数学必修 第一册4.2 指数函数习题

课时素养评价 二十九

　指数函数的图象和性质

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　35分)

1.函数f(x)=2ax+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过的定点是 (　　)

A.(-2，-1)   B.(-2，1)

C.(-1，-1)   D.(-1，1)

【解析】选B.函数f(x)=2ax+2-1(a>0且a≠1)，令x+2=0，解得x=-2，所以y=f(-2)=2×a0-1=2-1=1，所以f(x)的图象恒过定点(-2，1).

2.设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则 (　　)

A.y3>y1>y2   B.y2>y1>y3

C.y1>y2>y3   D.y1>y3>y2

【解析】选D.由幂的运算性质可得，y1=40.9=21.8，y2=80.48=21.44，y3==21.5，再由y=2x是增函数，知y1>y3>y2.

3.若函数y=a|x|+m-1(0<a<1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是              (　　)

A.[1，+∞)   B.(0，1)

C.(-∞，1)   D.[0，1)

【解析】选D.当0<a<1时，0<a|x|≤1，

则0≤1-a|x|<1，由m=1-a|x|得m的取值范围为0≤m<1.

4.函数f(x)=kx-k-ax-1(a>0且a≠1)的图象必过定点_______. 

【解析】y=f(x)=kx-k-ax-1，a>0且a≠1，

可令x=1，可得y=k-k-a0=0-1=-1，

则f(x)的图象恒过定点(1，-1).

答案：(1，-1)

5.函数f(x)=+的定义域为_______. 

【解析】由得-3<x≤0.

所以函数的定义域是(-3，0].

答案：(-3，0]

6.已知函数f(x)=，a为常数，且函数的图象过点(-1，2).

(1)求a的值.

(2)若g(x)=4-x-2，且g(x)=f(x)，求满足条件的x的值.

【解析】(1)由已知得=2，解得a=1.

(2)由(1)知f(x)=，又g(x)=f(x)，

则4-x-2=，即--2=0，

即--2=0，令=t，

则t>0，t2-t-2=0，即(t-2)(t+1)=0，

又t>0，故t=2，即=2，解得x=-1，

故满足条件的x的值为-1.

　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.(2020·牡丹江高一检测)设x<0，且1<bx<ax，则 (　　)

A.0<b<a<1  B.0<a<b<1

C.1<b<a   D.1<a<b

【解析】选B.因为x<0，1<bx<ax，指数函数是减函数，所以0<b<1，0<a<1，所以0<a<b<1.

2.定义一种运算：g☉h=已知函数f(x)=2x☉1，那么函数y=f(x-1)的大致图象是              (　　)

【解析】选B.f(x)=

所以f(x-1)=

所以其图象为B.

3.已知-1<a<0，则三个数3a，，a3由小到大的顺序是 (　　)

A.a3<<3a   B.3a<a3<

C.<a3<3a   D.<3a<a3

【解析】选C.因为-1<a<0，所以3a>0，

又0<-a<1，函数y=(-a)x是减函数，

所以(-a>(-a)3，所以->-a3，

所以<a3<0，所以<a3<3a.

【光速解题】选C.因为已知-1<a<0，不妨取a=-，3a>0，则三个数3a===，

==-，a3==-，

故有<a3<3a.

4.(2020·杭州高一检测)设f(x)=a|x|(a>0且a≠1)，则 (　　)

A.f(a-1)>f(0)   B.f(a-1)<f(0)

C.f(a+1)>f(2)   D.f(a+1)<f(2)

【解析】选C.由图：

当a>1时，a-1>0，所以f(a-1)>f(0)，当0<a<1时，a-1<0，所以f(a-1)<f(0)，故A，B不正确.

当a>1时，a+1>2，所以f(a+1)>f(2)，

当0<a<1时，1<a+1<2，所以f(a+1)>f(2)，故选C.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5.设函数f(x)=2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是              (　　)

A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2) 

B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)

C.>0

D.f<

【解析】选ACD.·=，所以A成立，

+≠，所以B不成立，

函数f(x)=2x在R上单调递增，

若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，则>0，

若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则>0，故C正确.f<说明函数的图象向下凹，而函数f(x)=2x的图象符合.

6.指数函数y=ax与一次函数y=x+a在同一坐标系中的图象可能是 (　　)

【解析】选CD.函数y=x+a是增函数.

由题意知a>0且a≠1.

当0<a<1时，y=ax单调递减，直线y=x+a

在y轴上的截距大于0且小于1，故C符合；

当a>1时，y=ax单调递增，直线y=x+a在y轴上的截距大于1，故D符合.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.函数y=ax-4+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P坐标为_______；若点P在幂函数g(x)的图象上，则g(x)=_______. 

【解题指南】先求出点P的坐标，再设出幂函数的解析式，代入求系数.

【解析】指数函数y=ax恒过定点(0，1)，

令x-4=0得x=4，此时y=1+1=2故P(4，2)，

设g(x)=xα，所以2=4α，所以α=，所以g(x)=.

答案：(4，2)　

【补偿训练】

　　 函数y=ax-2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，若点P在幂函数f(x)的图象上，则f(x)=_______. 

【解析】由指数函数的性质可知函数y=ax-2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点

P(2，1)，

设幂函数为f(x)=xa.P在幂函数f(x)的图象上，

可得2a=1，a=0，可得f(x)=x0.

答案：x0

8.已知不等式>对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_______. 

【解析】不等式等价于>，

即x2+x<2x2-mx+m+4恒成立，

所以x2-(m+1)x+m+4>0恒成立，

即Δ=(m+1)2-4(m+4)<0，

即m2-2m-15<0，解得-3<m<5.

答案：-3<m<5

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知指数函数f(x)的图象经过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.

(1)求函数g(x)的解析式.

(2)若g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5)，求x的取值范围.

【解析】(1)设指数函数为：f(x)=ax，

因为指数函数f(x)的图象过点(3，8)，

所以8=a3，所以a=2，

所以f(x)=2x；

因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，

所以g(x)=2-x.

(2)由(1)得g(x)为减函数，

因为g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5)，

所以2x2-3x+1<x2+2x-5，解得x∈(2，3)，

所以x的取值范围为(2，3).

10.已知函数f(x)=ax+b，(a>0，a≠1).

(1)若f(x)的图象如图所示，求a，b的值.

(2)在(1)的条件下，作出g(x)=|f(x)|的草图.

(3)在(2)的条件下，若方程g(x)-m=0有一个实数根，写出m的取值范围.

【解析】(1)由图可得：f(0)=1+b=-2，且f(2)=a2+b=0，解得：a=，b=-3；

(2)g(x)=|f(x)|图象如图所示：

(3)若方程g(x)-m=0有一个实数根，则g(x)的图象与直线y=m只有一个交点，

由(2)中函数图象可得m=0或m≥3.

1.(2020·潍坊高一检测)已知函数f(x)=x-4+，x∈(0，4)，当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=a|x+b|的图象为              (　　)

【解析】选A.因为x∈(0，4)，所以x+1>1.

所以f(x)=x-4+=x+1+-5≥

2-5=1.

当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1.

所以a=2，b=1，

此时g(x)=2|x+1|=

此函数可以看成函数y=的图象向左平移1个单位长度，结合指数函数的图象及选项可知A正确.

【补偿训练】

　　已知函数y=ax+b(a>1，b>0)的图象经过点P(1，3)，则+的最小值为_______. 

【解析】因为函数的图象经过点P(1，3)，

所以3=a+b，a>1，b>0.所以(a-1)+b=2.

所以+=(a-1+b)

=≥

=，

当且仅当a-1=2b=时取等号.

答案：

2.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为

64 ppm(ppm为浓度单位，一个ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)存在函数关系y=c(c，m为常数).

(1)求c，m的值.

(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

【解析】(1)因为函数y=c(c，m为常数)的图象经过点(4，64)，(8，32)，

所以解得m=，c=128.

(2)由(1)得y=128·，

所以128·≤，解得t≥32.

故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.

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