高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第1课时当堂检测题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．给出下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.

其中，指数函数的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫指数函数，由定义知只有y＝3x是指数函数．故选B.

2．已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　　)

A．2  B.  C．0  D.

答案　B

解析　f(－1)＝2－1＝，f[f(－1)]＝f＝3＝.

3．若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(　　)

A．第一、二、三象限  B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限  D．第一、二、四象限

答案　A

解析　∵a>1，且－1<b<0，故其大致图象如图所示．

4．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是(　　)

A．[0,1]  B．[－1,0]

C.  D.

答案　B

解析　∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，∴－1≤1－2x≤0，选B.

5．定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　)

答案　A

解析　由题意f(x)＝1⊕2x＝故选A.

二、填空题

6．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．

答案　－3

解析　由已知，得f(1)＝2；因为f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＝－2，而当x>0时f(x)＝2x>1，所以a>0不成立，故a<0，即f(a)＝a＋1＝－2，所以a＝－3.

7．函数y＝－2－x的图象一定过第________象限．

答案　三、四

解析　y＝－2－x＝－x与y＝x关于x轴对称，一定过第三、四象限．

8．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．

答案　{a|a≥1，或a＝0}

解析　作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0,2]上的最大值比最小值大，求a的值．

解　①当a>1时，f(x)＝ax在区间[0,2]上为增函数，

此时f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(0)＝1，

所以a2－1＝，所以a＝；

②当0<a<1时，f(x)＝ax在区间[0,2]上为减函数，

此时f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(2)＝a2，

所以1－a2＝，所以a＝.

综上所述，a＝或a＝.

10．求函数f(x)＝(2x－4)(x－2)的单调区间．

解　显然f(2)＝0，由指数函数和一次函数的单调性，

当2＜x1＜x2时，0＜2x1－4＜2x2－4,0＜x1－2＜x2－2，

两个不等式相乘得

0<(2x1－4)(x1－2)＜(2x2－4)(x2－2)，即0＜f(x1)＜f(x2)．

当x1＜x2＜2时，有2x1－4＜2x2－4＜0，x1－2＜x2－2＜0，

即所以(4－2x1)(2－x1)＞(4－2x2)(2－x2)>0，

故f(x1)＞f(x2)＞0，

所以(2，＋∞)是f(x)的单调增区间，(－∞，2)是f(x)的单调减区间．

B级：“四能”提升训练

1．已知函数f(x)＝.

(1)证明：函数f(x)是R上的增函数；

(2)求函数f(x)的值域；

(3)令g(x)＝，判断函数g(x)的奇偶性，并简要说明理由．

解　(1)证明：设x1，x2是R上任意两个实数，且x2>x1，

(2)f(x)＝＝1－，

∵2x＋1>1，∴0<<2，即－2<－<0，

∴－1<1－<1.

∴f(x)的值域为(－1,1)．

(3)g(x)为偶函数．

由题意知g(x)＝＝·x，

易知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

g(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝x·＝g(x)，

∴函数g(x)为偶函数．

2．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z.证明：5z＞2x＞3y.

证明　∵2x＝3y，∴22x＝32y＝(3)3y，

∴(23)2x＝(32)3y.

∵32＞23,3y＞0，∴(32)3y＞(23)3y，

故(23)2x＞(23)3y.

由指数函数的单调性得2x＞3y.

∵2x＝5z，∴22x＝52z＝(5)5z，

∴(25)2x＝(52)5z.

∵25＞52,5z＞0，∴(52)5z＜(25)5z，

故(25)2x＜(25)5z.

由指数函数的单调性得2x＜5z.

综上，5z＞2x＞3y.