2020年天津市河东区高考二模数学试卷（解析版）

2020年天津市河东区高考二模数学试卷

1.   是虚数单位，已知 ，则 为

 A．  B．  C．  D．

2. 执行如图所示的程序框图，则 的值为

 A．  B．  C．  D．

3. 已知双曲线的一个焦点为 ，它的渐近线方程为 ，则该双曲线的方程为

 A． B． C． D．

4. 已知函数 与 ，则它们的图象交点个数为

 A． B． C． D．不确定

5. “”是“点 不在圆 外”的什么条件

 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

6. 在三角形 中， 的平分线为 ，点 在边 上，，，，则 的值为

 A． B． C． D．

7. 如图所示，在三角形 中，，，，点 为 的中点，，则 的长度为

 A．  B．  C．  D．

8. 已知 ，其中 且 ，，．则 的取值范围为

 A．  B．  C．  D．

9. 某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为    ．

10.   的展开式中的常数项是    ．（用数字作答）

11. 如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以 为半径的圆，则该儿童玩具的体积为    ．

12. 曲线 与直线 所围成的平面图形的面积是    ．

13. 如图所示，圆 上的弦 不为直径， 切圆 于点 ，点 在 的延长线上且 ，点 为 与圆交点，若 ，，，则     ．

14. 已知函数 ，，若存在 使 ，则 的取值范围是    ．

15. 已知函数 ．

(1)  求函数 的最小正周期及其单调减区间；

(2)  求函数 在 上的最大值和最小值．

16. 某外语学校的一个社团中有 名同学，其中 人只会法语， 人只会英语， 人既会法语又会英语，现选派 人到法国的学校交流访问．

(1)  在选派的 人中恰有 人会法语的概率；

(2)  在选派的 人中既会法语又会英语的人数 的分布列与期望．

17. 如图四棱锥 ，三角形 为正三角形，边长为 ，，， 垂直于平面 于 ， 为 的中点，．

(1)  证明：；

(2)  证明：；

(3)  平面 与平面 所成二面角的余弦值．

18. 椭圆 的右顶点为 ， 为坐标原点，过 的中点作 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点 ，点 的纵坐标为 ， 为半焦距．

(1)  求椭圆的离心率．

(2)  过点 斜率为 的直线 与椭圆交于另一点 ，以 为直径的圆过点 ，求三角形 的面积．

19. 已知数列 的前 项和为 ，数列 为等差数列，，， 且 ．

(1)  求 ， 的通项公式；

(2)  设 ，，证明：．

20. 已知函数 ．

(1)  求函数 在 处切线方程；

(2)  讨论函数 的单调区间；

(3)  对任意 ，， 恒成立，求 的范围．

答案

1.  【答案】B

【解析】因为 ，

所以 ，

所以 ．

【知识点】复数的乘除运算

2.  【答案】D

【解析】模拟程序的运行，可得

 ，，

执行循环体，，，

满足条件 ，执行循环体，，，

满足条件 ，执行循环体，，，

满足条件 ，执行循环体，，，

满足条件 ，执行循环体，，，

满足条件 ，执行循环体，，，

不满足条件 ，退出循环，输出 的值为 ．

【知识点】程序框图

3.  【答案】C

【解析】因为双曲线的渐近线方程为 ，即 ，

所以对应的双曲线方程为 ，，

因为双曲线的一个焦点为 ，

所以 ，且 ，

则 ，

则 ，，

则 ，

则 ，即双曲线的方程为 ．

【知识点】双曲线的简单几何性质

4.  【答案】B

【解析】令 ，则 ．

所以当 时，，当 时，．

所以当 时， 取得最大值 ．

所以 只有一个零点，即 与 的图象只有 个交点．

【知识点】利用导数研究函数的图象与性质

5.  【答案】A

【解析】圆 配方化为：，若点 不在圆 外，则 ，解得 ，

所以“”是“点 不在圆 外”的充分不必要条件．

【知识点】圆的一般方程、充分条件与必要条件

6.  【答案】D

【解析】在三角形 中， 的平分线为 ，点 在边 上，，，，

则 ，

 ．

【知识点】余弦定理

7.  【答案】C

【解析】以 为原点，分别以 ， 所在直线为 ， 轴，建立如图所示平面直角坐标系，

设 ，，则：，，，，；

所以 ，；

所以 ；

因为 ，

所以解得 ，

所以 ，

又 ，

所以 ．

【知识点】平面向量数量积的坐标运算

8.  【答案】A

【解析】

当 ，， 时，，

所以 的最小值为 ；

又

由 ，得当 时， 有最大值为 ．

所以 的取值范围为 ．

【知识点】均值不等式的应用、函数的最大（小）值

9.  【答案】44

【解析】【分析】先求出每个个体被抽到的概率以及高一和高二年级的总人数，用高一和高二年级的总人数乘以每个个体被抽到的概率，即得所求．

【解析】解：每个个体被抽到的概率等于，而高一和高二年级的总人数是 ，

故高一和高二年级一共抽取的人数为，

故答案为：44

【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．

10.  【答案】

【解析】 的二项展开式的通项公式为 ，

令 ，解得 ，

故展开式中的常数项为 ．

【知识点】二项式定理的通项

11.  【答案】

【解析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥，

所以该儿童玩具的体积 ．

【知识点】圆锥的表面积与体积、三视图、球的表面积与体积

12.  【答案】

【解析】分别画出直线 与曲线 ，如图所示，

则 与曲线 的交点坐标是 ，，，

所以直线 与曲线 围成的区域面积 ．

【知识点】微积分基本定理

13.  【答案】

【解析】因为 切圆 于点 ，

所以 ．

因为 ，

所以 ．

所以 ．

又 公用，

所以 ．

所以 ，即 ，解得 ．

由 ，

所以 ，

所以 ，解得 ．

因为 切圆 于点 ，

所以 ，解得 ．

【知识点】圆幂定理、相似三角形的判定及有关性质

14.  【答案】

【解析】若存在 使 ，

即 有解，

  时，，显然有解，

  时，，

由 ，

解得：，

故答案为：．

【知识点】函数的零点分布

15.  【答案】

(1) 

  的最小正周期为 ．

当 ，即 时 为单调减函数．

(2)  ，，，最大值为 ，最小值为 ．

【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质

16.  【答案】

(1)  事件 选派的三人中恰有 人会法语的概率为 ；

(2)    的取值为 ，，，，则 ，，，，

分布列为：

【知识点】离散型随机变量的数字特征、离散型随机变量的分布列、古典概型

17.  【答案】

(1)  如图以 为原点建立空间直角坐标系 ，

 ，，，

所以 ，，

所以 ，，，，，，，

 ，，，

 ．

(2)  ，，设平面 法向量为 ，

令 ，则 ．

 ，，故 ．

(3)  ，，

设平面 法向量为 ，

  令 ，则 ，

 ．

平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ．

【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角

18.  【答案】

(1)  由题意可知，点 的坐标为 ，

所以 ，

即 ，

所以 ，联立 ，

得 ，即 ，

所以 ．

(2)  由（）得，，

则过 且斜率为 的直线方程为 ，

即 ，

椭圆方程为 ，

联立

得 ，

解得：，

因为 为直径的圆过点 ，

所以 ．

即 ．

解得：（舍），或 ．

所以 ，，

则 ，，

所以 ．

【知识点】椭圆中的弦长与面积、椭圆的几何性质

19.  【答案】

(1)  设 的公差为 ，，，，

当 时，，

当 时，

由① ②得到 ，，，，

由已知 ，解为 ，（舍），

 ， 的通项公式分别为 ，．

(2)   ，，

当 时，，，

设

由① ②得到 ，，

整理为 ．

所以 ．

【知识点】错位相减法、等比数列的基本概念与性质、等差数列的基本概念与性质

20.  【答案】

(1)  函数 的导数为：

 ，

可得 在 处切线斜率为 ，切点为 ，

即有切线的方程为 ，

即为 ；

(2)  由 的导数为 ，

①当 时，，

当 时，， 递减；

当 时，， 递增；

②当 时，当 时，， 递减；

当 时，， 递增；

③当 时，若 ，则 ， 在 上递增；

若 ，则 即为 ，可得 或 ；

  即为 ，可得 ；

若 ，则 即为 ，可得 或 ；

  即为 ，可得 ．

综上可得， 时， 的增区间为 ，减区间为 ；

  时， 的增区间为 ；

  时， 的增区间为 ，，减区间为 ；

  时， 的增区间为 ，，减区间为 ；

(3)  由(2)得：① 时， 在 递增，

 ，，

 所以 ，解得：，

② 时，，

 所以 在 递增，，，

 所以 ，解得：，故 符合题意，

③ 时，， 在 递增，在 递减，

而 ，

 所以 ，，

 所以 ，不等式无解，

④ 时， 在 递减，

 所以 ，，

 所以 ，解得：，

综上，．

【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、利用导数求函数的切线方程