湘教版（2019）必修 第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系练习

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2.1相等关系与不等关系同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为   

A.  B.  C.  D.

2. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为

A.  B.  C.  D.

3. 设，，，则下列说法错误的是       

A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为

4. 已知，，则   

A. 的最大值是 B. 的最小值是
C.  D.

5. 下列不等式或命题一定成立的是
   ；；
   ；最小值为．

A.  B.  C.  D.

6. 九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形黄和两个小直角三角形朱、青将三种颜色的图形进行重组，得到如图所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是
   

由图和图面积相等得；

由可得；

由可得；

由可得．

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题中正确的是

A. 的最小值是；
B. 的最小值是；
C. 的最小值是；
D. 的最大值是

8. 设，为实数，不等式对所有成立，则的最大值为

A.  B.  C.  D.

9. 设，，且，则的最大值为

A.  B.  C.  D.

10. 若正数，满足，则的最小值是   

A.  B.  C.  D.

11. 已知，则的最小值为   

A.  B.  C.  D.

12. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知正实数，满足，则的最小值为          ；若恒成立，则实数的取值范围是          ．
14. 已知，且，则的最大值为          ，的最小值为          ．
15. 已知均为正数，且，则的最小值为__          ____，取得最小值时的值为          
16. 几何原本中的几何代数法用几何方法研究代数问题成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”设，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，过点作的垂线，垂足为则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段          的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三个平均数的大小关系为          ．
17. 已知，，求的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：

甲：，

乙：．

  你认为甲、乙两人解法正确的是          填“甲”或“乙”

请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．          

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积。

用篱笆围一个面积为的矩形菜园，求所用篱笆的最短值。






 

19. 选用恰当的证明方法，证明下列不等式．
    已知，，求的取值范围；
    已知，为正数，且，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 年推出一种新型家用轿车，购买时费用为万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加万元．

设该辆轿车使用年的总费用包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费为，求的表达式；

这种汽车使用多少报废最合算即该车使用多少年，年平均费用最少？






 

21. 已知，，且．

求的最小值；

证明：．






 

22. 证明：；
    若，，求的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 、已知，为正实数，满足，求的最小值

、若正数满足，求证：．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等．
设，利用核心喷泉区的面积为，表示出，进而可得整个项目占地面积关于的函数解析式，利用基本不等式即可得到结论．

【解答】

解：设，知 ，
整个项目占地面积为

．
当且仅当，即时取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为．
故选B．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等，为基础题．
设，利用核心喷泉区的面积为，表示出，进而可得整个项目占地面积关于的函数解析式，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】
解：设，知 ，
整个项目占地面积为

．
当且仅当，即时取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为．
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查不等式性质，基本不等式以及利用基本不等式求最值，属于基础题．
根据题意，利用不等式性质以及基本不等式逐项判断即可．
【解答】
解：由题意，对各选项依次进行分析：
对，因为正实数，满足，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故有最大值，故A正确
对，因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以有最小值，故B正确．
对，利用基本不等式，有


，当且仅当
即时等号成立，
故有最小值，故C正确；
对，由题意，得

，
故，当且仅当时等号成立，
即有最大值，故D错误．
故选D．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了基本不等式的应用和变形．考查了函数的单调性，属于中档题．
，可得，，即可判定；
，当的时候，与已知矛盾，即可判定；
，利用，，即可判定；
，，构造，，利用单调性判定．
【解答】
解：对于，因为，，所以，
则，当时取等号，故A错误；
对于，，当的时候，与已知矛盾，故等号不成立，故B错；
对于，因为，所以，则，故C正确；
对于，，令，，，
在单调递减，，故D错．
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查基本不等式及不等式性质，属于基础题．
利用基本不等式及不等式的性质对各命题逐一判断即可．
【解答】
解：中：，则，则，故正确；
中：，，，当时，，故错误；
中：，故，故正确；
中：，当且仅当时取等号，此时，显然不成立，故错误；
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了演绎推理，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
利用题目所给条件，结合三角形面积和勾股定理，逐项计算得结论．
【解答】
解：对于，因为图和图面积相等，所以，即，因此正确；
对于、因为内接正方形的边长，所以，
而于点，因此，即，
所以由得，因此，所以正确；
对于、因为为斜边的中点，所以，
因此由得，
即，因此正确；
对于、由得，
即，因此正确．
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查基本不等式的应用，不等式的性质，三角函数的性质，属于基础题．
由时，，可知A错误；利用基本不等式即可判断B正确；由时，，可知C错误；利用基本不等式可知当时，，即可判断D错误．
【解答】
解：当时，，A错误；
B.，，
，当且仅当时取等号，
的最小值是，B正确；
C.当时，，C错误；
D.当时，，，
，当且仅当时取等号，D错误．
故选B．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查利用不等式求最值问题，属于中档题．
根据不等式列出其可能情况，再联合求解即可．
【解答】
解：令，，
则，
所以，
，
，
由，
知，
故，
即最大值为．
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式，属于容易题．
根据基本不等式计算即可．

【解答】

解：，，
，
当且仅当时取等号．
故选C．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题得，则，利用基本不等式计算即可求得最值．

【解答】

解：由题意，正数，满足，
，

，
当且仅当，时取等号，
故选B．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件．

【解答】

解：，则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为．
故选A．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，利用的代换结合基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．
根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式的代换进行求解即可．
【解答】
解：由题意得，
即，
得，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
故选：．  

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题中要熟练应用一些常见的技巧．
由，结合已知解不等式可求的最小值；
由，运用乘法结合基本不等式可求．

【解答】

解：因为，所以，当且仅当时取等，
所以，所以的最小值为，
若恒成立，则小于等于的最小值，
因为，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，所以，
故实数的取值范围是．
故答案为：；  ．

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查基本不等式求最值的方法，考查学生转化能力与计算能力，属于中档题．
利用基本不等式可求得的最大值；先变形为，利用用基本不等式求最小值．
【解答】
解：因为且，，
所以，当时取等；
所以，当时取等；
因为，所以，
则；
当且仅当取等号；
故答案为；．  

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是基础题．
本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值．
【解答】
解：因为，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
则的最小值为，取得最小值时的值为，
故答案为：；．  

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了三角形相似的应用，考查直角三角形性质的运用，属于较难题．
根据∽得线段的长度是，的调和平均数；运用直角三角形斜边和直角边的大小关系进行比较．

【解答】

解：，，
，∽，，即线段的长度是，的调和平均数；
由图可知在中，，，
当点与点重合时，，即当且仅当时，
故，当且仅当时等号成立，
故答案为：．

17.【答案】甲

已知，，求的最小值．

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是必须满足三个条件：一是两个正数，二是积定和有最小值，和定积有最大值，三是当且仅当两正数相等时取最值，属于中档题．
中乙不满足第三个条件，故错误．
举例时三个条件：一是两个正数，二是积定和有最小值，和定积有最大值，三是当且仅当两正数相等时取最值，缺一不可．

【解答】

解：甲正确，
乙解法中两次不等式中取等的条件不相同，
故答案为：甲．

已知，，求的最小值．

甲：，

当且仅当时取“”；

乙：．

当且仅当时取“”．
故答案为：甲；已知，，求的最小值．

18.【答案】解：设矩形的长和宽分别为，，，，，，

，，矩形的面积，

当且仅当时取“”，当长和宽都为时，面积最大为，

答：当矩形的长、宽均为时，面积最大且为．

解：设矩形的长为，则宽为，所用篱笆为，

则，

，，

当且仅当，即时，不等式取“”

，此时，．

答：当矩形的长、宽均为时，所用篱笆最短为．

【解析】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．
设长和宽分别为，，根据题意得到，面积，利用基本不等式即可求解．
本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．
设矩形的长为，则宽为，所用篱笆为，求出关于的函数，利用基本不等式求出的最小值．
 

19.【答案】解：，
因为，所以，
又，所以，
所以．

证明：因为，为正数，且，
，
当且仅当即时取等号．
 

【解析】本题考查不等式的性质，属于基础题．
由，再根据不等式性质得到，以及，由此即可得到答案．

本题考查运用基本不等式证明不等式，属基础题．
由题意可得，由基本不等式可得．
 

20.【答案】解：由题意得：每年的维修费构成一等差数列，
年的维修总费用为万元，
所以 万元；
该辆轿车使用年的年平均费用为：
 万元，
当且仅当 时取等号，此时，
答：这种汽车使用年报废最合算．
 

【解析】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
由已知题中某种汽车购买时费用为万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共万元，维修费用依等差数列逐年递增，根据等差数列前项和公式，即可得到的表达式；
由中使用年该车的总费用，我们可以得到年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的值，进而得到结论．
 

21.【答案】解：解法：因为，，且，
所以
．
当且仅当，即时，等号成立．
由解得
所以的最小值为．
解法：因为，，且，
所以
．
当且仅当，即时，等号成立．
由解得
所以的最小值为．
证明：证法：因为，，
所以
．
当且仅当时，等号成立．
解得，，此时，故等号不成立，
所以．
证法：由于，，，得，
要证明，只要证明，
即证，只要证．
由于，则只要证明，
即．
令，
可得，
所以成立．
所以．
证法：由于，，，得，
所以
．
令，得，由于，则．
则
．
当且仅当，即时，等号成立．
由于，所以．
 

【解析】本题主要考查不等式的证明，基本不等式的应用．
解法：将代入，则，再利用基本不等式求其最小值即可；
解法：由，利用“乘法”可得，结合基本不等式求其最小值即可；
证法：由，结合基本不等式化简即可证明；
证法：将代入原不等式，则有，即证进而转化为证明再利用根的判别式即可证明不等式恒成立；
证法：将代入原不等式，则令，得，则，利用基本不等式求其最小值即可证明．
 

22.【答案】解：因为，与且仅当时，等号成立，
令，则有，当且仅当时，等号成立，即．
由得，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，等号成立，即，即，等号成立，
所以，即，
所以当，时，取到最大值，且最大值为．
 

【解析】本题考查不等式证明及其求最大值，考查基本不等式，考查学生的灵活转化能力，属难题，
因为，令，即可证明，
由得，所以，由基本不等式因为，则以，即可求解，
 

23.【答案】解：因为，为正实数，且 ，所以 ，当且仅当时取等号．
所以，当且仅当时，两个等号同时成立．
所以的最小值为．
证明：因为为正数，所以 ，所以，当且仅当时取等号；
同理：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号．
所以：，所以．
又因为，
所以，当且仅当时取等号．
 

【解析】本题考查利用基本不等式求最值的问题，属于基础题．
由条件可得 ，进而有．
利用基本不等式可得：，，，进而有，结合条件即可证得结论．