高中数学2.3 一元二次不等式测试题

绝密★启用前

2.3.2一元二次不等式的应用同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 的一个充分不必要条件是

A.  B.  C.  D.

2. 关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 命题：，命题：；若是的充分而不必要条件，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 若不等式在上有解，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为

A.  B.
C.  D.

6. 某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为元，若按最低售价销售，每天能卖出盏；若售价每提高元，日销售量将减少盏，为了使这批台灯每天获得元以上不含元的销售收入，则这批台灯的销售单价单位：元的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 已知某炮弹飞行高度单位：与时间单位：之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为   

A.  B.  C.  D.

8. 年新冠疫情期间，口罩异常紧缺，某地物价部门决定单个型口罩的价格应低于元．某药店以元的单价购进一批型口罩，若按每个口罩元的价格销售，每天能卖出个，若售价每提高元，日销售量就减少个，则该药店口罩日销售利润不小于元与单价元之间的不等式为     

A.  B.
C.  D.

9. 若关于的不等式的解集为，则实数的值为

A.  B.  C.  D.

10. 若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

11. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是

A.  B.
C.  D.

12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯元的价格销售，每天能卖出盏，若售价每提高元，则日销售量将减少盏为了使这批台灯每天获得元以上不含元的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 设关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度和规定：的长度为不小于，则的取值范围为           ．
14. 关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是          ．
15. 若存在实数，使得关于的不等式成立，则的取值范围是______．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

16. 已知不等式的解集为，则          ，的最小值为          ．
17. 已知不等式的解集为，则          ，的最小值为          ．

四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

18. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
    若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
    若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知：，．
    解关于的不等式；
    若方程有两个正实数根，，求：的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围斜线部分均种满宽度相同的鲜花已知两块绿草坪的面积均为平方米．

若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的取值范围；

若草坪四周及中间的宽度均为米，在的条件下，求矩形草坪宽为多少时，整个绿化面积的最小，并求其最小值．






 

21. 设函数

若不等式的解集为，求不等式的解集；

若，，求不等式的解集．






 

22. 如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块的对角线上，，分别在边，上，其他地方建停车场和路，设米．

求矩形的面积关于的函数解析式；
若要求仓库占地面积不小于平方米，求的取值范围．






 

23. 解不等式：
    ；  
    
    
    
    
    
    
     
24. 某农家院有客房间，日常每间客房日租金为元，每天都客满。该农家院欲提高档次，并提高租金。经市场调研，每间客房日租金每增加元，客房出租数就会减少间。每间客房日租金不得超过元，要使每天客房的租金总收入不低于元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
    
    
    
    
    
    
     
25. 设函数，且．

若的解集为，求函数的值域；

若，且，试用含的代数式表示，并求此时的解集．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：不等式对应方程的两个实数根为和，
所以该不等式的解集为或，
所以不等式的一个充分不必要条件是选项A的．
故选：．
求出不等式的解集，从而得出不等式成立的一个充分不必要条件是什么．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式及其应用，考查数学运算能力，属于基础题．
不等式在内有解等价于在内，．
【解答】
解：不等式在内有解等价于在内，，
当时，，
所以．
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是充要条件与集合之间的关系．
解不等式我们可以求出命题与命题中的取值范围，然后根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，结合是的充分不必要条件，将问题转化为一个集合关系问题，分析参数的取值后，即可得到结论．
【解答】
解：由，得，命题：．
命题：当时，，
当时，，
当时，．
是的充分而不必要条件，
命题：当时，，
，
，
综上，当时，是的充分不必要条件，
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式在闭区间上有解的应用问题，是基础题．
把不等式化为，设，求出在上的最小值，即可求得的取值范围．
【解答】
解：不等式可化为，
设，，则，
当时，取得最小值为，
所以不等式在上有解，转化为
实数的取值范围是，即．
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】解：不等式的解集为或，
所以，解得，；
所以不等式化为，解得；
所求不等式的解集为．
故选：．
根据不等式的解集求出、的值，代入不等式中求解集即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的实际应用，考查一元二次不等式的解法，属于中档题．
首先根据题意建立不等关系，再利用一元二次不等式的解法求解即可．

【解答】

解：由题意可知，，
化简得，，

，解得，

又每盏最低售价为元，

，

故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
依题意，，即，求解二次不等式，即可求得结果．

【解答】

解：因为炮弹飞行高度单位：与时间单位：之间的函数关系式为
，
炮弹飞行高度高于时，，即，
得，炮弹飞行高度高于的时间长为
故选A．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的应用，属中档题．
根据题意得每天利润与单价的关系式，
进而得日销售利润不小于元与单价元之间的不等式．

【解答】

解：依题意，每个口罩单价元时的利润为元，
此时每天销量为，
每天利润，
所以，
故选B．

9.【答案】
 

【解析】解：关于的不等式的解集为，
和是方程的两根，
由根与系数的关系可得：，则．
故选：．
由已知可得和是方程的两根，再由根与系数的关系求解．
本题考查一元二次不等式及其应用，考查根与系数的关系，是基础题．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式在某一闭区间内有解的应用问题，属于基础题．
时不等式化为；求出的最大值，即可求出的取值范围．

【解答】

解：时，不等式可化为，
即；
设，，
则的最大值为；
关于的不等式在区间上有解时，可得，
故的取值范围是．
故选：．

11.【答案】
 

【解析】解：不等式的解集为，
所以对应方程的解是和，且；
由根与系数的关系知，；
解得，，
所以不等式可化为，
即，
即，
解得或；
所以所求不等式的解集是．
故选：．
根据不等式的解集求出、、之间的关系，代入不等式中化简，求出解集即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．
根据已知条件，设这批台灯的销售价格定为元，则日销售量减少盏，日销售收入为，进而列出不等关系，求解不等式即可．
【解答】 
解：设这批台灯的销售价格定为元，，
则，即．
因为方程的两根为，，
所以的解集为．
又因为，所以．
因此，应将这批台灯的销售价格定在元到元之间包括元但不包括元，才能使这批台灯每天获得元以上不含元的销售收入，
故选C．  

13.【答案】或
 

【解析】

【分析】

由已知结合二次不等式的解集端点与二次方程根的关系先确定不等式的解集端点，然后结合新定义求出不等式的解集，再求出的取值范围．
本题以新定义为载体，主要考查了解分式不等式，解题的关键是确定解集端点，属于拔高题．

【解答】

解：设的根分别为，且，
的根分别为，且，
则，
，
所以，
故不等式的解集为，
由题意得，
即，解得或，
故的范围或．
故答案为：或．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查含参不等式的解法及不等式解集中的整数解问题．
先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围．

【解答】

解：不等式可化为，
当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有个整数，，解得：；
当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有个整数，，解得：，
综合以上，可得：，
故答案为：

15.【答案】
 

【解析】解：当时，不等式化为，得出，满足题意；
当时，二次函数开口向下，
所以存实数，使得关于的不等式成立，满足题意；
当时，令，解得，即，满足题意；
综上知，实数的取值范围是．
故答案为：．
讨论和、，分别求出满足题意的的取值范围．
本题考查了含有字母系数的不等式有解的应用问题，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式根与系数的关系和基本不等式求最值．
根据不等式的解集可得，，之间的关系，然后将用表示，再用基本不等式求其最小值即可．

【解答】

解：不等式的解集为，
，是方程的两个根，且，
，，
即，，
，


，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为，
故答案为：；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式根与系数的关系和基本不等式求最值．
根据不等式的解集可得，，之间的关系，然后将用表示，再用基本不等式求其最小值即可．

【解答】

解：不等式的解集为，
，是方程的两个根，且，
，，
即，，
，


，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为，
故答案为：；．

18.【答案】解：由题意，得，
即，又，所以．
即最多调整名员工从事第三产业．
从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，
所以，
所以，即恒成立．
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又，所以．
所以的取值范围为．
 

【解析】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．
根据题意可列出，进而解不等式求得的范围，确定问题的答案．
根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，利用基本不等式求得的取值范围．
 

19.【答案】解：由得，
令，得或，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为；
方程有两个正实数根、，
等价于有两个正实数根，，
，
则




，当且仅当时取等号，
故的最小值为．
 

【解析】本题考查了二次函数的性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于中档题．
根据函数的解析式，可将化为，分类讨论可得不等式的解集；
由方程有两个正实数根，，利用韦达定理可得，再结合基本不等式求解即可．
 

20.【答案】解：设草坪的宽为米，长为米，
由面积均为平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少多米，
所以，所以，解得，
又，所以，
所以草坪宽的取值范围；
记整个绿化面积为平方米，
由题意得，，
当且仅当米时，等号成立．

所以整个绿化面积的最小值为平方米．

【解析】本题考查函数模型的应用，涉及基本不等式和一元二次不等式的解法，属于中档题．
设草坪的宽为米，长为米，由面积均为平方米，得，
由题意可得关于的不等式，解不等式可得答案；
表述出面积，然后由基本不等式求最值即可．
 

21.【答案】解：函数，
由不等式的解集为，得；
且和是方程的两根；
则，
解得，；
所以不等式可化为，
即，
解得或；
所以该不等式的解集为．
时，不等式为，
可化为，则
若，则不等式化为，
令，得，
当时，，解不等式得或；
当时，不等式为，解得；
当时，，解不等式得或；
综上知：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
 

【解析】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
根据一元二次不等式的解集和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值，代入不等式中求解集即可．
时，不等式化为，讨论时，求出对应不等式的解集即可．
 

22.【答案】解：由题意知，∽，
则，

即，
解得

所以矩形的面积关于的函数解析式为．

由题意得，
即，

解得．
故的取值范围是．

【解析】本题考查了一元二次不等式的应用的相关知识，试题难度较易
 

23.【答案】解：在不等式的两边同乘，可得，
且方程的两个实数解为，，
又函数的图象是开口向上的抛物线，
所以原不等式的解集为；
不等式可化为，
即
解得或，
综上所述原不等式的解集为．
 

【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
根据题意在不等式的两边同乘，可得且方程的两个实数解为，，最后结合二次函数的性质计算求解；
根据题意不等式可化为即，即可解得答案．
 

24.【答案】解：设农家院将房租提高了元，每天客房的租金收入元，
由题意可得为整数，
则，且，
即 ，
解得：， 
又 ，
所以：，
答：该农家院每间客房日租金的提高空间是，，，元．
 

【解析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查一元二次不等式解法，考查学生的计算能力．
设农家院将房租提高了元，，可得每天客房的租金收入元，利用，可得范围．
 

25.【答案】解：由，得，所以．
由的解集为，可知和是方程的两根，
所以解得，，所以；

所以

当时，，当且仅当时等号成立；

当时，，当且仅当时等号成立，
故的值域为．

由，得，即，所以，
当时，，得的解集为；
当时，，
又，所以当时，，此时的解集为，
当时，的解集为，
综上：当时，解集为；当时，解集为；
当时，的解集为．
 

【解析】根据可得；又的解集为可得和是方程的两根，从而可得出与的值，进一步可得的表达式并可求出的值域；
由可得，即，所以，从而对分类讨论即可得出时；时；时所对应的的解集．
本题主要考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查函数的综合问题；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．