数学5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后练习题

课时素养评价  三十九

函数模型的应用

(15分钟　30分)

1.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是              (　　)

A.y=0.957     B.y=(0.957 6)100x

C.y=    D.y=1-0.042

【解析】选A.由题意可知y=(95.76%，即y=.

2.某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是              (　　)

A.(a-10%)(a+15%)万元

B.a(1-10%)(1+15%)万元

C.(a-10%+15%)万元

D. a(1-10%+15%)万元

【解析】选B.由题意，5月份的产值为a(1-10%)(1+15%)万元.

3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　)

A.300只   B.400只   C.600只   D.700只

【解析】选A.将x=1，y=100代入y=alog2(x+1)得，100=alog2(1+1)，解得a=100，所以当x=7时，y=100log2(7+1)=300.

4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q-Q2，则总利润L(Q)的最大值是_______万元. 

【解析】因为L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000=-Q2+30Q-2 000=-(Q-300)2+2 500，所以当Q=300时，L(Q)的最大值为2 500万元.

答案：2 500

5.(2020·山师附中高一检测)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t(分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14，40]时，曲线是函数y=loga+83图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.

(1)试求p=f的函数关系式.

(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.

【解析】(1)当t∈(0，14]时，设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0)，

将点(14，81)代入得c=-，所以当t∈(0，14]时，p=f(t)=-(t-12)2+82；

当t∈(14，40]时，将点(14，81)代入y=loga(t-5)+83，得a=.

所以

(2)当t∈(0，14]时，-(t-12)2+82≥80，解得12-2≤t≤12+2，

所以t∈[12-2，14]；当t∈(14，40]时，lo(t-5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14，32]，

综上t∈[12-2，32]时学生听课效果最佳.此时Δt=32-=20+2>22.

所以教师能够合理安排时间讲完题目.

(20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为              (　　)

A.125   B.100   C.75   D.50

【解析】选C.由已知得a=a·e-50k，即e-50k==.

所以a=·a=(e-50k·a=e-75k·a，所以t=75.

2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如表是某公司前5天监测到的数据：

若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律，则其中最接近的一个是(　　)

A.y=10x    B.y=5x2-5x+10

C.y=5·2x    D.y=10log2x+10

【解析】选C.对于选项A，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，30，40，50，

对于选项B，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，70，110，

对于选项C，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，80，160，

对于选项D，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，10+10log23，30，10+10log25，

而表中所给的数据是当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，39，81，160，

通过比较，即可发现选项C中y的值误差最小，即y=5•2x能更好地反映y与x之间的关系.

3.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股，可以预知一年后以每股18.96元的价格销售.已知该年银行利率为0.8%，按月计复利，为获取最大利润，某人应将钱[注：(1+0.8%)12≈1.100 34](　　)

A.全部购买股票 

B.全部存入银行

C.部分购买股票，部分存银行 

D.购买股票或存银行均一样

【解析】选B.购买股票利润：x=(18.96-17.25)×10 000，存银行利润：y=17.25×10 000×(1+0.8%)12-17.25×10 000，计算得x<y.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.某食品的保鲜时间t(单位：小时)与存储温度x(单位：℃)满足函数关系t=且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时.

已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结论正确的是              (　　)

A.该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时

B.当x∈时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少

C.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内

D.到了此日14时，甲所购买的食品已超过了保鲜时间

【解析】选AD.因为食品的保鲜时间t与存储温度x满足函数关系式t=且该食品在4 ℃时保鲜时间是16小时.所以24k+6=16，即4k+6=4，解得k=-.所以t=

①当x=6时，t=8，所以该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时，故A正确；

②当x∈[-6，0]时，时间t不变，故B错误；

③由图象可知，当到此日12时，温度超过12度，此时的保鲜时间不超过1小时，所以到了此日13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故C错误；

④由③知，D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.为绿化生活环境，某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是_______，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a=_______.  

【解析】经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y=6.4(1+a)x(x∈N*)，

由题意可知6.4(1+a)3=12.5，

所以(1+a)3=，所以1+a=，故a==25%.

答案：y=6.4(1+a)x(x∈N*)　25%

6.(2020·菏泽高一检测)某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料，瓶子的底面半径是r，高h=r(单位：cm)，一个瓶子的制造成本是0.8πr2分，已知每出售1 mL(注：1 mL=1 cm3)的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6 cm.记每瓶饮料的利润为f(r)，则f(3)=_______，其实际意义是_______. 

【解析】f(r)=0.2·πr2·r-0.8πr2=-0.8πr2(0<r≤6)，故f(3)=7.2π-7.2π=0.

表示当瓶子底面半径为3 cm时，利润为0.

答案：0　当瓶子底面半径为3 cm时，利润为0

四、解答题

7.(10分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D (分贝)由公式D=alg I+b (a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量.

(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2=3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；

(2)当人们低声说话，声音能量为10-13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10-12W/cm2时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.

【解析】(1)因为D1+2D2=3D3，

所以alg I1+b+2(alg I2+b)=3(alg I3+b)，

所以lg I1+2lg I2=3lg I3，所以I1·=.

(2)由题意得所以

所以100<10lg I+160<120，所以10-6<I<10-4.

当声音能量I∈(10-6，10-4)时，人会暂时性失聪.

【补偿训练】

　　 铅酸电池是一种蓄电池，电极主要由铅及其氧化物制成，电解液是硫酸溶液，这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点，在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛应用.但是由于在实际生活中使用方法不当，电池能量未被完全使用，导致了能源的浪费，因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中急需解决的问题.

研究发现，当电池以某恒定电流放电时，电压U关于放电时间t的变化率y满足y=aeb t+(其中a，b为常数，无理数e=2.718 28…)

实验数据显示，当时间t的值为0和5时，电压U关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752，求a，b的值.

【解析】电压U关于放电时间t的变化率y满足y=aeb t+(其中a，b为常数，无理数e=2.718 28…)且当时间t的值为0和5时，电压U关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752.

所以可得

解得a=-，b≈1.141.

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