河北省唐山市一中2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题 含答案

唐山一中2021—2022学年度第一学期期中考试

高二年级  数学试卷

命题人：刘月洁    审核人：王倩倩

说明：

1.考试时间120分钟，满分150分。2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。

卷Ⅰ(选择题  共60分)

一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。1-8题为单选，每小题5分；9-12题为多选，全对得5分，部分正确得2分，选错得0分）

1．“”是“直线：与直线：垂直”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．方程表示圆，则k的取值范围是（    ）

A．k或k>4 B．k=或k=4

C．<k<4 D．

3．椭圆的焦距是2，则的值为（    ）

A．5 B．3 C．5或3 D．20

4．直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（    ）

A．b=± B．或

C． D．以上都不对

5．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（    ）

A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．

6．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ）

A．或         B．或        C．或           D．或

7．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为，，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的值不可能为（    ）

A.          B.1           C.         D.2

9．（多选题）设直线，其中且.给出下列结论其中真命题有（    ）

A．的斜率是

B．的倾斜角是

C．的方向向量与向量平行

D．的法向量与向量平行.

10．（多选题）已知直线和圆，则（    ）

A．直线l恒过定点

B．存在k使得直线l与直线垂直

C．直线l与圆O相交

D．若，直线l被圆O截得的弦长为4

11．（多选题）已知曲线，则下列结论正确的是（    ）

A．若曲线C是椭圆，则其长轴长为 

B．若，则曲线C表示双曲线

C．曲线C可能表示一个圆 

D．若，则曲线C中过焦点的最短弦长为

12．（多选题）过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（    ）

A．抛物线的方程为   

B．的中点到准线的距离的最小值为3

C．              

D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点

卷Ⅱ(非选择题  共90分)

二．填空题（共4小题，共20分）

13．已知点，，直线l过定点（-2,0），且直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是       

14．已知双曲线：，与共渐近线的双曲线过，则的方程是_______ 

15．已知圆C的圆心,其中，圆C与x轴相切且半径为1，直线过（-2,0）点且倾斜角为，直线与圆C交于两点，则的面积为      

16．设O为坐标原点，抛物线，焦点坐标为       ，过N（0,2）的直线与抛物线的第一象限的交点为M，若点Q满足，则直线OQ斜率的最小值为      

三．解答题（共6小题，17题10分，其他题目每题12分）

17．（10分）已知的三个顶点、、.

（1）求边所在直线的方程；

（2）边上中线的方程为，边上高线过原点，求点A的坐标.

18．（12分）已知点，圆．

（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若直线与圆相交于A，两点，弦的长为，求的值．

19．已知椭圆：的离心率为，左焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值.

20．（12分）已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1．

（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．

21．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线：上一点到焦点的距离.不经过点的直线与交于，.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若直线，的斜率之和为2，证明：直线过定点.

22．（12分）已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．

（1）若恰是椭圆的焦点，求的值；

（2）若恰好被平分，求面积的最大值．

高二期中数学试卷答案

一．选择1-8   AACBD  DAC       9-12  AD  BD  BC  ABD

二．填空 13. 或    14.   15.   16.(0,1) 

17． （1）；（2）点A坐标()

解：（1）由、得边所在直线方程为，

即；

（2）∵A在AD上，2m-3n+6=0,又∵BC高过原点，∴k=2,∴n=2m，综上A()

18．（1）或；（2）．

解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径，

当过点的直线斜率不存在时，方程为，

由圆心到直线的距离知，直线与圆相切，

当过点的直线存在斜率时，

设方程为，即．

由题意知，

解得，

直线的方程为．

故过点的圆的切线方程为或．

（2）圆心到直线的距离为，

，

解得．

19. （1）；（2）.

解：（1）由题意得，解得，

∴椭圆的标准方程为；

（2）设点、的坐标分别为，，线段的中点为，

联立，消得，

由韦达定理得：，

∴，，

∵点在圆上，∴，

∴，满足，∴.

20．（1）；（2）0，，．

（1）由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．

∵直线与双曲线有两个不同的交点，

∴

解得，且，

∴k的取值范围为．

（2）结合（1），设A(x1，y1)、B(x2，y2)．

则x1＋x2＝，x1x2＝，

∴，

∵点O到直线l的距离d＝，

∴，

即，

解得或，检验符合．

故实数k的值为0，，．

21．（1）；（2）证明见解析.

（1）抛物线：的焦点，准线方程为，

因为抛物线上一点到焦点的距离，

由抛物线的定义得，所以.

所以抛物线的标准方程是；

（2）将代入可得或（舍），所以点坐标为，

因为直线的斜率不等于，设直线的方程是，，，

联立，得，

因为直线与有两个交点，所以，即.

由韦达定理得，

因为直线，的斜率之和为2，

所以

，

所以，

将代入上式可得：，即，

所以直线的方程是，它过定点.

22．（1）；（2）．

解：（1）在椭圆中，，所以，因为恰是椭圆的焦点，

所以，所以；

（2）设直线：，，

联立，得，则，则，

故的中点坐标为，又因为恰好被平分，则，，直线的斜率等于，将M、N的坐标代入椭圆方程得：

，，两式相减得：，

故，即直线的斜率等于，

所以，解得，

由的中点在椭圆内，得，解得，

因为，所以的最大值是2，

，

则面积，

所以，当时，面积的最大值是．