高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系达标测试

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2.1.1等式与不等式同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）

1. 已知枝郁金香和枝丁香的价格之和小于元，而枝郁金香和枝丁香的价格之和大于元设枝郁金香的价格为元，枝丁香的价格为元，则，的大小关系为   

A.  B.  C.  D. 不确定

2. 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，，且，则下列不等式中一定成立的是 

A.  B.  C.  D.

4. 定义运算：，例如则下列等式不能成立的是   

A.
B.
C.
D. 其中

5. 已知，则下列结论正确的是   

A.  B.  C.  D.

6. 下列四个结论，正确的是
   ，；，；；．

A.  B.  C.  D.

7. 如果、、满足，且，那么下列选项不恒成立的是 

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）

8. 若则下列结论中错误的有 

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，则下列说法不正确的有   

A.  B. 若，则
C. 若，则 D.

三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

10. 设是任意实数，能够说明“若且，则”是假命题的一组整数的值依次为__________．
11. 已知，则的取值范围为          ．
12. 已知，，则的取值范围是          ．

四、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知，，则的取值范围为          ，的取值范围为          ．
14. 用不等号“”或“”填空：
    如果，，则          ；
    如果，，则          ；
    如果，，，则          ．
15. 用“”或“”号填空：
              ；
              ；
              ；
              ；
              ：
              
16. 已知，，则的取值范围为          ，的取值范围为          ．
17. 已知，，则的取值范围是           ，的取值范围是           ．

五、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 若，

Ⅰ求证：；

Ⅱ求证：；






 

19. 回答下列问题：
    由，，能否判断与的大小？举例说明．
    由能否判断与的大小？与的大小？举例说明．
    由能否判断与之间的大小关系？为什么？
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知，求，，，，各自的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 实数，满足，．

求实数，的取值范围．

求的取值范围．






 

22. 已知，，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知且，试比较与的大小

若，，试求，，的取值范围．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式的实际应用，属于基础题．
由题意，得，令，利用不等式的性质可知，从而比较出，的大小．
【解答】
解： 由题意，得，．
令，则，
则，
则，
所以，即，
所以．
故选A．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查不等关系，不等式性质，是基础题．
通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，利用不等式性质证明命题正确即可．

【解答】

解：对于，令，，故A错误，
对于，，符号不确定，故B错误，
对于，令，，故C错误，
对于，，，，故D正确．
故选D．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
利用不等式的性质即可得出．
【解答】
解：，
．
又
．
故选D  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了新定义问题和相等关系判断，是较难题．
利用题中的新定义知表示，中的最大数，分别对各选项判断即可．

【解答】

解：由题中的定义知表示，中的最大的数，
与表示的都是，中的最大数，故成立；
与表示的都是，，中的最大数，故成立；
表示，中最大数的平方，表示，中的最大数，例如，，，，则不成立；
，表示，中的最大数与的乘积，表示与中的最大数，故
故A、、都对．
故选：．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查不等关系与不等式，属于基础题．
求解本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，能够根据这些基本性质作出正确判断．

【解答】

解：对于：当时，根式无意义，选项错误；
对于：在一个不等式两边同时加上一个实数，不等式仍成立，故B正确；
对于：，当时，不成立；
对于：当，时，，但不成立．
故选：．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查不等式的知识，关键是知道不等式的性质，属于基础题．
利用不等式的性质逐一判断即可．
【解答】
解：
，；正确，符合题意；
，；错误，不符合题意；
；正确，符合题意；
；错误，不符合题意．
正确．
故选D．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式性质，不等关系的判断，属于基础题．
由，得到异号，再由，得到，再依据不等式性质判断即可．
【解答】
解：，
异号，
，
，
A.，
，
原不等式一定成立，此选项错误；
B.，
，当时，原不等式成立，
当时，原不等式不成立，此选项正确；
C.，
，
，
，
原不等式一定不成立，此选项错误；
D.，且，
，
，
原不等式成立，此选项错误．
故选B．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质，难度适中．
利用不等式的性质逐项验证是否正确．
【解答】
解：：由，两边同乘以，则，即，故A错误；
：由可知，又，，则，即，故B错误；
：由即，，则，故C正确；
：由即且，则，即，故D错误．
故选ABD．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式性质，灵活运用不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．
由题意和不等式的性质，逐个选项验证即可．
【解答】
解：对于，若，，且，则，则，故选项A说法不正确；
对于，若则满足，而，不满足，故选项B说法不正确；
对于，若，满足，，而不满足，故选项C说法不正确；
对于，已知，，则
，当时，等号成立，故选项D成立．
故选ABC．  

10.【答案】，，
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了不等式及命题的真假，属于基础题．
取，，可以说明原命题为假命题．
【解答】
解：“若且，则”是假命题，
，，时，能够说明该命题为假命题．
故答案为，，．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了不等式的性质，求解范围，为基础题．

可知，对同除以可得结果．

【解答】

解：，，．

，即．

故答案为．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，属于中档题．
根据不等式的性质求解即可．

【解答】

解：因为，，则，
所以，即的取值范围是．

13.【答案】

，

【解析】

【分析】

本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．

利用不等式的基本性质即可求出．

【解答】

解：由得．
又因为，所以．

由得．
又因为，所以．
所以，的取值范围分别为，．
故答案为，．

14.【答案】  

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式性质的运用，属于中档题．
利用不等式的性质直接判断即可．

【解答】

解：，，
，
；
，
，
，
，
；
，，
，
，
，
．
故答案为：，，．

15.【答案】   

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
根据不等式的性质，逐一判断即可．

【解答】

解：；
由，；
，，所以；
由，，故；
由，，故：
因为，故；
故答案为：，，，，，

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．

利用不等式的基本性质即可求出．

【解答】

解：由得．
又因为，所以．

由得．
又因为，所以．
所以，的取值范围分别为，．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式性质的运用，属于一般题．
根据不等式的性质即可解题．

【解答】

解： ，，

 ，

．

，，
，，

 ．
故答案为：；．

18.【答案】证明： Ⅰ因为，
且，所以，
所以

Ⅱ因为，所以．
又因为，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
所以．

所以

因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
又由Ⅰ，

所以

由不等式的相乘性可将以上两不等式相乘得      

【解析】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
Ⅰ由条件及不等式的性质得出，移项即可求解；
Ⅱ因为，所以，又，先得出；再得出，由不等式的相乘性即可证明．
 

19.【答案】解：由，，不能判断与的大小，
举例说明：比如，，，
，，则，
，，则；
由不能判断与的大小，也不能判断与的大小，
举例说明：比如，，，
，，；
由不能判断与之间的大小关系，
因为，中可能出现，
所以无法判断与的大小关系．
 

【解析】本题考查不等式的性质，不等式比较大小的判断，基础题．
不能判断，举例即可；
不能判断，举例即可；
取倒数无意义，判断即可．
 

20.【答案】解：因为，
，；
，
；
；
，
，
综上：，，，，．
 

【解析】本题主要考查不等式范围的计算，利用不等式的性质是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质以及应用．
根据不等式的性质进行运算即可得到结论．
 

21.【答案】解：，，
，
，
，，
，
；
设，
，解得
，
，，
，，
，
即．
 

【解析】本题考查利用不等式的性质求取值范围，属于中档题．
由不等式的同号相加法则进行化简求范围；
设，则，解得，由不等式的性质计算即可．
 

22.【答案】证明：，．

将不等式的两边同乘，可得．
又，

在不等式的两边同乘，得．

【解析】本题为不等式的证明题，本题考查不等关系的应用，以及不等式的性质，运用性质时不等号的方向是否改变是此类题的注意点，是容易题．

不等式的两边同乘，可得，在不等式的两边同乘得证．

23.【答案】解：
，

因为，

所以当时，，有

当时，，有．

因为，，
所以，即，
所以的取值范围为．

因为，，
所以，
所以的取值范围为．

因为，所以，
所以，
所以的取值范围为

【解析】本题了考查了不等式的性质及作差法比较大小，分类讨论的思想．
根据作差法比较大小，得出，然后分类讨论，便可得出结果；
根据条件，利用不等式的性质求的范围，再求出和范围，进而求出，再根据，求出的范围，便可得出的范围．