可求解；
(2)根据任意角的三角函数定义求得sin θ=−35，利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简求解即可．
22.【答案】解：(1)因为α=π6，
所以csα=32,sinα=12，
所以点A坐标为32,12．
因为β=π2+α=2π3，
所以csβ=−12,sinβ=32，
所以点B坐标为−12,32；
所以A，B两点坐标分别为32,12,−12,32．
(2)由A点在单位圆上，得452+m2=1，
又点A位于第一象限，则m=35．
所以点A的坐标为45,35．
即sinα=35,csα=45．
所以sinβ=sinπ2+α=csα=45，
所以sinα−sinβ=−15．
【解析】本题考查三角函数的定义，熟练掌握三角函数定义是解决问题的关键，属于基础题．
(1)由角可得其三角函数值，可得A的坐标，再由诱导公式可得B的坐标；
(2)由题意和三角函数定义可得m值，进而由三角函数定义可得答案．
23.【答案】解：(1)∵sinα+csα=−15，
∴(sinα+csα)2=125，即1+2sinαcsα=125，
∴sinαcsα=−1225，
∴sin(π2+α)⋅cs(π2−α)=csα⋅sinα=−1225．
(2)由(1)可得，(sinα−csα)2=1−2sinαcsα=4925，
∵π2<α<π，
∴sinα−csα>0，
∴sinα−csα=75，
又角β的终边经过点P(−3,7)，
∴csβ=−34，
∴1sin(π−α)+1cs(π+α)+2cs(−β−2π)
=1sinα−1csα+2csβ
=csα−sinαsinα⋅csα+2csβ
=3512−83
=14．
【解析】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，考查分析问题、解决问题的能力和运算求解能力．
(1)由sinα+csα=−15可得sinα⋅csα=−1225，利用诱导公式化简sin(π2+α)⋅cs(π2−α)=csα⋅sinα，从而可得结果;
(2)结合(1)，利用π2<α<π得，sinα−csα=75，由角β的终边经过点P(−3,7)，可得csβ=−34，利用诱导公式化简原式，从而可得结果．
24.【答案】解：(1)由三角函数定义可知sinα=223=22m2+8，
解得m=±1，
∵α为第一象限角，
则m=1；
(2)由(1)知tanα=22，
sinαcsβ+3sin(π2+α)sinβcs(π+α)cs(−β)−3sinαcs(3π2+β)
=−sinαcsβ+3csαsinβcsαcsβ+3sinαsinβ
=−tanα+3tanβ1+3tanαtanβ
=−22+321+3×22×2=−5213．
【解析】本题考查了任意角的三角函数、诱导公式，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属中档题．
(1)由三角函数定义可知sinα=223=22m2+8，从而得出结果；
(2)化简得sinαcsβ+3sin(π2+α)sinβcs(π+α)cs(−β)−3sinαcs(3π2+β)=−tanα+3tanβ1+tanαtanβ，代入tanα=22和tanβ=2即可得出结果．
25.【答案】解：(1)∵由题意，m<0，则sinα=22m2+8=223，解得m=−1．
∴csα=−1(−1)2+(22)2=−13，tanα=−22；
(2)由(1)知，tanα=−22，又tanβ=2，
∴sinαcsβ+3sin(π2+α)sinβcs(π+α)cs(−β)−3sinαsinβ=sinαcsβ+3csαsinβ−csαcsβ−3sinαsinβ=tanα+3tanβ−1−3tanαtanβ=−22+32−1−3×(−22)×2=211．
【解析】(1)由题意，m<0，再由正弦函数的定义列式求得m，则csα，tanα的值可求；
(2)利用三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．