2020年上海市长宁高三一模数学试卷及答案

这是一份2020年上海市长宁高三一模数学试卷及答案，共15页。试卷主要包含了已知集合，，则，方程的解为，已知，则“”是“”的，下列函数中，值域为的是等内容，欢迎下载使用。
长宁区2019学年高三年级第一次质量调研数学试卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相关位置直接填写结果。1.已知集合，，则        2.方程的解为          行列式 的值为_______.  计算：。 若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为                   己知向量,,则=        7．2名女生和3名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法共有         种。8．已知点在角的终边上，且，则           。9．近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工上个月A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人作为样本，发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人，使用了A,B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布情况如下           支付金额（元）支付方式 大于2000使用A18人29人23人使用B10人24人21人 依据以上数据：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在上个月A、B两种支付方式都使用过的概率为            10已知非零向量两两不平行，且，设              11已知数列满足：，记数列得前项和为，若对所有满足条件的数列，的最大值为M.最小值为m，则M+m                  12.已知函数若对任意实数,关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为           二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知，则“”是“”的(    )A.充分非必要条件     B.必要非充分条件      C.充要条件     D.既非充分又非必要条件14.下列函数中，值域为的是(    )A.             B.             C.              D. 已知正方体,点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与都相交；②过点有且只有一条直线与所成的角都为.以下判断正确的是(   ) ①为真命题，②为真命题；                               ①为真命题，②为假命题；  ①为假命题，②为真命题； ①为假命题，②为假命题；某港口某天0时至24时的水深(米)随时间(时)变化曲线近似满足如下函数模型：.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为(   )A.16时                B.17时               C.18时                D.19时 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17、（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小问满分8分）如图，底面为矩形的直棱柱满足：，，。（1）       求直线和平面所成的角的大小；（2）       设分别为棱上的动点，求证：三棱锥的体积为定值，并求出该值。  18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在复平面内复数所对应的点为，为坐标原点，是虚数单位. ，，计算与; 设，,求证：，并指出向量、满足什么条件时取等号              （本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分）如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，其中百米，百米。现将挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.(1)   若百米，判断是否符合要求，并说明理由；(2)   设,求的面积关于的表达式，并求出的最小值。             20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知数列各项均为正数，为其前项的和，且，，成等差数列.(1)写出、、的值，猜想数列的通项公式；(2)证明你在(1)中猜想的结论；(3)设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.                                  21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数，其中为常数.(1)当时，解不等式；(2)已知是以为为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的反函数；(3)若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围.                                                                          长宁区2019学年高三年级第一次质量调研数学试卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相关位置直接填写结果。1.已知集合，，则        【答案】【解析】本题考察了集合的交集2.方程的解为        【答案】【解析】本题考察了对数的概念   行列式 的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简， =   计算：。【答案】2【解析】极限化简 若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为                   【答案】2【解析】底面圆面积为，底面半径为1，底面周长为2，且侧面面积为  己知向量,,则=        【答案】【解析】向量的夹角公式，7．2名女生和3名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法共有         种。【答案】72【解析】女生不相邻则采用“插空法”，先排男生共种，共四个空位，再从中选两个空位，则共有72种。8．已知点在角的终边上，且，则           。【答案】【解析】因为，所以，因为点在角的终边上，所以，所以，则 9．近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工上个月A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人作为样本，发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人，使用了A,B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布情况如下           支付金额（元）支付方式 大于2000使用A18人29人23人使用B10人24人21人 依据以上数据：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在上个月A、B两种支付方式都使用过的概率为            【答案】【解析】使用过A支付方式的人有70人，使用过B支付方式的人有55人，A和B都没有使用过的5人，那么A和B支付方式都是用过的有人，只是使用过A支付方式的有40人，只是使用B支付方式的有25人，10已知非零向量两两不平行，且，设              【答案】-3【解析】由题意得即，；即 11已知数列满足：，记数列得前项和为，若对所有满足条件的数列，的最大值为M.最小值为m，则M+m                  【答案】1078【解析】，可知一定是单调递增数列，则，即，当取最小值此时 当时，，取最大值此时  12.已知函数若对任意实数,关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为           【答案】【解析】即：上总有解，即，当在上恒成立，即：，当时，的最大值中取到 ，即综上 二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知，则“”是“”的(    )A.充分非必要条件     B.必要非充分条件      C.充要条件     D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】小范围推大范围14.下列函数中，值域为的是(    )A.             B.             C.              D. 【答案】A【解析】A的值域，B的值域，C的值域，D的值域.已知正方体,点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与都相交；②过点有且只有一条直线与所成的角都为.以下判断正确的是(   )  ①为真命题，②为真命题；                               ①为真命题，②为假命题； ①为假命题，②为真命题； ①为假命题，②为假命题；【答案】B【解析】异面直线夹角问题，夹角为，则过点与所有角为的有两条.某港口某天0时至24时的水深(米)随时间(时)变化曲线近似满足如下函数模型：.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为(   )A.16时                B.17时               C.18时                D.19时【答案】D【解析】①，                          ②利用数形结合。   三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17、（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小问满分8分）如图，底面为矩形的直棱柱满足：，，。（3）       求直线和平面所成的角的大小；（4）       设分别为棱上的动点，求证：三棱锥的体积为定值，并求出该值。 【答案】（1）  （2）定值，【解析】（1)由直棱柱知，所以                又因为,所以直线      所以即直线与平面的所成角                                 由题意,,所以所以直线与平面 的所成角       (2)记点到平面的距离为三角形的面积为,则由已知所以为定值                18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在复平面内复数所对应的点为，为坐标原点，是虚数单位. ，，计算与; 设，,求证：，并指出向量、满足什么条件时取等号【答案】，【解析】，，所以证明：，，，，所以，当时取等，此时 （本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分）如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，其中百米，百米。现将挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.(3)   若百米，判断是否符合要求，并说明理由；(4)   设,求的面积关于的表达式，并求出的最小值。【答案】（1）不符合 （2）见解析【考点】函数应用【解析】（1）所以不符合要求。（2）在中，，当时， 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知数列各项均为正数，为其前项的和，且，，成等差数列.(1)写出、、的值，猜想数列的通项公式；(2)证明你在(1)中猜想的结论；(3)设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.【答案】(1) ，，，猜想  (2)证明略  (3) 或【解析】(1)，，成等差数列  分别令，有  又各项均为正数解得，，  因此猜想的通项公式为(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论：①当时，符合结论；②假设当时，有，则则  即 又各项均为正数  即当时也满足结论综上所述，(1)中猜想的结论的通项公式为成立(3)依题意得：则对于任意都有使其成立化简得：      又  当时，成立；当时，有化简得：  又在时取得最大值  又  或  经检验得：或都符合条件 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数，其中为常数.(1)当时，解不等式；(2)已知是以为为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的反函数；(3)若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)  (2)   (3)【解析】(1)依题意得：当时，，即当时，，即综上，该不等式的解集为(2)当时，又是以为为周期的偶函数  又  则则当时，当时，则函数的反函数为(3)①当时，在上是增函数  解得：②当时，在上是增函数  解得：③当时，在上不单调又，即在上，  不满足题意综上，的取值范围为