2021年吉林省吉林市中考数学一模试卷 解析版

这是一份2021年吉林省吉林市中考数学一模试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年吉林省吉林市中考数学一模试卷
一、单项选择题（每小题0分，共12分）
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．如图，注射器中的新型冠状病毒疫苗的含量约为0.5ml，则关于近似数0.5的精确度说法正确的是（　　）

A．精确到个位 B．精确到十分位
C．精确到百分位 D．精确到千分位
3．如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．m+m＝2m2 B．2m2•3m2＝6m2
C．m6÷m3＝m2 D．（2m）3＝8m3
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（　　）

A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
二、填空题（每小题0分，共24分）
7．2021年3月20日，吉林市招商引资项目签约活动在吉林市南部新城隆重举行，总投资约为292000000元．数据292000000用科学记数法表示为 　 　．
8．因式分解：a3﹣4a＝　 　．
9．不等式组的解集是 　 　．
10．已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　 　．
11．如图，一个等腰直角三角尺的两个顶点恰好落在笔记本的两条横线a，b上．若a∥b，∠1＝20°，则∠2＝　 　．

12．如图（1）是一个晒衣架．图（2）是该晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，点B，点D立于地面．经测量，OA＝OC＝50cm，OB＝OD＝90cm，现将晒衣架完全稳固张开，若BD＝81cm，则AC＝　 　cm．

13．如图，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，按以下步骤作图：
①分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交BC于点E，连接DE．则△DEC的周长为 　 　．

14．如图，AB为半圆的直径，圆心为点O，AB＝4，将半圆绕点B逆时针旋转45°，点A旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．

三、解答题（每小题0分，共20分）
15．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2022．
16．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，且∠BAE＝∠DAF．求证：CE＝CF．

17．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，颜色分为红、绿两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．利用画树状图或列表的方法，求小明同学自由转动转盘两次，每次停止后，指针都指向红色的概率．

18．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
19．如图，3×3正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B都在格点上，以线段AB为边，按下列要求画四边形ABCD，使得点C，D都在格点上．
（1）图①中的四边形ABCD是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）图②中的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）图③中的四边形ABCD既是中心对称图形，也是轴对称图形．

20．如图，反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象交于A（1，5），B（5，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，请直接写出五边形ACODB的面积．

21．在中国共产党建党100周年来临之际，某校团委组织了一次以“知党史，爱祖国”为主题的知识竞赛．为了了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了男生和女生各20名学生的竞赛成绩作为样本进行整理．规定：满分10分，成绩达到8分或8分以上为优秀，达到6分或6分以上为合格．下面给出了部分信息．
抽取的男生成绩是：10，10，10，9，9，9，9，9，9，9，8，8，8，8，7，7，6，6，5，4；
抽取的女生成绩不完整统计图：


平均数
中位数
众数
满分率
优秀率
合格率
男生
8
a
9
15%
c
90%
女生
8
8
b
20%
75%
90%
认真阅读以上信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有男生420人，女生400人，请你估计一下本次测试达到优秀的学生共有多少人？
22．如图，某校数学兴趣小组要测量吉林北山革命烈士纪念塔的高度，在与塔底部B相距20m的点D处，即BD＝20m，用高1.6m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠ACE＝53°．求纪念塔AB的高度．（结果精确到1m）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

四、解答题（每小题0分，共16分）
23．为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示
（1）A，B两市相距 　 　km，m＝　 　，n＝　 　；
（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．

24．在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD+∠BCD＝180°，连接BD，BD＝2，设四边形ABCD的面积为S．
【探究】如图（1），当∠ADC＝90°时，延长BC至E，使CE＝AB，连接DE．
①判断△BDE的形状，并说明理由；
②S＝　 　；
【类比】如图（2），当∠ADC＝60°时，延长BC至E，使CE＝AB，连接DE，则S＝　 　；
【拓展】如图（3），当∠ADC＝α（0°＜α＜90°）时，S＝　 　（用含α的式子表示）．
六、解答题（每小题0分，共20分）
25．如图，在矩形ABCD中，AC和BD交于点O，AB＝2，∠BAC＝60°．P，Q两点同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度沿折线A→B→D向终点D运动，点Q以每秒1个单位的速度沿折线A→C→D向终点D运动．设运动的时间为x秒，△APQ的面积为y．（规定：点和线段是面积为0的三角形）
（1）当点P在AB上时，△APQ的形状是 　 　．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当直线CP平分△ABC的面积时，直接写出x的值．

26．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．过点A作x轴的垂线l，P为抛物线上一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M为直线l上一点，其纵坐标为﹣m+3，连接PM，设MQ的长度为n（n＞0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求n关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）直接写出n随着m的增大而减小时m的取值范围；
（4）直接写出x轴将△PQM分成的两部分的面积比是9：16时m的值．

2021年吉林省吉林市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题0分，共12分）
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
2．如图，注射器中的新型冠状病毒疫苗的含量约为0.5ml，则关于近似数0.5的精确度说法正确的是（　　）

A．精确到个位 B．精确到十分位
C．精确到百分位 D．精确到千分位
【分析】根据题目中数据的最后一位所在的位置，可以得到精确到哪一位．
【解答】解：近似数0.5的精确到十分位，
故选：B．
3．如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．m+m＝2m2 B．2m2•3m2＝6m2
C．m6÷m3＝m2 D．（2m）3＝8m3
【分析】A：合并同类项字母指数不变；
B：单项式乘法；
C：同底数的幂相除底数不变指数相减；
D：符合积的乘方的运算．
【解答】解：A：合并同类项字母指数不变，∴不符合题意；
B：原式＝6m4，∴不符合题意；
C：原式＝a3，∴不符合题意；
D：原式＝8m3，∴符合题意；
故选：D．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝40°，然后利用互余求∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（　　）

A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，3），
∴OA＝1，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝﹣1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵3＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∴点C的横坐标介于2到3之间．
故选：C．
二、填空题（每小题0分，共24分）
7．2021年3月20日，吉林市招商引资项目签约活动在吉林市南部新城隆重举行，总投资约为292000000元．数据292000000用科学记数法表示为 　2.92×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：数据292000000用科学记数法表示为2.92×108．
故答案为：2.92×108．
8．因式分解：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
9．不等式组的解集是 　x＞2　．
【分析】先求出各个不等式的解集，然后取它们的公共部分，即可得到不等式组的解集，从而可以解答本题．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞2，
解不等式②，得x≥﹣1，
故原不等式组的解集是x＞2，
故答案为：x＞2．
10．已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　1　．
【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
11．如图，一个等腰直角三角尺的两个顶点恰好落在笔记本的两条横线a，b上．若a∥b，∠1＝20°，则∠2＝　25°　．

【分析】由等腰直角三角形两个锐角都为45°，即可得出∠1+∠3＝45°，结合∠1＝20°可得出∠3＝25°，由a∥b，再利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠2的度数．
【解答】解：根据题意得：∠1+∠3＝45°，
∴∠3＝45°﹣∠1＝45°﹣20°＝25°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝25°．
故答案为：25°．

12．如图（1）是一个晒衣架．图（2）是该晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，点B，点D立于地面．经测量，OA＝OC＝50cm，OB＝OD＝90cm，现将晒衣架完全稳固张开，若BD＝81cm，则AC＝　45　cm．

【分析】证明△AOC∽△BOD，推出＝，可得结论．
【解答】解：∵OA＝OC＝50cm，OB＝OD＝90cm，
∴∠A＝∠C，∠OBD＝∠ODB，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A＝∠OBD，
∴△AOC∽△BOD，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝45（cm），
故答案为：45．
13．如图，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，按以下步骤作图：
①分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交BC于点E，连接DE．则△DEC的周长为 　5　．

【分析】利用线段的垂直平分线的性质，证明ED＝EB，可得结论．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BD，
∴ED＝EB，
∴△DEC的周长＝CD+EC+DE＝CD+CE+BE＝CD+BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，AB＝CD＝2，
∴△DEC的周长＝5，
故答案为：5．
14．如图，AB为半圆的直径，圆心为点O，AB＝4，将半圆绕点B逆时针旋转45°，点A旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 　π﹣2　（结果保留π）．

【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是S扇形ABC﹣S扇形AOD﹣S△BOD．
【解答】解：连接AD、OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵OA＝OB，
∴DO⊥AB，
∴∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝2，
∴图中阴影部分的面积为：S扇形ABC﹣S扇形AOD﹣S△BOD＝﹣﹣＝π﹣2，
故答案为：π﹣2．

三、解答题（每小题0分，共20分）
15．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2022．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当a＝2022时，原式＝＝．
16．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，且∠BAE＝∠DAF．求证：CE＝CF．

【分析】根据菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，根据全等三角形的性质得到BE＝DF，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
即CE＝CF．
17．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，颜色分为红、绿两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．利用画树状图或列表的方法，求小明同学自由转动转盘两次，每次停止后，指针都指向红色的概率．

【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中两次指针都指向红色的有4种，
则小明同学自由转动转盘两次，每次停止后，指针都指向红色的概率是．
18．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
则，
解得：，
答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．
19．如图，3×3正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B都在格点上，以线段AB为边，按下列要求画四边形ABCD，使得点C，D都在格点上．
（1）图①中的四边形ABCD是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）图②中的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）图③中的四边形ABCD既是中心对称图形，也是轴对称图形．

【分析】（1）构造等腰梯形，即可解决问题．
（2）构造平行四边形，即可解决问题．
（3）构造正方形，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求．
（2）如图2中，四边形ABCD即为所求．
（3）如图3中，四边形ABCD即为所求．

20．如图，反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象交于A（1，5），B（5，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，请直接写出五边形ACODB的面积．

【分析】（1）利用点A、B在双曲线上，将A（1，5），B（5，n）代入反比例函数的解析式中求解即可求出m，n，最后用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）作AE⊥x轴于E，利用S五边形ABDOC＝S矩形ACOE+S梯形ABDE即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象交于A（1，5），B（5，n）两点．
∴m＝1×5＝5n，
解得m＝5，n＝1，
∴反比例函数解析式为y＝，B（5，1），
∵点A（1，5），B（5，1）在直线y＝kx+b（k≠0）上，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+6；
（2）作AE⊥x轴于E，
∵A（1，5），B（5，1），点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴AE＝OC＝5，BD＝1，ED＝5﹣1＝4，
∴S五边形ABDOC＝S矩形ACOE+S梯形ABDE＝5+＝17．

21．在中国共产党建党100周年来临之际，某校团委组织了一次以“知党史，爱祖国”为主题的知识竞赛．为了了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了男生和女生各20名学生的竞赛成绩作为样本进行整理．规定：满分10分，成绩达到8分或8分以上为优秀，达到6分或6分以上为合格．下面给出了部分信息．
抽取的男生成绩是：10，10，10，9，9，9，9，9，9，9，8，8，8，8，7，7，6，6，5，4；
抽取的女生成绩不完整统计图：


平均数
中位数
众数
满分率
优秀率
合格率
男生
8
a
9
15%
c
90%
女生
8
8
b
20%
75%
90%
认真阅读以上信息，解答下列问题：
（1）a＝　8.5　，b＝　8　，c＝　70%　；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有男生420人，女生400人，请你估计一下本次测试达到优秀的学生共有多少人？
【分析】（1）根据中位数的定义可得a的值，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；根据众数的定义可得b的值，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；根据“优秀率＝优秀人数÷总人数”可得c的值；
（2）用总人数×合格率可得合格人数，再共合格人数分别减去“7分”、“8分”，“9分”，“10分”的人数即可得出“6分”的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用总人数×优秀率即可得出优秀人数．
【解答】解：（1）因为在10，10，10，9，9，9，9，9，9，9，8，8，8，8，7，7，6，6，5，4中，排在中间的两个数是9和8，
所以a＝（9+8）÷2＝8.5；
女生中“6分”人数有：20﹣1﹣1﹣1﹣7﹣4﹣4＝2（人），
所以“8分”出现次数最多，
故b＝8；
c＝14÷20＝70%．
故答案为：8.5；8；70%；
（2）女生中“6分”人数有2人，
补全条形统计图如下：

（3）估计本次测试达到优秀的学生共有：420×70%+400×75%＝594（人）．
22．如图，某校数学兴趣小组要测量吉林北山革命烈士纪念塔的高度，在与塔底部B相距20m的点D处，即BD＝20m，用高1.6m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠ACE＝53°．求纪念塔AB的高度．（结果精确到1m）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【分析】由锐角三角函数定义求出AE的长，即可求解．
【解答】解：由题意知，EC＝BD＝20m，EB＝CD＝1.6m，∠AEC＝90°，
∵tan∠ACE＝，
∴AE＝EC×tan∠ACE≈20×1.33＝26.6（m），
∴AB＝AE+EB≈26.6+1.6≈28（m），
答：纪念塔AB的高度约为28m．
四、解答题（每小题0分，共16分）
23．为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示
（1）A，B两市相距 　360　km，m＝　5　，n＝　6　；
（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．

【分析】（1）根据函数图象可知AB两市相距360km，再根据时间＝路程×速度即可求出m，n的值；
（2）由（1）的结果，根据点（1，0）和点（5，360），利用待定系数法即可得；
（ 3）先利用待定系数法求出甲车行驶过程中y关于x的函数解析式，再求出两车相遇时x的值，然后分①甲、乙两车未相遇前和②甲、乙两车相遇后两种情况讨论即可得．
【解答】解：（1）由函数图象可知，AB两市相距360km，
则m＝+1＝5（h），
n＝＝6（h），
故答案为：360，5，6；
（2）设乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝k+b，
将点（1，0）和点（5，360）代入得：
，
解得：，
则乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝90x﹣90，
由（1）可知，m＝5，
则1≤x≤5；
（3）设甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝cx，
将点（6，360）代入得：6c＝360，
解得：c＝60，
则甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝60x，
联立，
解得：，
即当甲车行驶3h时，两车相遇，
由题意，分以下两种情况：
①当甲、乙两车未相遇前，即1≤x＜3时，
则60x﹣（90x﹣90）＝30，
解得：x＝2，符合题设；
②当甲、乙两车相遇后，即3≤x＜5时，
则90x﹣90﹣60x＝30，
解得：x＝4，符合题设；
综上，在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，x的值为2或4．
24．在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD+∠BCD＝180°，连接BD，BD＝2，设四边形ABCD的面积为S．
【探究】如图（1），当∠ADC＝90°时，延长BC至E，使CE＝AB，连接DE．
①判断△BDE的形状，并说明理由；
②S＝　2　；
【类比】如图（2），当∠ADC＝60°时，延长BC至E，使CE＝AB，连接DE，则S＝　　；
【拓展】如图（3），当∠ADC＝α（0°＜α＜90°）时，S＝　2sinα　（用含α的式子表示）．
【分析】【探究】（1）①由已知证明△BAD≌△ECD（SAS），得BD＝ED，∠ADB＝∠CDE，根据∠ADC＝90°，即得∠BDE＝90°，故△BDE是等腰直角三角形；②由△BAD≌△ECD，可得S△BAD＝S△ECD，BD＝DE＝2，即得S＝S△BAD+S△BDC＝S△ECD+S△BDC＝S△BDE，可求S△BDE＝BD•DE＝2，故S＝2；
故答案为：2；
【类比】（2）过B作BH⊥DE于H，根据△BAD≌△ECD（SAS），得BD＝ED＝2，∠ADB＝∠CDE，S△BAD＝S△ECD，即S＝S△BAD+S△BDC＝S△ECD+S△BDC＝S△BDE，而∠ADC＝60°故∠BDE＝60°，在Rt△BDH中，可得BH＝，即得S△BDE＝DE•BH＝×2×＝，故S＝；
【拓展】（3）延长BC到E，使CE＝AB，连接DE，过B作BH⊥DE于H，由△BAD≌△ECD（SAS），得BD＝ED＝2，∠ADB＝∠CDE，S△BAD＝S△ECD，即得S＝S△BAD+S△BDC＝S△ECD+S△BDC＝S△BDE，而∠ADC＝α，可得∠BDE＝α，在Rt△BDH中，BH＝BD•sinα＝2sinα，可得S△BDE＝DE•BH＝×2×2sinα＝2sinα，故S＝2sinα．
【解答】解：【探究】（1）①△BDE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
而∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
在△BAD和△ECD中，
，
∴△BAD≌△ECD（SAS），
∴BD＝ED，∠ADB＝∠CDE，
∵∠ADC＝90°，即∠ADB+∠BDC＝90°，
∴∠CDE+∠BDC＝90°，即∠BDE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形；
②由①知△BAD≌△ECD，
∴S△BAD＝S△ECD，BD＝DE＝2，
∴S＝S△BAD+S△BDC＝S△ECD+S△BDC＝S△BDE，
而S△BDE＝BD•DE＝×2×2＝2，
∴S＝2；
故答案为：2；
【类比】（2）过B作BH⊥DE于H，如图：

∵∠BAD+∠BCD＝180°，
而∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
在△BAD和△ECD中，
，
∴△BAD≌△ECD（SAS），
∴BD＝ED＝2，∠ADB＝∠CDE，S△BAD＝S△ECD，
∴S＝S△BAD+S△BDC＝S△ECD+S△BDC＝S△BDE，
∵∠ADC＝60°，即∠ADB+∠BDC＝60°，
∴∠CDE+∠BDC＝60°，即∠BDE＝60°，
在Rt△BDH中，DH＝BD＝1，BH＝＝，
∴S△BDE＝DE•BH＝×2×＝，
∴S＝，
故答案为：；
【拓展】（3）延长BC到E，使CE＝AB，连接DE，过B作BH⊥DE于H，如图：

∵∠BAD+∠BCD＝180°，
而∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
在△BAD和△ECD中，
，
∴△BAD≌△ECD（SAS），
∴BD＝ED＝2，∠ADB＝∠CDE，S△BAD＝S△ECD，
∴S＝S△BAD+S△BDC＝S△ECD+S△BDC＝S△BDE，
∵∠ADC＝α，即∠ADB+∠BDC＝α，
∴∠CDE+∠BDC＝α，即∠BDE＝α，
在Rt△BDH中，BH＝BD•sinα＝2sinα，
∴S△BDE＝DE•BH＝×2×2sinα＝2sinα，
∴S＝2sinα．
故答案为：2sinα．
六、解答题（每小题0分，共20分）
25．如图，在矩形ABCD中，AC和BD交于点O，AB＝2，∠BAC＝60°．P，Q两点同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度沿折线A→B→D向终点D运动，点Q以每秒1个单位的速度沿折线A→C→D向终点D运动．设运动的时间为x秒，△APQ的面积为y．（规定：点和线段是面积为0的三角形）
（1）当点P在AB上时，△APQ的形状是 　等边三角形　．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当直线CP平分△ABC的面积时，直接写出x的值．

【分析】（1）由已知可得AP＝AQ，又∠BAC＝60°，故△APQ是等边三角形；
（2）①当P在AB上，Q在AC上时，0≤x≤2，过P作PE⊥AC于E，可得y＝AQ•PE＝x2；
②当P在BO上，Q在AC上时，2＜x≤4，过P作PF⊥AC于F，可得AB+BP＝AQ＝x，即得OP＝4﹣x，在Rt△POF中，PF＝OP•sin60°＝（4﹣x），故y＝AQ•PF＝﹣x2+x；
③当P在OD上，Q在CD上时，4＜x≤6，过P作PG⊥AD于G，过Q作QH⊥BD于H，可得S△APD＝AD•PG＝3﹣x，S△PDQ＝PD•QH＝（6﹣x）2，而S△ADQ＝AD•DQ＝6﹣x，即得y＝S△ADQ﹣S△APD﹣S△PDQ＝﹣x2+x﹣6；
（3）当P为AB中点时，直线CP平分△ABC的面积，此时x＝1，连接CP交BD于P'，当P运动到P'时，直线CP'平分△ABC的面积，由AB∥CD，即得＝＝，BP'＝BD＝，得AB+BP'＝，故此时x＝．
【解答】解：（1）∵P，Q两点同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向终点D运动，点Q以每秒1个单位的速度向终点D运动，
∴当点P在AB上时，AP＝AQ，
∵∠BAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，
在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，
∴AC＝4，BC＝＝2，
∴AC＝4，
①当P在AB上，Q在AC上时，0≤x≤2，过P作PE⊥AC于E，如图：

由（1）知此时△APQ是等边三角形，AP＝AQ＝x，
在Rt△APE中，PE＝AP•sin60°＝x，
∴y＝AQ•PE＝x2；
②当P在BO上，Q在AC上时，2＜x≤4，过P作PF⊥AC于F，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∵∠BAC＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠POF＝60°，OA＝OB＝AB＝2，
∵AB+BP＝AQ＝x，
∴OP＝4﹣x，
在Rt△POF中，PF＝OP•sin60°＝（4﹣x），
∴y＝AQ•PF＝x（4﹣x）＝﹣x2+x；
③当P在OD上，Q在CD上时，4＜x≤6，过P作PG⊥AD于G，过Q作QH⊥BD于H，如图：

∵AB+BP＝AC+CQ＝x，
∴DP＝DQ＝6﹣x，
而∠CDB＝∠ABD＝60°，
∴∠PDG＝30°，
在Rt△PDG中，PG＝PD＝（6﹣x），
在Rt△QDH中，QH＝DQ•sin60°＝（6﹣x），
∴S△APD＝AD•PG＝×2×（6﹣x）＝3﹣x，
S△PDQ＝PD•QH＝×（6﹣x）×（6﹣x）＝（6﹣x）2，
而S△ADQ＝AD•DQ＝×2×（6﹣x）＝6﹣x，
∴y＝S△ADQ﹣S△APD﹣S△PDQ＝（6﹣x）﹣（3﹣x）﹣（6﹣x）2＝﹣x2+x﹣6，
终上所述，y＝；
（3）如图：

当P为AB中点时，直线CP平分△ABC的面积，此时x＝1，
连接CP交BD于P'，当P运动到P'时，直线CP'平分△ABC的面积，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∴BP'＝DP'，
∴BP'＝BD＝，
∴AB+BP'＝，
∴x＝，
综上所述，直线CP平分△ABC的面积，x的值为1或．
26．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．过点A作x轴的垂线l，P为抛物线上一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M为直线l上一点，其纵坐标为﹣m+3，连接PM，设MQ的长度为n（n＞0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求n关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）直接写出n随着m的增大而减小时m的取值范围；
（4）直接写出x轴将△PQM分成的两部分的面积比是9：16时m的值．
【分析】（1）将点A和点B代入解析式，然后求出a、c的值，最后得到二次函数的解析式；
（2）分情况讨论，①点M在Q上方；②点M在Q下方，然后求出n与m的关系式；
（3）利用二次函数的性质求出n随m的增大而减小时的m的取值范围；
（4）分情况讨论：①点Q在x轴上方，点M在x轴下方；②点Q在x轴下方，点M在x轴上方，然后结合三角形相似的性质求解．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（0，﹣3）代入解析式，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m2﹣2m﹣3），
∴Q（﹣1，m2﹣2m﹣3），M（﹣1，﹣m+3），
∵n＞0，
∴点M和点Q不会重合，
当点M在点Q上方时，﹣m+3＞m2﹣2m﹣3，即﹣2＜m＜3时，
n＝﹣m+3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+6；
当点M在点Q下方时，﹣m+3＜m2﹣2m﹣3，即m＜﹣2或m＞3时，
n＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣m+3）＝m2﹣m﹣6；
综上所述，当﹣2＜m＜3时，n＝﹣m2+m+6；当m＜﹣2或m＞3时，n＝m2﹣m﹣6；
（3）当﹣2＜m＜3时，n＝﹣m2+m+6＝﹣（m﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线m＝，
∴当﹣2＜m≤时，n随m的增大而增大，当≤m＜3时，n随m的增大而减小；
当m＜﹣2或m＞3时，n＝m2﹣m﹣6＝（m﹣）2﹣，
∵a＝1＞0，对称轴为直线m＝，
∴当m＜﹣2时，n随m的增大而减小，当m＞3时，n随m的增大而增大；
综上所述，n随着m的增大而减小时m的取值范围为≤m＜3或m＜﹣2．
（4）∵P（m，m2﹣2m﹣3），Q（﹣1，m2﹣2m﹣3），M（﹣1，﹣m+3），A（﹣1，0），
∴AM＝|﹣m+3|，QM＝|m2﹣2m﹣3﹣（﹣m+3）|＝|（m﹣3）（m+2）|，
设PM与x轴的交点为点N，则△AMN∽△QMP，
∵x轴将△PQM分成的两部分的面积比是9：16，
∴S△AMN：S△QMP＝9：25或S△AMN：S△QMP＝16：25，
∴AM：QM＝3：5或AM：QM＝4：5，
如图1，当点Q在x轴上方，点M在x轴下方时，
m2﹣2m﹣3＞0＞﹣m+3，
解得：m＞3，
∴（m﹣3）：（m﹣3）（m+2）＝3：5或（m﹣3）：（m﹣3）（m+2）＝4：5，
解得：m＝﹣（舍）或m＝﹣（舍），
如图2，当点Q在x轴下方，点M在x轴上方时，
m2﹣2m﹣3＜0＜﹣m+3，
解得：﹣1＜m＜3，
∴（﹣m+3）：（﹣m+3）（m+2）＝3：5或（﹣m+3）：（﹣m+3）（m+2）＝4：5，
解得：m＝﹣或m＝﹣，
综上所述，m＝﹣或m＝﹣．