人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时测试题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为(　　)

A．0.4  B．1  C．2  D．2.5

答案　C

解析　∵函数f(x)＝在[2,6]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝＝2.

2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)

A．10,6   B．10,8

C．8,6   D．以上都不对

答案　A

解析　当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7＜8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.

3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)   B．[0,2]

C．(－∞，2]   D．[1,2]

答案　D

解析　由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.

4．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]   B．(－∞，0]

C．(－∞，0)   D．(0，＋∞)

答案　C

解析　令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.

5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

答案　C

解析　因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

二、填空题

6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．

答案　f(－2)　f(6)

解析　函数y＝f(x)在[－4,6]上的图象的变化趋势大致如图所示，观察可知f(x)min＝f(－2)．

又由题意可知f(－4)<f(6)，故f(x)max＝f(6)．

7．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.

答案　4

解析　因为f(x)＝在[1，b]上单调递减，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.

8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m)．

答案　20

解析　设矩形花园的宽为y m，

则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．

三、解答题

9．求下列函数的最值．

(1)函数y＝x＋(x≥1)的最小值；

(2)函数y＝的最大值．

解　(1)解法一：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，

所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.

配方得y＝2＋，

又因为t≥0，所以y≥＋＝1.

故函数y＝x＋的最小值为1.

解法二：因为函数y＝x和y＝(x≥1)均为增函数，故函数y＝x＋(x≥1)为增函数，所以当x＝1时y取得最小值，即ymin＝1.

(2)y＝＝＝2＋＝2＋.

因为2＋≥，

所以2<2＋≤2＋＝.

故函数的最大值为.

10．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．

解　f(x)＝x＋，

当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上单调递增，

∴g(a)＝f(0)＝；

当0<a<1时，a－<0，此时f(x)在[0,1]上单调递减，

∴g(a)＝f(1)＝a；

当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.

∴g(a)＝

∴g(a)在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，

又a＝1时，有a＝＝1，

∴当a＝1时，g(a)取最大值1.

B级：“四能”提升训练

1．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求证：f(x)在R上单调递减；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．

解　(1)证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2，

则x2－x1>0，

因为x>0时，f(x)<0，

所以f(x2－x1)<0.

又因为x2＝(x2－x1)＋x1，

所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，

所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，

所以f(x2)<f(x1)．

所以f(x)在R上单调递减．

(2)由(1)可知f(x)在R上单调递减，

所以f(x)在[－3,3]上也单调递减，

所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．

而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.

所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.

2．某公司生产某种产品投入固定资金20万元，以后生产x万件产品需再投入可变资金a(x2－1)万元，收入为R(x)万元，其中R(x)＝160x－3.8x2－1480.2.已知当生产10万件产品时，投入生产资金可达到39.8万元．

(1)判断生产每件产品所需可变资金函数的单调性；

(2)求计划生产多少件产品时，利润最大？最大利润是多少万元？

解　(1)生产x万件产品所投入资金共有y＝20＋a(x2－1)万元，

当x＝10时，y＝39.8，解得a＝0.2.

生产每件产品所需可变资金函数为

f(x)＝×a＝×0.2，

设x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝×0.2－×0.2

＝×0.2(x1－x2)－×0.2

＝×0.2

＝×0.2(x1－x2)，

因为x1>x2>0，

所以×0.2(x1－x2)>0，

故生产每件产品所需可变资金函数f(x)＝×0.2为单调递增函数．

(2)设利润为L(x)万元，则L(x)＝R(x)－20－0.2(x2－1)＝160x－3.8x2－1480.2－20－0.2(x2－1)＝160x－4x2－1500＝－4(x－20)2＋100，所以当生产20万件产品时利润最大，最大利润为100万元．