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2020-2021学年重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了8元C，6米，则大树EF的高度约为米，AD=3，【答案】A，【答案】C，【答案】B，5<75<9，等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷
1. −2020的绝对值是( )
A. −2020 B. 2020 C. −12020 D. 12020
2. 下列立体图形的主视图为圆形的是( )
A. B. C. D.
3. 计算：(a2b)3的结果是( )
A. a6b B. a6b3 C. a5b3 D. a2b3
4. 若a−b=2，则代数式−2a+2b−3的值为( )
A. −7 B. −1 C. 1 D. 7
5. 如图若点A、O、B在一条直线上，OM平分∠AOC，∠BON：∠CON=1：4，当∠AOM=20∘时，则∠BON=( )
A. 112∘ B. 70∘ C. 28∘ D. 20∘
6. 估计75−23的值应在( )
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
7. 某商店把一商品按标价的九折出售(即优惠10%)，仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为( )
A. 21元 B. 19.8元 C. 22.4元 D. 25.2元
8. 如图是由同样大小的棋子按照一定规律组成的图形，其中第①个图中需要8枚棋子，第②个图中需要17枚棋子，第③个图中需要26枚棋子，第④个图中需要有35枚棋子…照此规律排列下去，则第⑩个图中需要的棋子枚数为( )
A. 79 B. 89 C. 99 D. 109
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=13，BC=12，D为BC边上一点.将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为( )
A. 125 B. 265 C. 263 D. 343
10. 要使关于x的分式方程ax=1−a2x有整数根，且使关于x的不等式组x≥−25x
11. 如图，EF是垂直于水平面的一棵大树，小莹同学在A点处目测大树顶端F的仰角约为31∘.然后她沿一段坡度i=4：3，坡长为5米的斜坡AB到达B点．再沿水平方向向右行走2米到达C点(A、B、C、E、F在同一平面内)，在C处目测得大树的顶端F的仰角约为37∘，已知小莹同学的身高为1.6米，则大树EF的高度约为( )米(参考数据：tan31∘≈0.60，sin31∘≈0.52，tan37∘≈0.75，sin37∘≈0.60).
A. 31.6米 B. 34.6米 C. 35.6米 D. 36.6米
12. 如图，反比例函数y=28x(x>0)的图象经过正方形ABCD的顶点D，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过正方形ABCD的顶点A和顶点B，AD边交于y轴于点E.若AEDE=12，且顶点C的纵坐标为1，则k的值为( )
A. −18 B. −20 C. −21 D. −24
13. 第六次全口人数普查数据显示，万州全区常住人口超1650000人．数据1650000用科学记数法表示为______.
14. 已知△AOB与△COD是位似图形．位似中心为点O.若OA：OC=1：3.则△AOB与△COD的面积之比为______.
15. 小王和小李同学在一次数学能力测试中，对一道单项选择题一点思路都没有，该选择题设有A、B、C、D四个选项，则他们都猜对的概率为______.
16. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上一点，DE=BF，连接AC、EF、AF、CE，若AE=AF，AC=5，EF=8，则四边形AECF的面积为______ .
17. 周末，张琪和爸爸一同前往万达广场玩耍，但中途爸爸有事需立刻返回，而张琪保持原速继续前行5分钟后，觉得一个人到万达广场也不好玩，于是她也立刻沿原路返回，结果两人恰好同时到家．张琪和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1(米)、y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系如图所示，求张琪开始返回时与爸爸相距______米．
18. 三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了10个，老二带了16个，老三带了26个．上午他们按同一价格卖了若干个西瓜(西瓜按个数出售).过了中午，怕西瓜卖不完，他们跌价把所有的西瓜仍按同一价格全部卖掉了，回家后，他们清点卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的款一样多，m表示老大上午与老三上午卖的西瓜个数之差，n表示老二上午与老三上午卖的西瓜个数之差，则mn=______.
19. 计算：
(1)(2x−y)2−y(2x+y)；
(2)x2+6x+9x−2÷(x+2+3x+4x−2).
20. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交D的延长线于点F.
(1)若AB=2.AD=3.求EF的长；
(2)若G是EF的中点，连接BG和DG.求证：△BCG≌△DFG.
21. 某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”(满分为100分).竞赛结束后，现从七年级、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析，过程如下：
七年级：89，95，85，92，85，86，97，80，85，100，85，89，91，83，85，90，94，69，93，87.
八年级：100，91，97，92，82，91，100，93，87，93，90，91，84，91，72，87，92，90，80，57.
整理数据：分析数据：
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
8
八年级
1
0
1
5
13
应用数据：
平均分
众数
中位数
七年级
88
85
b
八年级
88
c
91
(1)由表填空：a=______，b=______，c=______.
(2)若该校七、八两个年级共有学生2400人，请你估计两个年级在本次竞赛中成绩高于95分的共有多少人？
(3)你认为哪个年级的学生对防疫卫生知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
22. 阅读下列材料：
定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零．那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数．将这个新的两位数与原两位数求和．再同除以11所得的商记为S(x).
例如，a=13.对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31=44，和44除以11的商为44÷11=4.所以S(13)=4.
(1)若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2(k−1)，且S(y)=10，求相异数y；
(2)若一个两位数x是“相异数”，且S(x)=8，求满足条件的x的个数．
23. 有这样一个问题：探究函数y=x+2x的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y=x+2x图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
如表是y与x的几组对应值．
x
−2
−32
−1
−12
13
12
1
2
3
4
…
y
0
−23
m
−6
21
10
3
1
53
64
…
(1)m的值为______；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点．画出该函数的图象；
(3)结合函数的图象．判断下列关于该函数性质结论正确的是______.
①函数关于原点对称；
②在每个象限内，函数y随x的增大而减小；
③当x=−2时，函数有最大值0；
(4)结合函数图象估计x+2x−x−4=0的解的个数为______个．
24. 每年的“双十二“接近寒冬，各商家抓住这一季节交替之际，许多商家利用这一契机进行了打折销售活动．某淘宝网店推出了甲、乙两款取暖器，已知甲款取暖器每台的进价为40元，标价为60元；乙款取暖器每台的进价为120元，标价为160元．
(1)若该网店在去年“双十二”当天按标价销售，共卖了200台甲、乙两款取暖器，结果发现利润不低于6400元．求乙款取暖器至少卖了多少台？
(2)现在正值销售旺季，为减少乙款取暖器的库存，该网店决定今年的“双十二”当天进行促销活动，甲款取暖器的售价每台在标价的基础上提高14m%，乙款取暖器售价每台在标价的基础上降低38m%.在实际销售过程中甲款取暖器销售量比(1)中的甲款最多销售量增加了m%，乙款取暖器销售量比(1)中的乙款最少销售量增加了2m%，最终乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍．求m的值．
25. 如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于点A(−1,0)和点B，交y轴于点C，CO=3AO，点P是抛物线上第一象限内的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P作PD//y轴交BC于点D.求线段PD长度的最大值；
(3)若Q为坐标平面内一点，在(2)的条件下，是否存在点Q，使得以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26. 在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60∘，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点．且CF=AE，连接BE、EF.
(1)如图1，若E是线段AC的中点，求EF的长；
(2)如图2.若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE=EF.
(3)如图3，若E是线段AC延长线上的一点，CE=12AC，将菱形ABCD绕着点B顺时针旋转α∘(0≤α≤360)，请直接写出在旋转过程中DE的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|=2020，
故选：B。
根据绝对值的定义直接解答。
本题考查了绝对值。解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
2.【答案】C
【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，三棱柱的主视图是长方形，球的主视图是圆，圆柱的主视图是长方形，
故选：C.
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3.【答案】B
【解析】解：(a2b)3=a6b3，故选：B.
根据幂的乘方和积的乘方，即可解答．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方．
4.【答案】A
【解析】解：∵a−b=2，
∴−2a+2b−3=−2(a−b)−3=−4−3=−7.
故选：A.
原式前两项提取−2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
本题主要考查了代数式求值，应用整体思想是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵OM平分∠AOC，∠AOM=20∘，
∴∠AOC=2×20∘=40∘，
∴∠COB=180∘−40∘=140∘，
∵∠BON：∠CON=1：4，
∴∠BON=140∘×15=28∘.
故选：C.
根据角平分线可得∠AOC=40∘，进而可得∠BOC=140∘，再利用角之间的比例关系可得答案．
此题主要考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．同时考查了邻补角定义．
6.【答案】B
【解析】解：∵23=12，3<12<3.5，
∵8.5<75<9，
∴5<75−23<6，
故选：B.
估算75和23的大小，再估算75−23的大小即可．
本题考查无理数的估算，理解平方根的意义是正确估算的前提．
7.【答案】A
【解析】解：设该商品的进价是x元，由题意得：(1+20%)x=28×(1−10%)，
解得：x=21
故选A.
设该商品的进价是x元，则实际售价为(1+20%)x.根据题意列方程，求解即可.
本题考查一元一次方程的应用，要注意寻找等量关系，列出方程．
8.【答案】B
【解析】解：∵第①个“中”字图案需要8枚棋子，即2×(1+3)+0×3，
第②个“中”字图案需要17枚棋子，即2×(2+5)+1×3，
第③个“中”字图案需要26枚棋子，即2×(3+7)+2×3，
第④个“中”字图案需要35枚棋子，即2×(4+9)+3×3，
⋅⋅⋅
则第⑩个“中”字图案需要2×(10+21)+9×3=89枚棋子，
故选：B.
根据前4个“中”字图案需要棋子的数量，总结规律，根据规律计算即可．
考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用得到的规律求解问题即可．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90∘，AB=13，BC=12，
∴AC=AB2−BC2=169−144=5，
∵将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，
∴AE=AB=13，BD=DE，
∴CE=8，
∵DE2=CD2+CE2，
∴DE2=(12−DE)2+64，
∴DE=263，
故选：C.
在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC=5，由折叠的性质可得AE=AB=13，BD=DE，在Rt△CDE中，由勾股定理可求DE的长．
本题考查了翻折变换，勾股定理，求出AC的长是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：解不等式组x≥−25x
∵x≠0，
∴a≠0，
∵分式方程ax=1−a2x有整数根，
∴a=−2或a=−4，
故选：C.
由不等式组x≥−25x
11.【答案】D
【解析】解：如图，过头顶作垂线交EF于点M，N，
设EF的高度为x米，
由题意可知：
CE=GN，CD=ON，GC=NE=DA=1.6m，
在Rt△BCD中，
∵AP：PB=4：3，AB=5m，
∴AP=4m，PB=3m，
在Rt△FDM中，
tan31∘=FMDM=x−4−1.63+2+CE=0.60，
在Rt△FGN中，
tan37∘=FNGN=x−1.6CE=0.75，
解得x=36.6(m)，CE=1403(m)，
则大树EF的高度约为36.6米．
故选：D.
过头顶作垂线交EF于点M，N，设EF的高度为x米，根据AP：PB=4：3，AB=5m，可得AP=4m，PB=3m，然后利用锐角三角函数列式可得x的值，进而可得结果．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：过A作AF⊥x轴于点F，过B作BG⊥AF于点G，过D作DH⊥AF于点H，过点C作CM⊥DH于点M，过E作EN⊥AF于点N，如图所示，
设A点坐标为(m,n)，则NE=−m，
∵AEDE=12，
∴AEAD=13，
∵EN//DH，
∴ENDH=AEAD=13，
∴DH=3EN=−3m，
∴D点的横坐标为−3m−(−m)=−2m，
∵点D在反比例函数y=28x(x>0)的图象上，
∴D(−2m,−14m)，
∴HF=−14m，
∵C点的纵坐标为1，
∴CM=−14m−1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90∘，AD=DC，
∵CM⊥DH，DH⊥AF，
∴∠AHD=∠DMC=90∘，
∴∠ADH+∠CDM=∠CDM+∠DCM=90∘，
∴∠ADH=∠DCM，
在△ADH和△CDM中，
∠AHD=∠DMC∠ADH=∠DCMAD=DC，
∴△ADH≌△CDM(AAS)，
∴DH=CM，即−3m=−14m−1，
解得，m=−2，或m=73(∵m<0,舍)，
同理：△ADH≌△BDG，
∴AG=DH=−3m=6，BG=AH=n+14m=n−7，
∴B点的横坐标为：m−(n−7)=−2−n+7=5−n，
GF=AF−AG=n−6，
∴B(5−n,n−6)，
∵A(−2,n)和B(5−n,n−6)都在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，
∴k=−2n=(5−n)(n−6)，
解得，n=10或3，
当n=3时，B点的纵坐标n−6=−3<0，与已知B点在二象限不符，应舍去，
∴n=10，
∴k=−20.
故选：B.
过A作AF⊥x轴于点F，过B作BG⊥AF于点G，过D作DH⊥AF于点H，过点C作CM⊥DH于点M，过E作EN⊥AF于点N，设A点坐标为(m,n)，则NE=−m，根据平行线截三角形所得三角形三边与原三角形的三边对应成比例，用m表示D点坐标，进而证明△ADH≌△CDM得DH=CM，由此等量关系求得m的值，再由△ADH≌△BDG得出B点的坐标，进而将A、B点坐标代入反比例函数y=kx中即可求得n的值，进而求得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是关键．
13.【答案】1.65×106
【解析】解：1650000用科学记数法表示为1.65×106，
故答案为：1.65×106.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】1：9
【解析】解：∵△AOB与△COD是位似图形．位似中心为点O，OA：OC=1：3，
∴△AOB与△COD的面积之比为：1：9.
故答案为：1：9.
直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
15.【答案】116
【解析】解：画树状图得：
则对这两道题选项的选择共有16种等可能的结果，他们选对的只有1种情况，
∴他们都猜对的概率为116，
故答案为：116.
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，从中找到它们选对的只有一种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵BF=DE，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，AE=CF，
∴AF=CE，
∵AE=AF，
∴四边形AFCE是菱形，
∵AC=5，EF=8，
，
故答案为：20.
首先判定四边形AFCE是菱形，然后利用对角线乘积的一半求得菱形的面积即可．
考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定的知识，解题的关键是判定四边形AFCE是菱形．
17.【答案】1500
【解析】解：由题意得，爸爸返回的速度为：3000÷(45−15)=100(米/分)，
张琪前行的速度为：3000÷15=200(米/分)，
张琪开始返回时与爸爸的距离为：200×5+100×5=1500(米).
故答案为：1500.
根据题意结合图象可得爸爸返回的速度以及张琪前行的速度，进而得出张琪开始返回时与爸爸的距离．
本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】85
【解析】解：设老大、老二、老三上午各卖了西瓜x个、y个、z个，上午西瓜单价为a元/个，下午西瓜单价为b元/个，他们卖瓜所得的款为c元，则列方程组为
①-③得，
(a−b)(x−z)=16b，即m(a−b)=16b，
②-③得，
(a−b)(y−z)=10b，即n(a−b)=10b，
∴m(a−b)n(a−b)=mn=16b10b=85，
即mn=85，
故答案为：85.
设老大、老二、老三上午各卖了西瓜x个、y个、z个，上午西瓜单价为a元/个，下午西瓜单价为b元/个，他们卖瓜所得的款为c元，则列方程组求得结果为85.
此题考查了利用方程组解决实际问题的能力，关键是能对复杂问题设出未知数、列出方程组并正确、灵活的求解．
19.【答案】解：(1)原式=4x2−4xy+y2−2xy−y2
=4x2−6xy；
(2)原式=(x+3)2x−2÷(x+2)(x−2)+3x+4x−2
=(x+3)2x−2⋅x−2x(x+3)
=x+3x.
【解析】(1)先根据完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可；
(2)先算括号内的加法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．
20.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90∘，BC=AD=3，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=45∘，
∴∠BEA=∠BAE=45∘，
∴BE=AB=2.
∴CE=BC−BE=1，
∵∠CEF=∠AEB=45∘，∠ECF=90∘，
∴∠F=∠CEF=45∘，
∴CE=CF=1，
∴EF=2CE=2；
(2)证明：连接CG，如图：
∵△CEF是等腰直角三角形，G为EF的中点，
∴CG=FG，∠ECG=45∘，
∴∠BCG=∠DFG=45∘，
又∵DF=CD+CF=3，
∴DF=BC，
在△BCG和△DFG中，
CG=FG∠BCG=∠DFGBC=DF，
∴△BCG≌△DFG(SAS).
【解析】(1)先证△ABE是等腰直角三角形，得BE=AB=2，同理CE=CF，由等腰直角三角形的性质即可求解；
(2)连接CG，证明CG=CF，∠F=∠ECG=45∘，再由SAS证明△BCG≌△DFG即可．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明CE=CF是解题的关键．
21.【答案】11 88 91
【解析】解：(1)a=20−1−8=11，
七年级20名学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为87+892=88(分)，因此中位数是88，即b=88，
八年级20名学生成绩出现次数最多的是91分，共出现4次，因此众数是91分，即c=91，
故答案为：11，88，91；
(2)2400×2+320+20=300(人)，
答：两个年级在本次竞赛中成绩高于95分的共有300人；
(3)八年级成绩较好，理由：由于七八年级的平均分，中位数都相等，而八年级成绩的众数为88，高于七年级学生成绩的众数85，因此八年级成绩较好．
(1)根据中位数、众数的意义求解即可；
(2)求出样本中高于95分学生占调查学生人数的百分比即可；
(3)从众数的比较调查答案．
本题考查中位数、众数，频数分布表，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提．
22.【答案】解：(1)由“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2(k−1)，且S(y)=10得，
10k+2(k−1)+20(k−1)+k=10×11，
解得k=4，
∴2(k−1)=2×3=6，
∴相异数y是46；
(2)设“相异数”的十位数字为a，个位数字为b，则x=10a+b，
由S(x)=8得，10a+b+10b+a=8×11，
即：a+b=8，
当a=1时，b=7，此时“相异数”x为17；
当a=2时，b=6，此时“相异数”x为26；
当a=3时，b=5，此时“相异数”x为35；
当a=5时，b=3，此时“相异数”x为53；
当a=6时，b=2，此时“相异数”x为62；
当a=7时，b=1，此时“相异数”x为71.
【解析】(1)根据“相异数”的定义，由S(y)=10，列方程求出“相异数y”的十位数字和个位数字，进而确定y；
(2)设出“相异数”的十位、个位数字，根据“相异数”的定义，由S(x)=8，得出十位数字和个位数字之间的关系，进而得出结论．
本题主要考查有理数和整式的运算，理解“相异数”的意义是正确解答的关键．
23.【答案】−1② 1
【解析】解：(1)当x=−1时，y=x+2x=−1+2−1=−1=m，
故答案为：−1；
(2)描点连线绘出如下函数图象：
(3)从图象看，在每个象限内，函数y随x增大而减小，
故答案为：②；
(4)在(3)的基础上，画出y=x+4的图象，
从图象看，两个函数有1个交点，
故答案为：1.
(1)将x=−1代入函数关系式即可求解；
(2)描点连线绘出函数图象即可；
(3)从图象看，函数y随x增大而减小，进而求解；
(4)在(2)的基础上，画出y=x+4的图象，从图象看，两个函数有1个交点，即可求解．
本题考查了函数的性质，函数的图象，画出函数图象是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了(200−x)台，
依题意得：(60−40)(200−x)+(160−120)x≥6400，
解得：x≥120.
答：乙款取暖器至少卖了120台．
(2)依题意得：160(1−38m%)×120(1+2m%)=4×60(1+14m%)×(200−120)(1+m%)，
整理得：m2−752m=0，
解得：m1=752，m2=0(不合题意，舍去).
答：m的值为752.
【解析】(1)设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了(200−x)台，根据总利润=每台的利润×销售数量，结合总利润不低于6400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
(2)利用销售总额=销售单价×销售数量，结合乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】解：(1)∵A(−1,0)，CO=3AO，
∴C(0,3)，
∵抛物线y=−x2+bx+c过A点、C点，
∴−1−b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
∴B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+d，
∴3k+d=0d=3，
解得k=−1d=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
设P(x,−x2+2x+3)，则点D(x,−x+3)(0
∴当x=32时，PD有最大值为94；
(3)存在，理由如下：
由(2)知P(32,154)，D(32,32)，PD=94，
若以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，
①以PD为边，则CQ//PD，CQ=PD，
∵C(0,3)，
∴Q(0,214)或(0,34)；
②以PD为对角线，令PD的中点为M，则M也为CQ的中点，
∵P(32,154)，D(32,32)，
∴M(32+322,154+322)，
即M(32,218)，
∵C(0,3)，
设Q点坐标为(m,n)，
∴0+m2=32，3+n2=218，
解得m=3，n=94，
∴Q(3,94)；
综上，符合条件的Q点有(0,214)或(0,34)或(3,94).
【解析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)用待定系数法求直线BC的解析式，设P(x,−x2+2x+3)，则点D(x,−x+3)(0
本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法求解析式及平行四边形的性质是解题的关键．
26.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60∘，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABE=30∘，AE=CE，
∵CF=AE，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF=12∠BCA=30∘，
∴∠CBE=∠F=30∘，
∴BE=EF，
∵AB=CB，AE=CE，
∴∠BEC=90∘，
∵BC=4，EC=2，
∴BE=BC2−EC2=42−22=23，
∴EF=BE=23.
(2)证明：过点E作EG//BC交AB延长线于点G，如图2所示，
∴∠ECF=60∘，
又∵EG//BC，
∴∠AGE=∠ABC=60∘，
又∵∠BAC=60∘，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE=GE，
∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
在△BGE和△CEF中，
BG=CE∠AGE=∠ECFGE=CF，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE=EF；
(3)解：如图3中，连接BD交AC于点O.连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=4，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵∠ABC=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=4，
∴OA=OC=2，OB=23，
∴BD=2OB=43，
∵EC=12AC=2，
∴OE=OC+CE=4，
∴BE=OB2+OE2=(23)2+42=27，
∵DE≤BD+BE，
∴DE≤43+27，
∴DE的最大值为43+27.
【解析】(1)由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA=60∘，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论；
(2)过点E作EG//BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC，∠ACB=60∘，再证明△AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60∘，然后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；
(3)如图3中，连接BD交AC于点O.解直角三角形求出BD，BE，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
2020-2021学年重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷
1. −2020的绝对值是( )
A. −2020 B. 2020 C. −12020 D. 12020
2. 下列立体图形的主视图为圆形的是( )
A. B. C. D.
3. 计算：(a2b)3的结果是( )
A. a6b B. a6b3 C. a5b3 D. a2b3
4. 若a−b=2，则代数式−2a+2b−3的值为( )
A. −7 B. −1 C. 1 D. 7
5. 如图若点A、O、B在一条直线上，OM平分∠AOC，∠BON：∠CON=1：4，当∠AOM=20∘时，则∠BON=( )
A. 112∘ B. 70∘ C. 28∘ D. 20∘
6. 估计75−23的值应在( )
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
7. 某商店把一商品按标价的九折出售(即优惠10%)，仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为( )
A. 21元 B. 19.8元 C. 22.4元 D. 25.2元
8. 如图是由同样大小的棋子按照一定规律组成的图形，其中第①个图中需要8枚棋子，第②个图中需要17枚棋子，第③个图中需要26枚棋子，第④个图中需要有35枚棋子…照此规律排列下去，则第⑩个图中需要的棋子枚数为( )
A. 79 B. 89 C. 99 D. 109
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=13，BC=12，D为BC边上一点.将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为( )
A. 125 B. 265 C. 263 D. 343
10. 要使关于x的分式方程ax=1−a2x有整数根，且使关于x的不等式组x≥−25x
11. 如图，EF是垂直于水平面的一棵大树，小莹同学在A点处目测大树顶端F的仰角约为31∘.然后她沿一段坡度i=4：3，坡长为5米的斜坡AB到达B点．再沿水平方向向右行走2米到达C点(A、B、C、E、F在同一平面内)，在C处目测得大树的顶端F的仰角约为37∘，已知小莹同学的身高为1.6米，则大树EF的高度约为( )米(参考数据：tan31∘≈0.60，sin31∘≈0.52，tan37∘≈0.75，sin37∘≈0.60).
A. 31.6米 B. 34.6米 C. 35.6米 D. 36.6米
12. 如图，反比例函数y=28x(x>0)的图象经过正方形ABCD的顶点D，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过正方形ABCD的顶点A和顶点B，AD边交于y轴于点E.若AEDE=12，且顶点C的纵坐标为1，则k的值为( )
A. −18 B. −20 C. −21 D. −24
13. 第六次全口人数普查数据显示，万州全区常住人口超1650000人．数据1650000用科学记数法表示为______.
14. 已知△AOB与△COD是位似图形．位似中心为点O.若OA：OC=1：3.则△AOB与△COD的面积之比为______.
15. 小王和小李同学在一次数学能力测试中，对一道单项选择题一点思路都没有，该选择题设有A、B、C、D四个选项，则他们都猜对的概率为______.
16. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上一点，DE=BF，连接AC、EF、AF、CE，若AE=AF，AC=5，EF=8，则四边形AECF的面积为______ .
17. 周末，张琪和爸爸一同前往万达广场玩耍，但中途爸爸有事需立刻返回，而张琪保持原速继续前行5分钟后，觉得一个人到万达广场也不好玩，于是她也立刻沿原路返回，结果两人恰好同时到家．张琪和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1(米)、y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系如图所示，求张琪开始返回时与爸爸相距______米．
18. 三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了10个，老二带了16个，老三带了26个．上午他们按同一价格卖了若干个西瓜(西瓜按个数出售).过了中午，怕西瓜卖不完，他们跌价把所有的西瓜仍按同一价格全部卖掉了，回家后，他们清点卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的款一样多，m表示老大上午与老三上午卖的西瓜个数之差，n表示老二上午与老三上午卖的西瓜个数之差，则mn=______.
19. 计算：
(1)(2x−y)2−y(2x+y)；
(2)x2+6x+9x−2÷(x+2+3x+4x−2).
20. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交D的延长线于点F.
(1)若AB=2.AD=3.求EF的长；
(2)若G是EF的中点，连接BG和DG.求证：△BCG≌△DFG.
21. 某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”(满分为100分).竞赛结束后，现从七年级、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析，过程如下：
七年级：89，95，85，92，85，86，97，80，85，100，85，89，91，83，85，90，94，69，93，87.
八年级：100，91，97，92，82，91，100，93，87，93，90，91，84，91，72，87，92，90，80，57.
整理数据：分析数据：
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
8
八年级
1
0
1
5
13
应用数据：
平均分
众数
中位数
七年级
88
85
b
八年级
88
c
91
(1)由表填空：a=______，b=______，c=______.
(2)若该校七、八两个年级共有学生2400人，请你估计两个年级在本次竞赛中成绩高于95分的共有多少人？
(3)你认为哪个年级的学生对防疫卫生知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
22. 阅读下列材料：
定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零．那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数．将这个新的两位数与原两位数求和．再同除以11所得的商记为S(x).
例如，a=13.对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31=44，和44除以11的商为44÷11=4.所以S(13)=4.
(1)若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2(k−1)，且S(y)=10，求相异数y；
(2)若一个两位数x是“相异数”，且S(x)=8，求满足条件的x的个数．
23. 有这样一个问题：探究函数y=x+2x的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y=x+2x图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
如表是y与x的几组对应值．
x
−2
−32
−1
−12
13
12
1
2
3
4
…
y
0
−23
m
−6
21
10
3
1
53
64
…
(1)m的值为______；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点．画出该函数的图象；
(3)结合函数的图象．判断下列关于该函数性质结论正确的是______.
①函数关于原点对称；
②在每个象限内，函数y随x的增大而减小；
③当x=−2时，函数有最大值0；
(4)结合函数图象估计x+2x−x−4=0的解的个数为______个．
24. 每年的“双十二“接近寒冬，各商家抓住这一季节交替之际，许多商家利用这一契机进行了打折销售活动．某淘宝网店推出了甲、乙两款取暖器，已知甲款取暖器每台的进价为40元，标价为60元；乙款取暖器每台的进价为120元，标价为160元．
(1)若该网店在去年“双十二”当天按标价销售，共卖了200台甲、乙两款取暖器，结果发现利润不低于6400元．求乙款取暖器至少卖了多少台？
(2)现在正值销售旺季，为减少乙款取暖器的库存，该网店决定今年的“双十二”当天进行促销活动，甲款取暖器的售价每台在标价的基础上提高14m%，乙款取暖器售价每台在标价的基础上降低38m%.在实际销售过程中甲款取暖器销售量比(1)中的甲款最多销售量增加了m%，乙款取暖器销售量比(1)中的乙款最少销售量增加了2m%，最终乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍．求m的值．
25. 如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于点A(−1,0)和点B，交y轴于点C，CO=3AO，点P是抛物线上第一象限内的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P作PD//y轴交BC于点D.求线段PD长度的最大值；
(3)若Q为坐标平面内一点，在(2)的条件下，是否存在点Q，使得以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26. 在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60∘，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点．且CF=AE，连接BE、EF.
(1)如图1，若E是线段AC的中点，求EF的长；
(2)如图2.若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE=EF.
(3)如图3，若E是线段AC延长线上的一点，CE=12AC，将菱形ABCD绕着点B顺时针旋转α∘(0≤α≤360)，请直接写出在旋转过程中DE的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|=2020，
故选：B。
根据绝对值的定义直接解答。
本题考查了绝对值。解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
2.【答案】C
【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，三棱柱的主视图是长方形，球的主视图是圆，圆柱的主视图是长方形，
故选：C.
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3.【答案】B
【解析】解：(a2b)3=a6b3，故选：B.
根据幂的乘方和积的乘方，即可解答．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方．
4.【答案】A
【解析】解：∵a−b=2，
∴−2a+2b−3=−2(a−b)−3=−4−3=−7.
故选：A.
原式前两项提取−2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
本题主要考查了代数式求值，应用整体思想是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵OM平分∠AOC，∠AOM=20∘，
∴∠AOC=2×20∘=40∘，
∴∠COB=180∘−40∘=140∘，
∵∠BON：∠CON=1：4，
∴∠BON=140∘×15=28∘.
故选：C.
根据角平分线可得∠AOC=40∘，进而可得∠BOC=140∘，再利用角之间的比例关系可得答案．
此题主要考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．同时考查了邻补角定义．
6.【答案】B
【解析】解：∵23=12，3<12<3.5，
∵8.5<75<9，
∴5<75−23<6，
故选：B.
估算75和23的大小，再估算75−23的大小即可．
本题考查无理数的估算，理解平方根的意义是正确估算的前提．
7.【答案】A
【解析】解：设该商品的进价是x元，由题意得：(1+20%)x=28×(1−10%)，
解得：x=21
故选A.
设该商品的进价是x元，则实际售价为(1+20%)x.根据题意列方程，求解即可.
本题考查一元一次方程的应用，要注意寻找等量关系，列出方程．
8.【答案】B
【解析】解：∵第①个“中”字图案需要8枚棋子，即2×(1+3)+0×3，
第②个“中”字图案需要17枚棋子，即2×(2+5)+1×3，
第③个“中”字图案需要26枚棋子，即2×(3+7)+2×3，
第④个“中”字图案需要35枚棋子，即2×(4+9)+3×3，
⋅⋅⋅
则第⑩个“中”字图案需要2×(10+21)+9×3=89枚棋子，
故选：B.
根据前4个“中”字图案需要棋子的数量，总结规律，根据规律计算即可．
考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用得到的规律求解问题即可．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90∘，AB=13，BC=12，
∴AC=AB2−BC2=169−144=5，
∵将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，
∴AE=AB=13，BD=DE，
∴CE=8，
∵DE2=CD2+CE2，
∴DE2=(12−DE)2+64，
∴DE=263，
故选：C.
在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC=5，由折叠的性质可得AE=AB=13，BD=DE，在Rt△CDE中，由勾股定理可求DE的长．
本题考查了翻折变换，勾股定理，求出AC的长是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：解不等式组x≥−25x
∵x≠0，
∴a≠0，
∵分式方程ax=1−a2x有整数根，
∴a=−2或a=−4，
故选：C.
由不等式组x≥−25x
11.【答案】D
【解析】解：如图，过头顶作垂线交EF于点M，N，
设EF的高度为x米，
由题意可知：
CE=GN，CD=ON，GC=NE=DA=1.6m，
在Rt△BCD中，
∵AP：PB=4：3，AB=5m，
∴AP=4m，PB=3m，
在Rt△FDM中，
tan31∘=FMDM=x−4−1.63+2+CE=0.60，
在Rt△FGN中，
tan37∘=FNGN=x−1.6CE=0.75，
解得x=36.6(m)，CE=1403(m)，
则大树EF的高度约为36.6米．
故选：D.
过头顶作垂线交EF于点M，N，设EF的高度为x米，根据AP：PB=4：3，AB=5m，可得AP=4m，PB=3m，然后利用锐角三角函数列式可得x的值，进而可得结果．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：过A作AF⊥x轴于点F，过B作BG⊥AF于点G，过D作DH⊥AF于点H，过点C作CM⊥DH于点M，过E作EN⊥AF于点N，如图所示，
设A点坐标为(m,n)，则NE=−m，
∵AEDE=12，
∴AEAD=13，
∵EN//DH，
∴ENDH=AEAD=13，
∴DH=3EN=−3m，
∴D点的横坐标为−3m−(−m)=−2m，
∵点D在反比例函数y=28x(x>0)的图象上，
∴D(−2m,−14m)，
∴HF=−14m，
∵C点的纵坐标为1，
∴CM=−14m−1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90∘，AD=DC，
∵CM⊥DH，DH⊥AF，
∴∠AHD=∠DMC=90∘，
∴∠ADH+∠CDM=∠CDM+∠DCM=90∘，
∴∠ADH=∠DCM，
在△ADH和△CDM中，
∠AHD=∠DMC∠ADH=∠DCMAD=DC，
∴△ADH≌△CDM(AAS)，
∴DH=CM，即−3m=−14m−1，
解得，m=−2，或m=73(∵m<0,舍)，
同理：△ADH≌△BDG，
∴AG=DH=−3m=6，BG=AH=n+14m=n−7，
∴B点的横坐标为：m−(n−7)=−2−n+7=5−n，
GF=AF−AG=n−6，
∴B(5−n,n−6)，
∵A(−2,n)和B(5−n,n−6)都在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，
∴k=−2n=(5−n)(n−6)，
解得，n=10或3，
当n=3时，B点的纵坐标n−6=−3<0，与已知B点在二象限不符，应舍去，
∴n=10，
∴k=−20.
故选：B.
过A作AF⊥x轴于点F，过B作BG⊥AF于点G，过D作DH⊥AF于点H，过点C作CM⊥DH于点M，过E作EN⊥AF于点N，设A点坐标为(m,n)，则NE=−m，根据平行线截三角形所得三角形三边与原三角形的三边对应成比例，用m表示D点坐标，进而证明△ADH≌△CDM得DH=CM，由此等量关系求得m的值，再由△ADH≌△BDG得出B点的坐标，进而将A、B点坐标代入反比例函数y=kx中即可求得n的值，进而求得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是关键．
13.【答案】1.65×106
【解析】解：1650000用科学记数法表示为1.65×106，
故答案为：1.65×106.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】1：9
【解析】解：∵△AOB与△COD是位似图形．位似中心为点O，OA：OC=1：3，
∴△AOB与△COD的面积之比为：1：9.
故答案为：1：9.
直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
15.【答案】116
【解析】解：画树状图得：
则对这两道题选项的选择共有16种等可能的结果，他们选对的只有1种情况，
∴他们都猜对的概率为116，
故答案为：116.
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，从中找到它们选对的只有一种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵BF=DE，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，AE=CF，
∴AF=CE，
∵AE=AF，
∴四边形AFCE是菱形，
∵AC=5，EF=8，
，
故答案为：20.
首先判定四边形AFCE是菱形，然后利用对角线乘积的一半求得菱形的面积即可．
考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定的知识，解题的关键是判定四边形AFCE是菱形．
17.【答案】1500
【解析】解：由题意得，爸爸返回的速度为：3000÷(45−15)=100(米/分)，
张琪前行的速度为：3000÷15=200(米/分)，
张琪开始返回时与爸爸的距离为：200×5+100×5=1500(米).
故答案为：1500.
根据题意结合图象可得爸爸返回的速度以及张琪前行的速度，进而得出张琪开始返回时与爸爸的距离．
本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】85
【解析】解：设老大、老二、老三上午各卖了西瓜x个、y个、z个，上午西瓜单价为a元/个，下午西瓜单价为b元/个，他们卖瓜所得的款为c元，则列方程组为
①-③得，
(a−b)(x−z)=16b，即m(a−b)=16b，
②-③得，
(a−b)(y−z)=10b，即n(a−b)=10b，
∴m(a−b)n(a−b)=mn=16b10b=85，
即mn=85，
故答案为：85.
设老大、老二、老三上午各卖了西瓜x个、y个、z个，上午西瓜单价为a元/个，下午西瓜单价为b元/个，他们卖瓜所得的款为c元，则列方程组求得结果为85.
此题考查了利用方程组解决实际问题的能力，关键是能对复杂问题设出未知数、列出方程组并正确、灵活的求解．
19.【答案】解：(1)原式=4x2−4xy+y2−2xy−y2
=4x2−6xy；
(2)原式=(x+3)2x−2÷(x+2)(x−2)+3x+4x−2
=(x+3)2x−2⋅x−2x(x+3)
=x+3x.
【解析】(1)先根据完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可；
(2)先算括号内的加法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．
20.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90∘，BC=AD=3，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=45∘，
∴∠BEA=∠BAE=45∘，
∴BE=AB=2.
∴CE=BC−BE=1，
∵∠CEF=∠AEB=45∘，∠ECF=90∘，
∴∠F=∠CEF=45∘，
∴CE=CF=1，
∴EF=2CE=2；
(2)证明：连接CG，如图：
∵△CEF是等腰直角三角形，G为EF的中点，
∴CG=FG，∠ECG=45∘，
∴∠BCG=∠DFG=45∘，
又∵DF=CD+CF=3，
∴DF=BC，
在△BCG和△DFG中，
CG=FG∠BCG=∠DFGBC=DF，
∴△BCG≌△DFG(SAS).
【解析】(1)先证△ABE是等腰直角三角形，得BE=AB=2，同理CE=CF，由等腰直角三角形的性质即可求解；
(2)连接CG，证明CG=CF，∠F=∠ECG=45∘，再由SAS证明△BCG≌△DFG即可．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明CE=CF是解题的关键．
21.【答案】11 88 91
【解析】解：(1)a=20−1−8=11，
七年级20名学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为87+892=88(分)，因此中位数是88，即b=88，
八年级20名学生成绩出现次数最多的是91分，共出现4次，因此众数是91分，即c=91，
故答案为：11，88，91；
(2)2400×2+320+20=300(人)，
答：两个年级在本次竞赛中成绩高于95分的共有300人；
(3)八年级成绩较好，理由：由于七八年级的平均分，中位数都相等，而八年级成绩的众数为88，高于七年级学生成绩的众数85，因此八年级成绩较好．
(1)根据中位数、众数的意义求解即可；
(2)求出样本中高于95分学生占调查学生人数的百分比即可；
(3)从众数的比较调查答案．
本题考查中位数、众数，频数分布表，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提．
22.【答案】解：(1)由“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2(k−1)，且S(y)=10得，
10k+2(k−1)+20(k−1)+k=10×11，
解得k=4，
∴2(k−1)=2×3=6，
∴相异数y是46；
(2)设“相异数”的十位数字为a，个位数字为b，则x=10a+b，
由S(x)=8得，10a+b+10b+a=8×11，
即：a+b=8，
当a=1时，b=7，此时“相异数”x为17；
当a=2时，b=6，此时“相异数”x为26；
当a=3时，b=5，此时“相异数”x为35；
当a=5时，b=3，此时“相异数”x为53；
当a=6时，b=2，此时“相异数”x为62；
当a=7时，b=1，此时“相异数”x为71.
【解析】(1)根据“相异数”的定义，由S(y)=10，列方程求出“相异数y”的十位数字和个位数字，进而确定y；
(2)设出“相异数”的十位、个位数字，根据“相异数”的定义，由S(x)=8，得出十位数字和个位数字之间的关系，进而得出结论．
本题主要考查有理数和整式的运算，理解“相异数”的意义是正确解答的关键．
23.【答案】−1② 1
【解析】解：(1)当x=−1时，y=x+2x=−1+2−1=−1=m，
故答案为：−1；
(2)描点连线绘出如下函数图象：
(3)从图象看，在每个象限内，函数y随x增大而减小，
故答案为：②；
(4)在(3)的基础上，画出y=x+4的图象，
从图象看，两个函数有1个交点，
故答案为：1.
(1)将x=−1代入函数关系式即可求解；
(2)描点连线绘出函数图象即可；
(3)从图象看，函数y随x增大而减小，进而求解；
(4)在(2)的基础上，画出y=x+4的图象，从图象看，两个函数有1个交点，即可求解．
本题考查了函数的性质，函数的图象，画出函数图象是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了(200−x)台，
依题意得：(60−40)(200−x)+(160−120)x≥6400，
解得：x≥120.
答：乙款取暖器至少卖了120台．
(2)依题意得：160(1−38m%)×120(1+2m%)=4×60(1+14m%)×(200−120)(1+m%)，
整理得：m2−752m=0，
解得：m1=752，m2=0(不合题意，舍去).
答：m的值为752.
【解析】(1)设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了(200−x)台，根据总利润=每台的利润×销售数量，结合总利润不低于6400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
(2)利用销售总额=销售单价×销售数量，结合乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】解：(1)∵A(−1,0)，CO=3AO，
∴C(0,3)，
∵抛物线y=−x2+bx+c过A点、C点，
∴−1−b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
∴B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+d，
∴3k+d=0d=3，
解得k=−1d=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
设P(x,−x2+2x+3)，则点D(x,−x+3)(0
∴当x=32时，PD有最大值为94；
(3)存在，理由如下：
由(2)知P(32,154)，D(32,32)，PD=94，
若以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，
①以PD为边，则CQ//PD，CQ=PD，
∵C(0,3)，
∴Q(0,214)或(0,34)；
②以PD为对角线，令PD的中点为M，则M也为CQ的中点，
∵P(32,154)，D(32,32)，
∴M(32+322,154+322)，
即M(32,218)，
∵C(0,3)，
设Q点坐标为(m,n)，
∴0+m2=32，3+n2=218，
解得m=3，n=94，
∴Q(3,94)；
综上，符合条件的Q点有(0,214)或(0,34)或(3,94).
【解析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)用待定系数法求直线BC的解析式，设P(x,−x2+2x+3)，则点D(x,−x+3)(0
本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法求解析式及平行四边形的性质是解题的关键．
26.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60∘，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABE=30∘，AE=CE，
∵CF=AE，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF=12∠BCA=30∘，
∴∠CBE=∠F=30∘，
∴BE=EF，
∵AB=CB，AE=CE，
∴∠BEC=90∘，
∵BC=4，EC=2，
∴BE=BC2−EC2=42−22=23，
∴EF=BE=23.
(2)证明：过点E作EG//BC交AB延长线于点G，如图2所示，
∴∠ECF=60∘，
又∵EG//BC，
∴∠AGE=∠ABC=60∘，
又∵∠BAC=60∘，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE=GE，
∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
在△BGE和△CEF中，
BG=CE∠AGE=∠ECFGE=CF，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE=EF；
(3)解：如图3中，连接BD交AC于点O.连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=4，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵∠ABC=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=4，
∴OA=OC=2，OB=23，
∴BD=2OB=43，
∵EC=12AC=2，
∴OE=OC+CE=4，
∴BE=OB2+OE2=(23)2+42=27，
∵DE≤BD+BE，
∴DE≤43+27，
∴DE的最大值为43+27.
【解析】(1)由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA=60∘，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论；
(2)过点E作EG//BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC，∠ACB=60∘，再证明△AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60∘，然后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；
(3)如图3中，连接BD交AC于点O.解直角三角形求出BD，BE，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
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