
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2021年吉林省吉林市中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2021年吉林省吉林市中考数学一模试卷 解析版,共30页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021年吉林省吉林市中考数学一模试卷
一、单项选择题(每小题0分,共12分)
1.﹣3的绝对值是( )
A.3 B.﹣3 C. D.
2.如图,注射器中的新型冠状病毒疫苗的含量约为0.5ml,则关于近似数0.5的精确度说法正确的是( )
A.精确到个位 B.精确到十分位
C.精确到百分位 D.精确到千分位
3.如图,一个水晶球摆件,它是由一个长方体和一个球体组成的几何体,则其主视图是( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A.m+m=2m2 B.2m2•3m2=6m2
C.m6÷m3=m2 D.(2m)3=8m3
5.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,若∠BCD=40°,则∠ABD的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,0),B(0,3),以点A为圆心,AB为半径画弧,交x轴正半轴于点C,则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间( )
A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间
二、填空题(每小题0分,共24分)
7.2021年3月20日,吉林市招商引资项目签约活动在吉林市南部新城隆重举行,总投资约为292000000元.数据292000000用科学记数法表示为 .
8.因式分解:a3﹣4a= .
9.不等式组的解集是 .
10.已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是 .
11.如图,一个等腰直角三角尺的两个顶点恰好落在笔记本的两条横线a,b上.若a∥b,∠1=20°,则∠2= .
12.如图(1)是一个晒衣架.图(2)是该晒衣架的侧面示意图,立杆AB,CD相交于点O,点B,点D立于地面.经测量,OA=OC=50cm,OB=OD=90cm,现将晒衣架完全稳固张开,若BD=81cm,则AC= cm.
13.如图,在▱ABCD中,AB=2,AD=3,按以下步骤作图:
①分别以B,D为圆心,以大于BD的长为半径画弧,两弧相交于两点M,N;
②作直线MN交BC于点E,连接DE.则△DEC的周长为 .
14.如图,AB为半圆的直径,圆心为点O,AB=4,将半圆绕点B逆时针旋转45°,点A旋转到点C的位置,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π).
三、解答题(每小题0分,共20分)
15.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=2022.
16.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,且∠BAE=∠DAF.求证:CE=CF.
17.如图是一个可以自由转动的转盘,转盘分成3个大小相同的扇形,颜色分为红、绿两种颜色.指针的位置固定,转动的转盘停止后,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).利用画树状图或列表的方法,求小明同学自由转动转盘两次,每次停止后,指针都指向红色的概率.
18.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题,原文是:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何.”意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,是古代的一种容量单位),1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?请解答.
19.如图,3×3正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,点A,B都在格点上,以线段AB为边,按下列要求画四边形ABCD,使得点C,D都在格点上.
(1)图①中的四边形ABCD是轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)图②中的四边形ABCD是中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)图③中的四边形ABCD既是中心对称图形,也是轴对称图形.
20.如图,反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象交于A(1,5),B(5,n)两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,请直接写出五边形ACODB的面积.
21.在中国共产党建党100周年来临之际,某校团委组织了一次以“知党史,爱祖国”为主题的知识竞赛.为了了解本次竞赛的成绩分布情况,随机抽取了男生和女生各20名学生的竞赛成绩作为样本进行整理.规定:满分10分,成绩达到8分或8分以上为优秀,达到6分或6分以上为合格.下面给出了部分信息.
抽取的男生成绩是:10,10,10,9,9,9,9,9,9,9,8,8,8,8,7,7,6,6,5,4;
抽取的女生成绩不完整统计图:
平均数
中位数
众数
满分率
优秀率
合格率
男生
8
a
9
15%
c
90%
女生
8
8
b
20%
75%
90%
认真阅读以上信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)请补全条形统计图;
(3)该校共有男生420人,女生400人,请你估计一下本次测试达到优秀的学生共有多少人?
22.如图,某校数学兴趣小组要测量吉林北山革命烈士纪念塔的高度,在与塔底部B相距20m的点D处,即BD=20m,用高1.6m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠ACE=53°.求纪念塔AB的高度.(结果精确到1m)(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
四、解答题(每小题0分,共16分)
23.为响应国家扶贫攻坚的号召,A市先后向B市捐赠两批物资,甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市.甲车出发1h后,乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市.甲、乙两车距离A市的路程y(km)与甲车的行驶时间x(h)之间的关系如图所示
(1)A,B两市相距 km,m= ,n= ;
(2)求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)在乙车行驶过程中,当甲、乙两车之间的距离为30km时,直接写出x的值.
24.在四边形ABCD中,AD=CD,∠BAD+∠BCD=180°,连接BD,BD=2,设四边形ABCD的面积为S.
【探究】如图(1),当∠ADC=90°时,延长BC至E,使CE=AB,连接DE.
①判断△BDE的形状,并说明理由;
②S= ;
【类比】如图(2),当∠ADC=60°时,延长BC至E,使CE=AB,连接DE,则S= ;
【拓展】如图(3),当∠ADC=α(0°<α<90°)时,S= (用含α的式子表示).
六、解答题(每小题0分,共20分)
25.如图,在矩形ABCD中,AC和BD交于点O,AB=2,∠BAC=60°.P,Q两点同时从点A出发,点P以每秒1个单位的速度沿折线A→B→D向终点D运动,点Q以每秒1个单位的速度沿折线A→C→D向终点D运动.设运动的时间为x秒,△APQ的面积为y.(规定:点和线段是面积为0的三角形)
(1)当点P在AB上时,△APQ的形状是 .
(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)当直线CP平分△ABC的面积时,直接写出x的值.
26.如图,抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴交于点B(0,﹣3).过点A作x轴的垂线l,P为抛物线上一点,其横坐标为m,过点P作PQ⊥l于点Q,M为直线l上一点,其纵坐标为﹣m+3,连接PM,设MQ的长度为n(n>0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求n关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)直接写出n随着m的增大而减小时m的取值范围;
(4)直接写出x轴将△PQM分成的两部分的面积比是9:16时m的值.
2021年吉林省吉林市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(每小题0分,共12分)
1.﹣3的绝对值是( )
A.3 B.﹣3 C. D.
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出.
【解答】解:|﹣3|=﹣(﹣3)=3.
故选:A.
2.如图,注射器中的新型冠状病毒疫苗的含量约为0.5ml,则关于近似数0.5的精确度说法正确的是( )
A.精确到个位 B.精确到十分位
C.精确到百分位 D.精确到千分位
【分析】根据题目中数据的最后一位所在的位置,可以得到精确到哪一位.
【解答】解:近似数0.5的精确到十分位,
故选:B.
3.如图,一个水晶球摆件,它是由一个长方体和一个球体组成的几何体,则其主视图是( )
A. B. C. D.
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.
【解答】解:从正面看下边是一个矩形,矩形的上边是一个圆,
故选:D.
4.下列计算正确的是( )
A.m+m=2m2 B.2m2•3m2=6m2
C.m6÷m3=m2 D.(2m)3=8m3
【分析】A:合并同类项字母指数不变;
B:单项式乘法;
C:同底数的幂相除底数不变指数相减;
D:符合积的乘方的运算.
【解答】解:A:合并同类项字母指数不变,∴不符合题意;
B:原式=6m4,∴不符合题意;
C:原式=a3,∴不符合题意;
D:原式=8m3,∴符合题意;
故选:D.
5.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,若∠BCD=40°,则∠ABD的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°,∠BAD=∠BCD=40°,然后利用互余求∠ABD的度数.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠BAD=∠BCD=40°,
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣40°=50°.
故选:C.
6.如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,0),B(0,3),以点A为圆心,AB为半径画弧,交x轴正半轴于点C,则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间( )
A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间
【分析】求出OA、OB,根据勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC长即可.
【解答】解:∵A(﹣1,0),B(0,3),
∴OA=1,OB=3,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB===,
∴AC=AB=,
∴OC=﹣1,
∴点C的横坐标为﹣1,
∵3<4,
∴2<﹣1<3,
∴点C的横坐标介于2到3之间.
故选:C.
二、填空题(每小题0分,共24分)
7.2021年3月20日,吉林市招商引资项目签约活动在吉林市南部新城隆重举行,总投资约为292000000元.数据292000000用科学记数法表示为 2.92×108 .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.
【解答】解:数据292000000用科学记数法表示为2.92×108.
故答案为:2.92×108.
8.因式分解:a3﹣4a= a(a+2)(a﹣2) .
【分析】首先提取公因式a,进而利用平方差公式分解因式得出即可.
【解答】解:a3﹣4a=a(a2﹣4)=a(a+2)(a﹣2).
故答案为:a(a+2)(a﹣2).
9.不等式组的解集是 x>2 .
【分析】先求出各个不等式的解集,然后取它们的公共部分,即可得到不等式组的解集,从而可以解答本题.
【解答】解:,
解不等式①,得x>2,
解不等式②,得x≥﹣1,
故原不等式组的解集是x>2,
故答案为:x>2.
10.已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是 1 .
【分析】根据根的判别式Δ=0,即可得出关于k的一元一次方程,解之即可得出k值.
【解答】解:∵关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,
∴Δ=22﹣4×1×k=0,
解得:k=1.
故答案为:1.
11.如图,一个等腰直角三角尺的两个顶点恰好落在笔记本的两条横线a,b上.若a∥b,∠1=20°,则∠2= 25° .
【分析】由等腰直角三角形两个锐角都为45°,即可得出∠1+∠3=45°,结合∠1=20°可得出∠3=25°,由a∥b,再利用“两直线平行,内错角相等”可求出∠2的度数.
【解答】解:根据题意得:∠1+∠3=45°,
∴∠3=45°﹣∠1=45°﹣20°=25°.
∵a∥b,
∴∠2=∠3=25°.
故答案为:25°.
12.如图(1)是一个晒衣架.图(2)是该晒衣架的侧面示意图,立杆AB,CD相交于点O,点B,点D立于地面.经测量,OA=OC=50cm,OB=OD=90cm,现将晒衣架完全稳固张开,若BD=81cm,则AC= 45 cm.
【分析】证明△AOC∽△BOD,推出=,可得结论.
【解答】解:∵OA=OC=50cm,OB=OD=90cm,
∴∠A=∠C,∠OBD=∠ODB,
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠A=∠OBD,
∴△AOC∽△BOD,
∴=,
∴=,
∴AC=45(cm),
故答案为:45.
13.如图,在▱ABCD中,AB=2,AD=3,按以下步骤作图:
①分别以B,D为圆心,以大于BD的长为半径画弧,两弧相交于两点M,N;
②作直线MN交BC于点E,连接DE.则△DEC的周长为 5 .
【分析】利用线段的垂直平分线的性质,证明ED=EB,可得结论.
【解答】解:由作图可知,MN垂直平分线段BD,
∴ED=EB,
∴△DEC的周长=CD+EC+DE=CD+CE+BE=CD+BC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=3,AB=CD=2,
∴△DEC的周长=5,
故答案为:5.
14.如图,AB为半圆的直径,圆心为点O,AB=4,将半圆绕点B逆时针旋转45°,点A旋转到点C的位置,则图中阴影部分的面积为 π﹣2 (结果保留π).
【分析】根据图形可知,阴影部分的面积是S扇形ABC﹣S扇形AOD﹣S△BOD.
【解答】解:连接AD、OD,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∵OA=OB,
∴DO⊥AB,
∴∠AOD=90°,OA=OB=OD=2,
∴图中阴影部分的面积为:S扇形ABC﹣S扇形AOD﹣S△BOD=﹣﹣=π﹣2,
故答案为:π﹣2.
三、解答题(每小题0分,共20分)
15.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=2022.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入化简后的式子即可.
【解答】解:(1﹣)÷
=
=
=,
当a=2022时,原式==.
16.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,且∠BAE=∠DAF.求证:CE=CF.
【分析】根据菱形的性质得到AB=AD=BC=CD,∠B=∠D,根据全等三角形的性质得到BE=DF,根据线段的和差即可得到结论.
【解答】证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D,
在△ABE和△ADF中,
,
∴△ABE≌△ADF(ASA),
∴BE=DF,
∴BC﹣BE=CD﹣DF,
即CE=CF.
17.如图是一个可以自由转动的转盘,转盘分成3个大小相同的扇形,颜色分为红、绿两种颜色.指针的位置固定,转动的转盘停止后,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).利用画树状图或列表的方法,求小明同学自由转动转盘两次,每次停止后,指针都指向红色的概率.
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数,找出符合条件的情况数,然后根据概率公式即可得出答案.
【解答】解:根据题意画图如下:
共有9种等可能的情况数,其中两次指针都指向红色的有4种,
则小明同学自由转动转盘两次,每次停止后,指针都指向红色的概率是.
18.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题,原文是:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何.”意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,是古代的一种容量单位),1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?请解答.
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛,1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛,分别得出等式组成方程组求出答案.
【解答】解:设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,
则,
解得:,
答:1个大桶可以盛酒斛,1个小桶可以盛酒斛.
19.如图,3×3正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,点A,B都在格点上,以线段AB为边,按下列要求画四边形ABCD,使得点C,D都在格点上.
(1)图①中的四边形ABCD是轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)图②中的四边形ABCD是中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)图③中的四边形ABCD既是中心对称图形,也是轴对称图形.
【分析】(1)构造等腰梯形,即可解决问题.
(2)构造平行四边形,即可解决问题.
(3)构造正方形,即可解决问题.
【解答】解:(1)如图1中,四边形ABCD即为所求.
(2)如图2中,四边形ABCD即为所求.
(3)如图3中,四边形ABCD即为所求.
20.如图,反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象交于A(1,5),B(5,n)两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,请直接写出五边形ACODB的面积.
【分析】(1)利用点A、B在双曲线上,将A(1,5),B(5,n)代入反比例函数的解析式中求解即可求出m,n,最后用待定系数法求出一次函数解析式;
(2)作AE⊥x轴于E,利用S五边形ABDOC=S矩形ACOE+S梯形ABDE即可求得.
【解答】解:(1)∵反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象交于A(1,5),B(5,n)两点.
∴m=1×5=5n,
解得m=5,n=1,
∴反比例函数解析式为y=,B(5,1),
∵点A(1,5),B(5,1)在直线y=kx+b(k≠0)上,
∴,解得,
∴一次函数解析式为y=﹣x+6;
(2)作AE⊥x轴于E,
∵A(1,5),B(5,1),点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,
∴AE=OC=5,BD=1,ED=5﹣1=4,
∴S五边形ABDOC=S矩形ACOE+S梯形ABDE=5+=17.
21.在中国共产党建党100周年来临之际,某校团委组织了一次以“知党史,爱祖国”为主题的知识竞赛.为了了解本次竞赛的成绩分布情况,随机抽取了男生和女生各20名学生的竞赛成绩作为样本进行整理.规定:满分10分,成绩达到8分或8分以上为优秀,达到6分或6分以上为合格.下面给出了部分信息.
抽取的男生成绩是:10,10,10,9,9,9,9,9,9,9,8,8,8,8,7,7,6,6,5,4;
抽取的女生成绩不完整统计图:
平均数
中位数
众数
满分率
优秀率
合格率
男生
8
a
9
15%
c
90%
女生
8
8
b
20%
75%
90%
认真阅读以上信息,解答下列问题:
(1)a= 8.5 ,b= 8 ,c= 70% ;
(2)请补全条形统计图;
(3)该校共有男生420人,女生400人,请你估计一下本次测试达到优秀的学生共有多少人?
【分析】(1)根据中位数的定义可得a的值,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数;根据众数的定义可得b的值,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;根据“优秀率=优秀人数÷总人数”可得c的值;
(2)用总人数×合格率可得合格人数,再共合格人数分别减去“7分”、“8分”,“9分”,“10分”的人数即可得出“6分”的人数,再补全条形统计图即可;
(3)用总人数×优秀率即可得出优秀人数.
【解答】解:(1)因为在10,10,10,9,9,9,9,9,9,9,8,8,8,8,7,7,6,6,5,4中,排在中间的两个数是9和8,
所以a=(9+8)÷2=8.5;
女生中“6分”人数有:20﹣1﹣1﹣1﹣7﹣4﹣4=2(人),
所以“8分”出现次数最多,
故b=8;
c=14÷20=70%.
故答案为:8.5;8;70%;
(2)女生中“6分”人数有2人,
补全条形统计图如下:
(3)估计本次测试达到优秀的学生共有:420×70%+400×75%=594(人).
22.如图,某校数学兴趣小组要测量吉林北山革命烈士纪念塔的高度,在与塔底部B相距20m的点D处,即BD=20m,用高1.6m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠ACE=53°.求纪念塔AB的高度.(结果精确到1m)(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
【分析】由锐角三角函数定义求出AE的长,即可求解.
【解答】解:由题意知,EC=BD=20m,EB=CD=1.6m,∠AEC=90°,
∵tan∠ACE=,
∴AE=EC×tan∠ACE≈20×1.33=26.6(m),
∴AB=AE+EB≈26.6+1.6≈28(m),
答:纪念塔AB的高度约为28m.
四、解答题(每小题0分,共16分)
23.为响应国家扶贫攻坚的号召,A市先后向B市捐赠两批物资,甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市.甲车出发1h后,乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市.甲、乙两车距离A市的路程y(km)与甲车的行驶时间x(h)之间的关系如图所示
(1)A,B两市相距 360 km,m= 5 ,n= 6 ;
(2)求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)在乙车行驶过程中,当甲、乙两车之间的距离为30km时,直接写出x的值.
【分析】(1)根据函数图象可知AB两市相距360km,再根据时间=路程×速度即可求出m,n的值;
(2)由(1)的结果,根据点(1,0)和点(5,360),利用待定系数法即可得;
( 3)先利用待定系数法求出甲车行驶过程中y关于x的函数解析式,再求出两车相遇时x的值,然后分①甲、乙两车未相遇前和②甲、乙两车相遇后两种情况讨论即可得.
【解答】解:(1)由函数图象可知,AB两市相距360km,
则m=+1=5(h),
n==6(h),
故答案为:360,5,6;
(2)设乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y=k+b,
将点(1,0)和点(5,360)代入得:
,
解得:,
则乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y=90x﹣90,
由(1)可知,m=5,
则1≤x≤5;
(3)设甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y=cx,
将点(6,360)代入得:6c=360,
解得:c=60,
则甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y=60x,
联立,
解得:,
即当甲车行驶3h时,两车相遇,
由题意,分以下两种情况:
①当甲、乙两车未相遇前,即1≤x<3时,
则60x﹣(90x﹣90)=30,
解得:x=2,符合题设;
②当甲、乙两车相遇后,即3≤x<5时,
则90x﹣90﹣60x=30,
解得:x=4,符合题设;
综上,在乙车行驶过程中,当甲、乙两车之间的距离为30km时,x的值为2或4.
24.在四边形ABCD中,AD=CD,∠BAD+∠BCD=180°,连接BD,BD=2,设四边形ABCD的面积为S.
【探究】如图(1),当∠ADC=90°时,延长BC至E,使CE=AB,连接DE.
①判断△BDE的形状,并说明理由;
②S= 2 ;
【类比】如图(2),当∠ADC=60°时,延长BC至E,使CE=AB,连接DE,则S= ;
【拓展】如图(3),当∠ADC=α(0°<α<90°)时,S= 2sinα (用含α的式子表示).
【分析】【探究】(1)①由已知证明△BAD≌△ECD(SAS),得BD=ED,∠ADB=∠CDE,根据∠ADC=90°,即得∠BDE=90°,故△BDE是等腰直角三角形;②由△BAD≌△ECD,可得S△BAD=S△ECD,BD=DE=2,即得S=S△BAD+S△BDC=S△ECD+S△BDC=S△BDE,可求S△BDE=BD•DE=2,故S=2;
故答案为:2;
【类比】(2)过B作BH⊥DE于H,根据△BAD≌△ECD(SAS),得BD=ED=2,∠ADB=∠CDE,S△BAD=S△ECD,即S=S△BAD+S△BDC=S△ECD+S△BDC=S△BDE,而∠ADC=60°故∠BDE=60°,在Rt△BDH中,可得BH=,即得S△BDE=DE•BH=×2×=,故S=;
【拓展】(3)延长BC到E,使CE=AB,连接DE,过B作BH⊥DE于H,由△BAD≌△ECD(SAS),得BD=ED=2,∠ADB=∠CDE,S△BAD=S△ECD,即得S=S△BAD+S△BDC=S△ECD+S△BDC=S△BDE,而∠ADC=α,可得∠BDE=α,在Rt△BDH中,BH=BD•sinα=2sinα,可得S△BDE=DE•BH=×2×2sinα=2sinα,故S=2sinα.
【解答】解:【探究】(1)①△BDE是等腰直角三角形,理由如下:
∵∠BAD+∠BCD=180°,
而∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠DCE,
在△BAD和△ECD中,
,
∴△BAD≌△ECD(SAS),
∴BD=ED,∠ADB=∠CDE,
∵∠ADC=90°,即∠ADB+∠BDC=90°,
∴∠CDE+∠BDC=90°,即∠BDE=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形;
②由①知△BAD≌△ECD,
∴S△BAD=S△ECD,BD=DE=2,
∴S=S△BAD+S△BDC=S△ECD+S△BDC=S△BDE,
而S△BDE=BD•DE=×2×2=2,
∴S=2;
故答案为:2;
【类比】(2)过B作BH⊥DE于H,如图:
∵∠BAD+∠BCD=180°,
而∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠DCE,
在△BAD和△ECD中,
,
∴△BAD≌△ECD(SAS),
∴BD=ED=2,∠ADB=∠CDE,S△BAD=S△ECD,
∴S=S△BAD+S△BDC=S△ECD+S△BDC=S△BDE,
∵∠ADC=60°,即∠ADB+∠BDC=60°,
∴∠CDE+∠BDC=60°,即∠BDE=60°,
在Rt△BDH中,DH=BD=1,BH==,
∴S△BDE=DE•BH=×2×=,
∴S=,
故答案为:;
【拓展】(3)延长BC到E,使CE=AB,连接DE,过B作BH⊥DE于H,如图:
∵∠BAD+∠BCD=180°,
而∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠DCE,
在△BAD和△ECD中,
,
∴△BAD≌△ECD(SAS),
∴BD=ED=2,∠ADB=∠CDE,S△BAD=S△ECD,
∴S=S△BAD+S△BDC=S△ECD+S△BDC=S△BDE,
∵∠ADC=α,即∠ADB+∠BDC=α,
∴∠CDE+∠BDC=α,即∠BDE=α,
在Rt△BDH中,BH=BD•sinα=2sinα,
∴S△BDE=DE•BH=×2×2sinα=2sinα,
∴S=2sinα.
故答案为:2sinα.
六、解答题(每小题0分,共20分)
25.如图,在矩形ABCD中,AC和BD交于点O,AB=2,∠BAC=60°.P,Q两点同时从点A出发,点P以每秒1个单位的速度沿折线A→B→D向终点D运动,点Q以每秒1个单位的速度沿折线A→C→D向终点D运动.设运动的时间为x秒,△APQ的面积为y.(规定:点和线段是面积为0的三角形)
(1)当点P在AB上时,△APQ的形状是 等边三角形 .
(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)当直线CP平分△ABC的面积时,直接写出x的值.
【分析】(1)由已知可得AP=AQ,又∠BAC=60°,故△APQ是等边三角形;
(2)①当P在AB上,Q在AC上时,0≤x≤2,过P作PE⊥AC于E,可得y=AQ•PE=x2;
②当P在BO上,Q在AC上时,2<x≤4,过P作PF⊥AC于F,可得AB+BP=AQ=x,即得OP=4﹣x,在Rt△POF中,PF=OP•sin60°=(4﹣x),故y=AQ•PF=﹣x2+x;
③当P在OD上,Q在CD上时,4<x≤6,过P作PG⊥AD于G,过Q作QH⊥BD于H,可得S△APD=AD•PG=3﹣x,S△PDQ=PD•QH=(6﹣x)2,而S△ADQ=AD•DQ=6﹣x,即得y=S△ADQ﹣S△APD﹣S△PDQ=﹣x2+x﹣6;
(3)当P为AB中点时,直线CP平分△ABC的面积,此时x=1,连接CP交BD于P',当P运动到P'时,直线CP'平分△ABC的面积,由AB∥CD,即得==,BP'=BD=,得AB+BP'=,故此时x=.
【解答】解:(1)∵P,Q两点同时从点A出发,点P以每秒1个单位的速度向终点D运动,点Q以每秒1个单位的速度向终点D运动,
∴当点P在AB上时,AP=AQ,
∵∠BAC=60°,
∴△APQ是等边三角形,
故答案为:等边三角形;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,BD=AC,
在Rt△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,
∴AC=4,BC==2,
∴AC=4,
①当P在AB上,Q在AC上时,0≤x≤2,过P作PE⊥AC于E,如图:
由(1)知此时△APQ是等边三角形,AP=AQ=x,
在Rt△APE中,PE=AP•sin60°=x,
∴y=AQ•PE=x2;
②当P在BO上,Q在AC上时,2<x≤4,过P作PF⊥AC于F,如图:
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB,
∵∠BAC=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴∠POF=60°,OA=OB=AB=2,
∵AB+BP=AQ=x,
∴OP=4﹣x,
在Rt△POF中,PF=OP•sin60°=(4﹣x),
∴y=AQ•PF=x(4﹣x)=﹣x2+x;
③当P在OD上,Q在CD上时,4<x≤6,过P作PG⊥AD于G,过Q作QH⊥BD于H,如图:
∵AB+BP=AC+CQ=x,
∴DP=DQ=6﹣x,
而∠CDB=∠ABD=60°,
∴∠PDG=30°,
在Rt△PDG中,PG=PD=(6﹣x),
在Rt△QDH中,QH=DQ•sin60°=(6﹣x),
∴S△APD=AD•PG=×2×(6﹣x)=3﹣x,
S△PDQ=PD•QH=×(6﹣x)×(6﹣x)=(6﹣x)2,
而S△ADQ=AD•DQ=×2×(6﹣x)=6﹣x,
∴y=S△ADQ﹣S△APD﹣S△PDQ=(6﹣x)﹣(3﹣x)﹣(6﹣x)2=﹣x2+x﹣6,
终上所述,y=;
(3)如图:
当P为AB中点时,直线CP平分△ABC的面积,此时x=1,
连接CP交BD于P',当P运动到P'时,直线CP'平分△ABC的面积,
∵AB∥CD,
∴==,
∴BP'=DP',
∴BP'=BD=,
∴AB+BP'=,
∴x=,
综上所述,直线CP平分△ABC的面积,x的值为1或.
26.如图,抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴交于点B(0,﹣3).过点A作x轴的垂线l,P为抛物线上一点,其横坐标为m,过点P作PQ⊥l于点Q,M为直线l上一点,其纵坐标为﹣m+3,连接PM,设MQ的长度为n(n>0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求n关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)直接写出n随着m的增大而减小时m的取值范围;
(4)直接写出x轴将△PQM分成的两部分的面积比是9:16时m的值.
【分析】(1)将点A和点B代入解析式,然后求出a、c的值,最后得到二次函数的解析式;
(2)分情况讨论,①点M在Q上方;②点M在Q下方,然后求出n与m的关系式;
(3)利用二次函数的性质求出n随m的增大而减小时的m的取值范围;
(4)分情况讨论:①点Q在x轴上方,点M在x轴下方;②点Q在x轴下方,点M在x轴上方,然后结合三角形相似的性质求解.
【解答】解:(1)将点A(﹣1,0),B(0,﹣3)代入解析式,得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴P(m,m2﹣2m﹣3),
∴Q(﹣1,m2﹣2m﹣3),M(﹣1,﹣m+3),
∵n>0,
∴点M和点Q不会重合,
当点M在点Q上方时,﹣m+3>m2﹣2m﹣3,即﹣2<m<3时,
n=﹣m+3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+m+6;
当点M在点Q下方时,﹣m+3<m2﹣2m﹣3,即m<﹣2或m>3时,
n=m2﹣2m﹣3﹣(﹣m+3)=m2﹣m﹣6;
综上所述,当﹣2<m<3时,n=﹣m2+m+6;当m<﹣2或m>3时,n=m2﹣m﹣6;
(3)当﹣2<m<3时,n=﹣m2+m+6=﹣(m﹣)2+,
∵a=﹣1<0,对称轴为直线m=,
∴当﹣2<m≤时,n随m的增大而增大,当≤m<3时,n随m的增大而减小;
当m<﹣2或m>3时,n=m2﹣m﹣6=(m﹣)2﹣,
∵a=1>0,对称轴为直线m=,
∴当m<﹣2时,n随m的增大而减小,当m>3时,n随m的增大而增大;
综上所述,n随着m的增大而减小时m的取值范围为≤m<3或m<﹣2.
(4)∵P(m,m2﹣2m﹣3),Q(﹣1,m2﹣2m﹣3),M(﹣1,﹣m+3),A(﹣1,0),
∴AM=|﹣m+3|,QM=|m2﹣2m﹣3﹣(﹣m+3)|=|(m﹣3)(m+2)|,
设PM与x轴的交点为点N,则△AMN∽△QMP,
∵x轴将△PQM分成的两部分的面积比是9:16,
∴S△AMN:S△QMP=9:25或S△AMN:S△QMP=16:25,
∴AM:QM=3:5或AM:QM=4:5,
如图1,当点Q在x轴上方,点M在x轴下方时,
m2﹣2m﹣3>0>﹣m+3,
解得:m>3,
∴(m﹣3):(m﹣3)(m+2)=3:5或(m﹣3):(m﹣3)(m+2)=4:5,
解得:m=﹣(舍)或m=﹣(舍),
如图2,当点Q在x轴下方,点M在x轴上方时,
m2﹣2m﹣3<0<﹣m+3,
解得:﹣1<m<3,
∴(﹣m+3):(﹣m+3)(m+2)=3:5或(﹣m+3):(﹣m+3)(m+2)=4:5,
解得:m=﹣或m=﹣,
综上所述,m=﹣或m=﹣.
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