2021年新疆巴州区中考数学模拟试卷（一） 解析版

这是一份2021年新疆巴州区中考数学模拟试卷（一） 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年新疆巴州区中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
2．（4分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（　　）
A．3.6×103 B．3.6×104 C．3.6×105 D．36×104
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a8÷a4＝a2 B．（2a2）3＝6a6
C．3a3﹣2a2＝a D．3a（1﹣a）＝3a﹣3a2
4．（4分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（4分）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．32° C．42° D．58°
6．（4分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（　　）

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
7．（4分）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）

A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
8．（4分）在我校举行的秋季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．1.70，1.65 B．1.70，1.70 C．1.65，1.70 D．3，4
9．（4分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到9.68万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）
A．120% B．130% C．140% D．150%
10．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（　　）

A． B． C．π D．2π
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC＝5cm，BC＝12cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（　　）

A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
12．（4分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝；③当x＝0时，y2﹣y1＝6；④AB+AC＝10；其中正确结论的个数是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）分解因式：2ax2﹣8a＝　 　．
14．（4分）如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则AB：CD等于　 　．

15．（4分）对于一元二次方程x2+bx+c＝0，若b2﹣4ac≥0，则有x1+x2＝﹣b，x1x2＝c．方程x2﹣3x+2＝0…①，y2﹣4y+5＝0…②所有根之和为 　 　．
16．（4分）平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A、B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝x2的通径长为　 　．
17．（4分）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为　 　
18．（4分）点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　 　．

三、解答题（共78分．）
19．（16分）①计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；
②解不等式组：；
③先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．
20．（10分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点在格点上）顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标和周长最小值．

21．（10分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有　 　人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为　 　；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22．（12分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
23．（8分）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝53°，如果斑马线的宽度AB＝4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73，结果精确到0.1米）

24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若BC＝4，cos∠BAD＝，CF＝，求BF的长．

25．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年新疆巴州区中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
【分析】利用数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值为2．
故选：C．
2．（4分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（　　）
A．3.6×103 B．3.6×104 C．3.6×105 D．36×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：36000＝3.6×104，
故选：B．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a8÷a4＝a2 B．（2a2）3＝6a6
C．3a3﹣2a2＝a D．3a（1﹣a）＝3a﹣3a2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a4，不符合题意；
B、原式＝8a4，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝3a﹣3a2，符合题意，
故选：D．
4．（4分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，
故选：C．
5．（4分）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．32° C．42° D．58°
【分析】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质即可；
【解答】解：如图，

过点A作AB∥b，
∴∠3＝∠1＝58°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，
∵a∥b，AB∥B，
∴AB∥b，
∴∠2＝∠4＝32°，
故选：B．
6．（4分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（　　）

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：如图AC＝13，作CB⊥AB，

∵cosα＝＝，
∴AB＝12，
∴BC＝＝＝5，
∴小车上升的高度是5m．
故选：A．
7．（4分）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）

A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．
【解答】解：依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD＝BF：DE，
即5：AD＝0.4：5，
解得AD＝62.5，
BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．
故选：B．

8．（4分）在我校举行的秋季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．1.70，1.65 B．1.70，1.70 C．1.65，1.70 D．3，4
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：根据题意，共有15名运动员，则第8名运动员的成绩为中位数，即中位数为：1.70，
众数为：1.65．
故选：A．
9．（4分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到9.68万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）
A．120% B．130% C．140% D．150%
【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，根据该市2019年底及计划到2021年底全市5G用户数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意，得：2（1+x）2＝9.68，
解得：x1＝1.2＝120%，x2＝﹣3.2（不合题意，舍去）．
故选：A．
10．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（　　）

A． B． C．π D．2π
【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
【解答】解：∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA＝2，
∴阴影部分的面积是：＝，
故选：B．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC＝5cm，BC＝12cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（　　）

A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【分析】易利用勾股定理求得母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝5cm，BC＝12cm，∠ACB＝90°，
∴由勾股定理得AB＝13，
∴圆锥的底面周长＝10π，
∴旋转体的侧面积＝×10π×13＝65π，
故选：B．
12．（4分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝；③当x＝0时，y2﹣y1＝6；④AB+AC＝10；其中正确结论的个数是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据与y2＝（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1＝a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y2﹣y1的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出AB与AC的长，即可得到AB+AC的值．
【解答】解：①∵抛物线y2＝（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；

②把A（1，3）代入y1＝a（x+2）2﹣3得，3＝a（1+2）2﹣3，
解得a＝，故本结论正确；

③∵y1＝（x+2）2﹣3，y2＝（x﹣3）2+1，
∴当x＝0时，y1＝（0+2）2﹣3＝﹣，y2＝（0﹣3）2+1＝，
∴y2﹣y1＝﹣（﹣）＝≠6，故本结论错误；

④∵物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x＝﹣2，y2的对称轴为x＝3，
∴B（﹣5，3），C（5，3），
∴AB＝6，AC＝4，
∴AB+AC＝10，故结论正确．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）分解因式：2ax2﹣8a＝　2a（x+2）（x﹣2）　．
【分析】首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2a（x+2）（x﹣2）．
14．（4分）如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则AB：CD等于　2：3　．

【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则E、O、F三点共线，根据平行线分线段成比例可得即可，
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则E、O、F三点共线，

∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
故答案为：2：3．
15．（4分）对于一元二次方程x2+bx+c＝0，若b2﹣4ac≥0，则有x1+x2＝﹣b，x1x2＝c．方程x2﹣3x+2＝0…①，y2﹣4y+5＝0…②所有根之和为 　3　．
【分析】先判断两个方程是否有实数根，然后根据根与系数的关系求得即可．
【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0…①，
∵b2﹣4ac＝9﹣4×1×2＝1＞0，
∴方程①有两个不等的实数根，其和为3；
y2﹣4y+5＝0…②，
∵b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴方程②没有实数根，
∴方程x2﹣3x+2＝0…①，y2﹣4y+5＝0…②所有根之和为3，
故答案为3．
16．（4分）平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A、B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝x2的通径长为　2　．
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长．
【解答】解：设点A的坐标为（﹣2a，a），点A在x轴的负半轴，
则a＝，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
∴点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是1，
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，
故答案为：2．
17．（4分）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为　20　
【分析】设盒子中原有的白球的个数为x个，根据题意列出分式方程，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：设盒子中原有的白球的个数为x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原分式方程的解；
∴盒子中原有的白球的个数为20个．
故答案为：20；
18．（4分）点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　　．

【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1+S3＝27，求出S1，S3，S2即可．
【解答】解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝S3＝2S2，
∵S1+S3＝27，
∴S3＝，S1＝，S2＝，
解法二：∵CD＝DE＝OE，
∴S1＝，S四边形OGQD＝k，
∴S2＝（k﹣×2）＝，
S3＝k﹣k﹣k＝k，
∴k+k＝27，
∴k＝，
∴S2＝＝．
故答案为．

三、解答题（共78分．）
19．（16分）①计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；
②解不等式组：；
③先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．
【分析】①先计算绝对值、化简二次根式、代入三角函数值、计算负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
②分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
③先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将x的值代入计算即可．
【解答】解：①原式＝﹣1﹣2+2×+4
＝﹣1﹣2++4
＝3；
②解不等式4（x﹣1）≥x+2，得：x≥2，
解不等式＞x﹣1，得：x＜4，
则不等式组的解集为2≤x＜4；
③原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝
＝
＝．
20．（10分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点在格点上）顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标和周长最小值．

【分析】（1）根据点的坐标特征，找到原点位置即可；
（2）根据轴对称的性质进行画图；
（3）作点C关于y轴的对称点C'，连接C'B1，交y轴于点P，设直线B1C'的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B1（﹣2，﹣2），C'（1，4）代入即可．
【解答】解：（1）如图，根据点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4），
可找到原点O的坐标，建立如图所示的平面直角坐标系；

（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）作点C关于y轴的对称点C'，连接C'B1，交y轴于点P，
设直线B1 C'的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵B1 （﹣2，﹣2），C'（1，4），
∴，
解得，
∴直线B1C'的解析式为y＝2x+2，
∴P（0，2），
此时△PB1C的周长的最小值为B1C+B1C'＝+＝+3．
21．（10分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有　180　人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为　126°　；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
（2）用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
54÷30%＝180（人），
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；

（2）根据题意得：
360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，
故答案为：126°；

（3）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
22．（12分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
23．（8分）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝53°，如果斑马线的宽度AB＝4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73，结果精确到0.1米）

【分析】延长AB，过C作CE⊥AB于点E，在直角△AEC与直角△BEC中，利用三角函数，即可利用CE表示出AE于BE，根据AB＝AE﹣BE，即可得到关于CE的方程，从而求解．进而求得AE，则AE﹣AB﹣1.8即可求解．
【解答】解：延长AB，过C作CE⊥AB于点E，

∵∠DCA＝30°，∠DCB＝53°，
∴∠CAB＝∠DCA＝30°，∠CBE＝∠DCB＝53°，
设CE＝m．
则在直角△ACE中，tan∠CAE＝，
∴AE＝＝，
同理BE＝，
∵AB＝AE﹣BE，
∴﹣＝4，
解得：m＝4×≈4.08（m），
∴AE＝m≈7.06（m），
∴x＝7.06﹣4﹣1.8＝1.3（m）．
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若BC＝4，cos∠BAD＝，CF＝，求BF的长．

【分析】（1）根据切线的判定即可得直线AE是⊙O的切线．
（2）根据直径所对圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据BC＝4，cos∠BAD＝，即可求BF的长．
【解答】解：（1）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠CDB＝90°，

∵∠EAC＝∠ADC，∠CDB＝∠BAC，
∴∠EAC+∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°，
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）过点B作CF边的垂线交CF于点H．
∵cos∠BAD＝，
∴cos∠BCD＝，
∵BC＝4，
∴CH＝3，
∴BH＝，
∴FH＝CF﹣CH＝，
在Rt△BFH中，BF＝．

25．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△BEF，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；

（2）∵AD＝5，且OA＝1，
∴OD＝6，且CD＝8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8＝﹣x2+4x+5，解得x＝1或x＝3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；

（3）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线对称轴为x＝2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，

则∠BEF＝∠BMP＝∠QPN，
在△PQN和△BEF中

∴△PQN≌△BEF（AAS），
∴NQ＝BF＝OB﹣OF＝5﹣1＝4，
设Q（x，y），则QN＝|x﹣2|，
∴|x﹣2|＝4，解得x＝﹣2或x＝6，
当x＝﹣2或x＝6时，代入抛物线解析式可求得y＝﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2＝3×2，解得x＝4，把x＝4代入抛物线解析式可求得y＝5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．