2021年江苏省盐城市亭湖区、大丰区中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年江苏省盐城市亭湖区、大丰区中考数学二模试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省盐城市亭湖区、大丰区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣3a3）2＝9a6 D．（a+2）2＝a2+4
5．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
7．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　）
A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225
8．（3分）如图，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是　 　．
10．（3分）一组数据2，0，2，1，5，1，8的中位数为 　 　．
11．（3分）因式分解：x2﹣2xy+y2＝　 　．
12．（3分）如图，已知AB∥CD，∠2＝135°，则∠1的度数是　 　．

13．（3分）一只不透明的袋子中装有n个白球和4个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若摸出白球的概率为，则n＝　 　．
14．（3分）点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，若y1﹣y2＝2，则k＝　 　．
15．（3分）如图，半圆O的直径AB＝8，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为 　 　．

16．（3分）如图，点A是边长为2的正方形DEFG的中心，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，DG∥BC，点P为正方形边上的一动点，在BP的右侧作∠PBH＝90°且BH＝2PB，则AH的最大值为 　 　．

三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣（2021﹣π）0+（﹣）﹣3+3tan30°．
18．（6分）解不等式组：．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
20．（8分）4月18日上午7：30，2021盐城马拉松在盐城市盐南体育中心正式鸣枪开跑，共吸引了来自全国各地约15000名选手同台竞技．本次马拉松共设三个项目：全程马拉松、半程马拉松、迷你马拉松．小军和小峰参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
（1）小军被分配到半程马拉松项目组的概率为 　 　．
（2）用树状图或列表法求小军和小峰被分到同一个项目组的概率．
21．（8分）为了解盐渎街道20～60岁居民最喜欢的春节晚会节目类型，某兴趣小组对街道内该年龄段部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）求参与问卷调查的总人数；
（2）补全条形统计图，并求出扇形D的圆心角；
（3）该街道20～60岁的居民约9000人，估算这些人中最喜欢歌舞类节目的人数．
22．（10分）如图，△ABC中，点D为AB的中点．
（1）过点B作BP∥AC；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在线段AC上任意找一点E（不与A、C重合），连接ED并延长，交BP于点F，连接BE，AF．求证：四边形AEBF是平行四边形．

23．（10分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，E在同一直线上）．
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？（cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，≈1.414，计算结果精确到0.1cm）

24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA＝CF；
②若⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．

25．（10分）疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示：

进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
400
600
200
B型
800
1200
400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，点E，F，P，Q分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且满足AE＝CP＝5，AF＝CQ，连接EF，PQ．将△AEF和△CPQ分别沿直线EF，PQ进行翻折，得到对应的△GEF和△HPQ，连接EH，PG．
（1）（i）求证：∠AEG＝∠CPH；
（ii）判断四边形EGPH的形状并说明理由；
（2）如图2，若点A，G，P在一条直线上，求四边形EGPH的周长；
（3）如图3，若点H，G分别落在EF，PQ上，HP交FG于点M，HQ交EG于点N，求AF的长，并直接写出四边形NHMG的面积．

27．（14分）我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A，B两点）作x轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x轴上的“足距”，记作．根据该约定，完成下列各题：
（1）若点A（x1，6），B（x2，﹣4）．当点A、B在函数y＝2x的图象上时，＝　 　；当点A，B在函数y＝﹣的图象上时，＝　 　．
（2）若反比例函数y＝（k≠1）的图象上有两点A（x1，k），B（x2，k2﹣k），当＝k时，求正整数k的值．
（3）在（2）条件下抛物线y＝kx2+2x﹣3与x轴交于A1，B1两点，与y轴交于点C．如图，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接A1D、A1C、A1P，当∠PA1B1＝2∠CA1D时，求m的值．


2021年江苏省盐城市亭湖区、大丰区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【分析】根据绝对值的定义直接求得．
【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：A．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
【解答】解：∵1109万＝11090000，
∴11090000＝1.109×107．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣3a3）2＝9a6 D．（a+2）2＝a2+4
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘底数不变指数相加；完全平方公式；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故A错误；
B、a6÷a2＝a4，故B错误；
C、（﹣3a3）2＝9a6，故C正确；
D、（a+2）2＝a2+4a+4，故D错误．
故选：C．
5．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：．
故选：B．
6．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故选：A．
7．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　）
A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225
【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程即可．
【解答】解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：1+x+（1+x）x＝（x+1）2＝225，
故选：C．
8．（3分）如图，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到，S矩形OACD＝2，S矩形ODBH＝6，则S矩形ACBH＝8，然后根据矩形的性质可得出△ABC的面积．
【解答】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，

∵BC∥y轴，AC⊥BC，
∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD＝|2|＝2，
S矩形ODBH＝|﹣6|＝6，
∴S矩形ACBH＝8，
∴S△ACB＝S矩形ACBH＝4．
故选：B．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是　x≥2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣2≥0，
∴x≥2，
故答案是：x≥2．
10．（3分）一组数据2，0，2，1，5，1，8的中位数为 　2　．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
【解答】解：这组数据从小到大排列为：0，1，1，2，2，5，8，
所以中位数为2，
故答案为：2．
11．（3分）因式分解：x2﹣2xy+y2＝　（x﹣y）2　．
【分析】根据完全平方公式直接解答即可．
【解答】解：原式＝（x﹣y）2．
故答案为（x﹣y）2．
12．（3分）如图，已知AB∥CD，∠2＝135°，则∠1的度数是　45°　．

【分析】先求出∠3的度数，再根据平行线性质得出∠1＝∠3，代入求出即可．
【解答】解：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠2＝135°，
∴∠3＝180°﹣135°＝45°，
∴∠1＝45°，
故答案为：45°．
13．（3分）一只不透明的袋子中装有n个白球和4个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若摸出白球的概率为，则n＝　8　．
【分析】直接根据概率公式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：＝，
解得：n＝8；
故答案为：8．
14．（3分）点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，若y1﹣y2＝2，则k＝　﹣2　．
【分析】利用待定系数法将点（m，y1），（m+1，y2）的坐标代入解析式y＝kx+b（k≠0）中，得到若y1、y2的值，利用y1﹣y2＝2可求得结论．
【解答】解：∵点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴y1＝km+b，y2＝k（m+1）+b，
∵y1﹣y2＝2，
∴km+b﹣[k（m+1）+b]＝2，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．（3分）如图，半圆O的直径AB＝8，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为 　4π+8　．

【分析】根据题意和扇形面积计算公式、三角形的面积公式，可以计算出图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由已知可得，AB＝8，∠OBO′＝45°，
弓形PB的面积是：﹣＝4π﹣8，
阴影部分的面积是：π×42﹣（4π﹣8）＝8π﹣4π+8＝4π+8，
故答案为4π+8．
16．（3分）如图，点A是边长为2的正方形DEFG的中心，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，DG∥BC，点P为正方形边上的一动点，在BP的右侧作∠PBH＝90°且BH＝2PB，则AH的最大值为 　2　．

【分析】连结AP，CH，并延长PA，HC交于点M，PA交BH于点N，证明CH等于两倍的AP，且CH垂直AP，从而判断H的运动轨迹为以C为中心的正方形E′F′G′D′，且正方形E′F′G′D′的边长为正方形DEFG的两倍，从而确定当H与F'重合时，AH最大，求出AF'即可．
【解答】解：连结AP，CH，并延长PA，HC交于点M，PA交BH于点N，
∵∠PBH＝∠ABC＝90°，
∴∠PBA＝∠HBC，
∴，
∴△PBA∽△HBC，
∴CH＝2PA，∠BPA＝∠BHC，
∴∠MAH+∠AHM
＝∠MAH+∠AHB+∠BHC
＝∠PNB+∠BPA＝90°，
∴∠M＝90°，
∴CH⊥PA，
∵P是以点A为中心的正方形DEFG的边上的动点，
∴H的轨迹为以C为中心的正方形E′F′G′D′，且正方形E′F′G′D′的边长为正方形DEFG的两倍，
如下图所示：

当H与F'重合时，AH最大，
延长AB，F'G'交于点K，
则AK＝4，KF'＝6，
∴，
∴AH的最大值为．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣（2021﹣π）0+（﹣）﹣3+3tan30°．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣8+3×
＝3﹣1﹣8+
＝﹣6+．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
20．（8分）4月18日上午7：30，2021盐城马拉松在盐城市盐南体育中心正式鸣枪开跑，共吸引了来自全国各地约15000名选手同台竞技．本次马拉松共设三个项目：全程马拉松、半程马拉松、迷你马拉松．小军和小峰参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
（1）小军被分配到半程马拉松项目组的概率为 　　．
（2）用树状图或列表法求小军和小峰被分到同一个项目组的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，小军和小峰被分到同一个项目组的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小军被分配到半程马拉松项目组的概率为，
故答案为：；
（2）把三个项目：全程马拉松、半程马拉松、迷你马拉松，分别记为：A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小军和小峰被分到同一个项目组的结果有3种，
∴小军和小峰被分到同一个项目组的概率为．
21．（8分）为了解盐渎街道20～60岁居民最喜欢的春节晚会节目类型，某兴趣小组对街道内该年龄段部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）求参与问卷调查的总人数；
（2）补全条形统计图，并求出扇形D的圆心角；
（3）该街道20～60岁的居民约9000人，估算这些人中最喜欢歌舞类节目的人数．
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比可以求得本次参与问卷调查的总人数；
（2）根据C类所占的百分比可以求得C类的人数，然后可以得到C类41～60的人数，从而可以将条形统计图补充完整，然后根据统计图中的数据可以计算出扇形D的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出这些人中最喜欢歌舞类节目的人数．
【解答】解：（1）（120+80）÷40%＝200÷40%＝500（人），
即参与问卷调查的一共有500人；
（2）喜欢C类的41～64岁的人数是：500×15%﹣15＝60，
补全的条形统计图如右图所示，
扇形D的圆心角是：360°×＝36°；
（3）9000×＝3150（人），
答：这些人中最喜欢歌舞类节目的有3150人．
22．（10分）如图，△ABC中，点D为AB的中点．
（1）过点B作BP∥AC；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在线段AC上任意找一点E（不与A、C重合），连接ED并延长，交BP于点F，连接BE，AF．求证：四边形AEBF是平行四边形．

【分析】（1）作∠PBA＝∠A即可；
（2）利用ASA证明△ADE≌△BDF，可得AE＝BF，进而可以证明四边形AEBF是平行四边形．
【解答】解（1）如图所示：BP∥AC；

所以BP即为所求；
（2）如图所示：

∵BP∥AC
∴∠FBA＝∠EAB
∵点D为AB的中点
∴AD＝BD
在△ADE和△BDF中，

∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF
∵BP∥AC
∴四边形AEBF是平行四边形．
23．（10分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，E在同一直线上）．
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？（cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，≈1.414，计算结果精确到0.1cm）

【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的长，即可解决问题；
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，求出OH、PH的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，
∵EF+FG＝166cm，FG＝100cm，
∴EF＝166﹣100＝66（cm），
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100•sin80°≈100×0.98＝98（cm），
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝66•cos45°＝33≈46.66（cm），
∴MN＝FN+FM≈144.7（cm），
即此时小强头部E点与地面DK相距约为144.7cm；
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，
∵AB＝48，O为AB中点，
∴AO＝BO＝24（cm），
∵EM＝66•sin45°＝66×＝33≈46.66（cm），
∴PH≈46.66（cm），
∵GN＝100•cos80°≈100×0.17＝17（cm），CG＝15（cm），
∴OH＝24+15+17＝56（cm），OP＝OH﹣PH＝9.34≈9.3（cm），
即小强应向前9.3cm．

24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA＝CF；
②若⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．

【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，证明∠CAB＝90°，即可得结论；
（2）①根据点E是的中点，可得∠DAE＝∠BAE，证明∠CFA＝∠CAF，可得CA＝CF；
②设CA＝CF＝x，则BC＝CF+BF＝x+2，根据勾股定理列出方程求出x的值，即可得AC的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠DBA＝∠DEA．∠DAC＝∠DEA，
∴∠DAC＝∠DBA，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∠CAB＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①证明：∵点E是的中点，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵∠CFA＝∠DBA+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，∠DAC＝∠DBA，
∴∠CFA＝∠CAF，
∴CA＝CF；
②解：设CA＝CF＝x，
则BC＝CF+BF＝x+2，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
CA2+AB2＝BC2，
∴x2+62＝（x+2）2，
解得x＝8，
∴AC＝8．
25．（10分）疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示：

进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
400
600
200
B型
800
1200
400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）根据题意可以得到关于x的方程，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围；
（3）根据题意，可以得到相应的方程，然后即可得到a的值．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝（600﹣400﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+800x+200000，（0≤x≤40且x为整数），
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x2+800x+200000，（0≤x≤40且x为整数）；
（2）∵y＝﹣10x2+800x+200000＝﹣10（x﹣40）2+216000，
∴当y＝212000时，﹣10（x﹣40）2+216000＝212000，
解得：x1＝20，x2＝60，
要使y≥212000，则20≤x≤60，
∵0≤x≤40，
∴20≤x≤40，
即x的取值范围是：20≤x≤40；
（3）设捐款后每天的利润为w元，则
w＝﹣10x2+800x+200000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（800+a）x+200000﹣400a，
对称轴为，
∵0＜a≤100，
∴，
∵抛物线开口向下，当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w最大，
∴﹣10×402+40（800+a）+200000﹣400a＝203400，
解得，a＝35．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，点E，F，P，Q分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且满足AE＝CP＝5，AF＝CQ，连接EF，PQ．将△AEF和△CPQ分别沿直线EF，PQ进行翻折，得到对应的△GEF和△HPQ，连接EH，PG．
（1）（i）求证：∠AEG＝∠CPH；
（ii）判断四边形EGPH的形状并说明理由；
（2）如图2，若点A，G，P在一条直线上，求四边形EGPH的周长；
（3）如图3，若点H，G分别落在EF，PQ上，HP交FG于点M，HQ交EG于点N，求AF的长，并直接写出四边形NHMG的面积．

【分析】（1）（i）证明△AEF≌△CPQ（SAS），推出∠AEF＝∠CPQ，可得结论．
（ii）四边形EGPH是平行四边形．证明EG＝PH，EG∥PH，即可．
（2）想办法求出PG，利用平行四边形的性质求解即可．
（3）延长EF交CB的延长线于T，过点T作TR⊥DA交DA的延长线于R，连接CH．想办法求出AF＝10，证明PM＝PB＝4，BF＝FM＝2，推出HM＝1，MG＝8，再证明四边形MGNH是矩形，可得结论．
【解答】（1）（i）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵AE＝CP，AF＝CQ，
∴△AEF≌△CPQ（SAS），
∴∠AEF＝∠CPQ，
由翻折的性质可知，∠AEG＝2∠AEF∠CPH＝2∠CPQ，
∴∠AEG＝∠CPH．

（ii）解：结论：四边形EGPH是平行四边形．
理由：如图1中，延长EG交CB的延长线于T．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠T，
∵∠AEG＝∠CPH，
∴∠T＝∠CPH，
∴EG∥PH，
∵AE＝EG，PC＝PH，AE＝PC，
∴EG＝PH，
∴四边形EGPH是平行四边形．

（2）解：如图2中，设AP交EF于J．

在Rt△ABP中，AB＝12，BP＝4，
∴AP＝＝＝4，
∵EA＝EG，AF＝FG，
∴EF垂直平分线段AG，
∴∠AEF+∠EAJ＝90°，
∵∠EAJ+∠BAP＝90°，
∴∠AEF＝∠BAP，
∵∠AJE＝∠ABP＝90°，
∴△EJA∽△ABP，
∴＝，
∴＝，
∴AJ＝，
∴AG＝2AJ＝，
∴PG＝AP﹣AG＝3，
∵四边形EGPH是平行四边形，
∴EG＝PH＝5，PG＝EH＝3，
∴四边形EGPH的周长为10+6．

（3）解：延长EF交CB的延长线于T，过点T作TR⊥DA交DA的延长线于R，连接CH．

∵EF∥PG，CH⊥PG，
∴CH⊥ET，
∴∠CHT＝90°，
∵PC＝PH＝5，
∴∠PCH＝∠PHC，
∵∠PTH+∠PCH＝90°，∠PHT+∠PHC＝90°，
∴∠PTH＝∠PHT，
∴PH＝PT＝5，
∵PB＝4，
∴BT＝PT﹣PB＝1，
∵∠R＝∠RAB＝∠ABT＝90°，
∴四边形ARTB是矩形，
∴AR＝BT＝1，RT＝AB＝12，
∵AF∥RT，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝10，BF＝2，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠EAF＝∠PBF＝90°，
∴△AEF∽△BFP，
∴∠AFE＝∠FPB，
∵∠FPB+∠PFB＝90°，
∴∠AFE+∠PFB＝90°，
∴∠EFP＝90°，
∵∠EFG+∠PFG＝90°，
∴∠PFB＝∠PFM，
∵∠PMF＝∠PBF，PF＝PF，
∴△PFM≌△PFB（AAS），
∴PB＝PM＝4，BF＝FM＝2，
∵PH＝PC＝5，
∴HM＝1，
∵FA＝FG＝10，
∴MG＝FG﹣FM＝10﹣2＝8，
∵∠MHN＝∠HMG＝∠MGN＝90°，
∴四边形MGHN是矩形，
∴四边形MGNH的面积＝1×8＝8．
27．（14分）我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A，B两点）作x轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x轴上的“足距”，记作．根据该约定，完成下列各题：
（1）若点A（x1，6），B（x2，﹣4）．当点A、B在函数y＝2x的图象上时，＝　5　；当点A，B在函数y＝﹣的图象上时，＝　10　．
（2）若反比例函数y＝（k≠1）的图象上有两点A（x1，k），B（x2，k2﹣k），当＝k时，求正整数k的值．
（3）在（2）条件下抛物线y＝kx2+2x﹣3与x轴交于A1，B1两点，与y轴交于点C．如图，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接A1D、A1C、A1P，当∠PA1B1＝2∠CA1D时，求m的值．

【分析】（1）根据题意，把A、B两点的坐标分别代入函数解析式y＝2x中，可分别求得x1与x2的值，则由“足距”的定义可得：＝|x1﹣x2|，从而可求得结果；同理可求得当点A、B在y＝﹣的图象上时的；
（2）根据题意，把A、B两点的坐标分别代入函数解析式y＝中，可分别求得x1与x2的值，根据＝k，从而可求得k的结果；
（3）连接CD，过点P作PH⊥x轴于点H，作∠PA1B1的平分线A1G交PH于点G，过点G作GM⊥A1P于点M，易得△A1CD是直角三角形，可得tan∠MA1G＝tan∠GA1H＝tan∠CA1D＝，根据点P及点M的坐标可得A1H及PH的长度，从而可得PG的长度，易得△PMG∽△PHA1，从而可得PM，在Rt△PMG中，由勾股定理可建立关于m，n的方程，再根据点P在抛物线上，也可得关于m，n的方程，解方程组即可求得m的值．
【解答】解：（1）由题意得：2x1＝6，2x2＝﹣4，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
∴＝|x1﹣x2|＝|3﹣（﹣2）|＝5；
将A（x1，6），B（x2，﹣4）代入y＝﹣，得：
6＝﹣，﹣4＝﹣，
∴x1＝﹣4，x2＝6，
∴＝|x2﹣x1|＝|6﹣（﹣4）|＝10；
故答案为：5；10．
（2）∵A（x1，k），B（x2，k2﹣k）在反比例函数y＝（k≠1）的图象上，
∴x1＝，x2＝，
∵＝k，
∴|﹣|＝k，
∴|k﹣2|＝k2，
当k﹣2＞0时，k2﹣k+2＝0，
此时无解，
当k﹣2＜0时，k2+k﹣2＝0，
解：k＝﹣2或1，
∵k为正整数，且x≠1，
∴k不可能为正整数．
（3）如图，连接CD，过点P作PH⊥x轴于点H，作∠PA1B1的平分线A1G交PH于点G，过点G作GM⊥A1P于点M，
由抛物线y＝x2+2x﹣3可得：对称轴为直线x＝﹣1，
∴D（﹣1，﹣4），
∵A1（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴A1D＝2，CD＝，A1C＝3，
∵A1D2＝（2）2＝20，CD2+A1C2＝20，
∴A1D2＝CD2+A1C2，
∴△A1CD是直角三角形，
∴tan∠CA1D＝＝，
∵A1G平分∠PA1B1，GM⊥A1P1，GH⊥A1B1，
∴∠PA1B1＝2∠MA1G＝2∠GA1H，GH＝GM，∠PMG＝∠PHA1＝90°，
∵∠PA1B1＝2∠CA1D，
∴∠MA1G＝∠GA1H＝∠CA1D，
∴tan∠MA1G＝tan∠GA1H＝tan∠CA1D＝，
∵P（m，n），A1（﹣3，0），
∴A1H＝3+m，PH＝n，
∴GH＝GM＝A1H•tan∠GA1H＝，
∵∠PMG＝∠PHA1＝90°，∠A1PH＝∠A1PH，
∴△PMG∽△PHA1，
∴＝，即＝，
∴PM＝，
∴PG＝PH﹣GH＝n﹣，
在Rt△PMG中，PM2+GM2＝PG2，
∴（）2+（）2＝（n﹣）2，
∴n＝m+①，
∵点P在抛物线y＝x2+2x﹣3上，
∴n＝m2+2m﹣3②，
联立①②式可得：4m2+5m﹣21＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝，
∵点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点，
∴m＝．