2021学年4.2 指数函数同步测试题

这是一份2021学年4.2 指数函数同步测试题，共27页。试卷主要包含了2 指数函数，下列函数等内容，欢迎下载使用。

新20版练B1数学人教A版4.2指数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
第1课时 指数函数的图像及其性质
考点1　指数函数的概念
1.(2019·湖南雅礼中学周测)下列函数:①y=x2;②y=(-2)x;③y=2x+1;④y=(a-1)x(a>1,且a≠2)。
其中,指数函数的个数是(　　)。
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
答案:A
解析: ①是二次函数;②底数小于0,故不是指数函数;③指数为x+1,故不是指数函数;④是指数函数。
2.(2019·武汉外校周练)若函数f(x)=12a-3·ax是指数函数,则f12的值为(　　)。
A.2 B.-2 C.-22 D.22
答案:D
解析: ∵函数f(x)是指数函数,∴12a-3=1,∴a=8。∴f(x)=8x,f12=812=22。
3.(2019·银川一中单元测试)函数f(x)=ax(a>0且a≠0)对于任意实数x,y都有(　　)。
A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
答案:C
解析: f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y)。故选C。
4.(2019·东北师大附中月考)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R)。若f[g(1)]=1,则a=(　　)。
A.1 B.2 C.3 D.-1
答案:A
解析: ∵f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,解得a=1。
5.(2019·上海中学周测)方程3x-1=19的解是　　　　。 
答案: x=-1
解析: 由3x-1=19得3x-1=3-2,∴x-1=-2,∴x=-1。
6.(2019·天津和平区高一期中质量调查)已知f(x)=2x+12x,若f(a)=5,则f(2a)=　　　　。 
答案:23
解析: f(x)=2x+12x,若f(a)=5,则f(a)=2a+12a=5。所以f(2a)=(2a)2+12a2=2a+12a2-2=23。
7.(2019·山东济宁一中高一月考)下列函数中是指数函数的是　　　　(填序号)。 
①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=122x;⑤y=2-x;
⑥y=2x-1。
答案: ①④⑤
解析: ④y=122x=14x,⑤y=2-x=12x。所以①④⑤都是指数函数。
8.(2019·福建闽侯八中高一月考)若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数,则a的值为　　　　。 
答案:2
解析: ∵函数y=(a2-3a+3)ax为指数函数,∴a2-3a+3=1,a>0,且a≠1,解得a=1或a=2,a>0,且a≠1,∴a=2。
9.(2019·广西南宁一中高一月考)若指数函数f(x)的图像经过点(2,9),则f(x)=　　　　,f(-1)=　　　　。 
答案: 3x　13
解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1),因为f(x)的图像经过点(2,9),代入得a2=9,解得a=3或a=-3(舍去),所以f(x)=3x,所以f(-1)=3-1=13。
10.(2019·石家庄二中单元测试)若指数函数f(x)的图像经过点(2,16),则f-12=　　　　。 
答案: 12
解析: 设f(x)=ax(a>0,且a≠1),由于其图像经过点(2,16),所以a2=16,解得a=4或a=-4(舍去),因此f(x)=4x,故f-12=4-12=12。
考点2　指数函数的图像
11.(2019·衡水中学月考)指数函数y=ax与y=bx的图像如图4-2-1-1,则(　　)。

图4-2-1-1
A.a<0,b<0 B.a<0,b>0
C.01 D.0 答案:C
解析: 结合指数函数的图像知b>1,0 12.(2019·宁夏银川育才中学高一月考)函数y=a|x|(a>1)的图像是(　　)。

图4-2-1-2
答案:B
解析: 方法一:由题设知y=ax,x≥0,1ax,x<0。
∵a>1,∴由指数函数的图像易知答案为B。
方法二:∵y=a|x|是偶函数,且a>1,
∴a|x|≥1,排除A,C。
又当x≥0时,y=ax,由指数函数的图像知选B。
13.(2019·四川成都新津中学高一月考)函数f(x)=x|x|·2x的图像大致形状是(　　)。

图4-2-1-3
答案:B
解析: 由函数f(x)=x|x|·2x=2x,x>0,-2x,x<0,可得函数在(0,+∞)上单调递增,且此时函数值大于1;在(-∞,0)上单调递减,且此时函数值大于-1且小于0。结合所给的选项,只有B满足条件,故选B。
14.(2019·黄冈中学月考)当a>2时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图像只能是下图中的(　　)。

图4-2-1-4
答案:A
解析: 当a>2时,y=ax的图像从左到右呈上升型,y=(a-1)·x2的图像为开口向上的抛物线,故选A。
15.(2019·北京育才学校期中)若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图像经过第二、三、四象限,则一定有(　　)。
A.00 B.a>1,且b>0
C.01,且b<0
答案:C
解析: 函数y=ax+b-1的图像经过第二、三、四象限,则其图像应如图所示,所以0
16.(2019·贵州遵义一中高一月考)函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的图像可能是图4-2-1-5中的(　　)。

图4-2-1-5
答案:C
解析: 当x=1时,y=a1-a=0,所以y=ax-a的图像必过定点(1,0),结合选项可知选C。
17.(2019·山东曲阜二中高一检测)指数函数①f(x)=mx,②g(x)=nx满足不等式0
图4-2-1-6
答案:C
解析: 由0 18.(2019·湖北孝感七校教学联盟高一期中)若函数f(x)=ax-1+4(其中a>0且a≠1)的图像恒过定点P,则P点的坐标是　　　　。 
答案: (1,5)
解析: 指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像恒过(0,1)点,而要得到函数f(x)=ax-1+4(其中a>0且a≠1)的图像,可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度。则(0,1)点平移后得到点(1,5),所以所求点P的坐标是(1,5)。
考点3　指数函数的性质
19.(2019·四川简阳高一期中)函数f(x)=3x-4+2x-4的定义域是(　　)。
A.[2,4) B.[2,4)∪(4,+∞)
C.(2,4)∪(4,+∞) D.[2,+∞)
答案:B
解析: 依题意有x-4≠0,2x-4≥0,解得x∈[2,4)∪(4,+∞)。
20.(2019·云南曲靖宣威八中高一第六次质检)函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域是(　　)。
A.[0,1] B.[-1,0]
C.0,12 D.-12,0
答案:B
解析: 由指数函数的性质可得f(x)=2x是递增函数,当x∈[0,1]时,f(0)≤f(x)≤f(1),即1≤f(x)≤2,∵-2≤-2x≤-1,∴函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域为[-1,0]。故选B。
21.(2019·北京四中单元测试)若122a+1<123-2a,则实数a的取值范围是(　　)。
A.(1,+∞) B.12,+∞
C.(-∞,1) D.-∞,12
答案:B
解析: ∵函数y=12x在R上为减函数,
∴2a+1>3-2a,解得a>12,故选B。
22.(2019·武汉二中月考)函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2,则a的值为(　　)。
A.12 B.32 C.23或2 D.12或32
答案:D
解析: 当a>1时,y=ax在[1,2]上的最大值为a2,最小值为a,故有a2-a=a2,解得a=32或a=0(舍去)。当0 23.(2019·山东菏泽高一期中)函数y=25-5x的值域是(　　)。
A.[0,+∞) B.[0,5]
C.[0,5) D.(0,5)
答案:C
解析: 解25-5x≥0得x≤2,∴0<5x≤52=25,∴-25≤-5x<0,0≤25-5x<25,0≤25-5x<5,∴函数y=25-5x的值域是[0,5)。
24.(2019·广东广州二中高一期中)函数y=15x-1的值域是(　　)。
A.(-∞,1) B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
答案:D
解析: 令t=5x,t∈(0,+∞),∴y=15x-1=1t-1的值域为(-∞,-1)∪(0,+∞)。
25.(2018·吉林实验中学高三模拟)已知12x-5≤2x,则函数y=x2-4x+1的值域为　　　　。 
答案:yy≥-114
解析: 由12x-5≤2x,得2-x+5≤2x,∴-x+5≤x,解得x≥52。又y=x2-4x+1=(x-2)2-3在[2,+∞)上为增函数,所以y≥14-3=-114。
26.已知f(x)的定义域为(0,1),则f(3x)的定义域为　　　　。 
答案: (-∞,0)
解析:
∵f(x)的定义域为(0,1),
∴0<3x<1,∴x<0。
27.(2019·西北工大附中单元测试)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,1]上的最大值为4,最小值为m,则实数m的值为　　　　。 
答案:12或116
解析: ①当a>1时,f(x)在[-2,1]上单调递增,则函数f(x)的最大值为f(1)=a=4,最小值为m=f(-2)=a-2=4-2=116;②当0 28.(2019·江西新余四中高一月考)求下列函数的定义域和值域。
(1)y=21x-4;
答案: x应满足x-4≠0,∴x≠4。
∴定义域为{x|x≠4,x∈R}。
∵x≠4,∴x-4≠0,∴1x-4≠0,∴21x-4≠1。
∴y=21x-4的值域为{y|y>0,且y≠1}。
(2)y=23-|x|;
答案: 定义域为R。∵|x|≥0,
∴y=23-|x|=32|x|≥320=1。
∴值域为{y|y≥1}。
(3)y=22x-x2。
答案:
定义域为R。
∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴22x-x2≤2,
即y≤2。故函数的值域为(0,2]。
第2课时　指数函数的图像及其性质的应用
考点1　比较指数幂的大小
1.(2019·河南洛阳高一期中调研)已知a=243,b=425,c=2513,则(　　)。
A.b 答案:A
解析: 由a=243=1613,b=425=1615,根据指数函数的单调性得a>b,又c=2513,∴a 2.(2019·江西九江一中高一检测)已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a,b,c的大小关系为(　　)。
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案:B
解析: 由题可知c<0,b=53>3,1a>c。
3.(2019·东北三校高一联考)设y1=40.9,y2=80.48,y3=12-1.5,则(　　)。
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2
答案:B
解析: y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=12-1.5=21.5,∵y=2x是增函数,且1.8>1.5>1.44,∴y1>y3>y2,故选B。
4.(2019·大连二十三中单元测评)已知a=0.860.75,b=0.860.85,c=1.30.86,则a,b,c的大小关系是(　　)。
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
答案:D
解析: ∵函数y=0.86x在R上是减函数,∴0<0.860.85<0.860.75<1。又1.30.86>1,∴c>a>b。
5.(2018·宁波调考)下列三个实数的大小关系正确的是(　　)。
A.12 0112<212 011 <1 B.12 0112<1<212 011
C.1<12 011<212 011 D.1<212 011<12 0112
答案:B
解析: 由y=2x的图像可知212 011>20=1,由于0<12 011<1,故12 0112<1,选B。
6.(2019·苏州模拟)函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,且对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x),则f(bx)与f(cx)的大小关系是　　　　。 
答案: f(bx)≤f(cx)
解析: ∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的图像关于直线x=1对称,∴b2=1,b=2。又∵f(0)=3,∴c=3。∴f(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数。若x>0,则3x>2x>1,∴f(3x)>f(2x);若x<0,则0<3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x);若x=0,则f(3x)=f(2x)。综上,f(cx)≥f(bx)。
考点2　解简单的指数不等式或指数方程
7.(2019·宁夏育才中学高一检测)方程2x2+x=8x+1的解为　　　　。 
答案: x=3或x=-1
解析: 原方程可化为2x2+x=23x+3,∴x2+x=3x+3,∴x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1。
8.(2019·河北邢台二中高一月考)不等式12x2-2≤2的解集为　　　　。 
答案: {x|≥1或x≤-1}
解析: 12x2-2=(2-1)x2-2=22-x2,原不等式等价于22-x2≤21。∵y=2x是在R上的增函数,∴2-x2≤1,x2≥1,即x≥1或x≤-1。∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤-1}。
9.(2019·山西太原实验中学高一月考)(易错题)如果a-5x>ax+7(a>0,且a≠1),求x的取值范围。
答案:解:当a>1时,因为a-5x>ax+7,
所以-5x>x+7,解得x<-76。
当0 因为a-5x>ax+7,所以-5x-76。
综上所述,当a>1时,x<-76;
当0-76。
10.(2019·北大附中单元测评)解关于x的不等式ax-3x+1≤1a(其中a>0且a≠1)。
答案: 解:①当a>1时,x-3x+1≤-1,
∴x-3x+2≤0,∴x2+2x-3x≤0。
∴(x+3)(x-1)x≤0,∴x≤-3或0 ②当0 ∴-3≤x<0或x≥1。
综上,当a>1时,x∈(-∞,-3]∪(0,1];
当0 考点3　指数型复合函数的图像变换及应用
11.(2018·长春调研)函数f(x)=ax-b的图像如图4-2-2-1,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　)。

图4-2-2-1
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0 答案:D
解析: f(x)=ax-b的图像可由y=ax的图像向左平移得到,故0 12.(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)=2x,则f(1-x)的图像为(　　)。

图4-2-2-2
答案:B
解析: f(1-x)=21-x=12x-1,其图像可由函数y=12x的图像向右平移1个单位得到。选B。
13.(2018·武汉四月调考)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图像有两个公共点,则a的取值范围是　　　　。 
答案:0 14.(2019·哈尔滨调考)已知f(x)=2|x-a|的图像关于直线x=1对称,则实数a的值为　　　　。 
答案:1
解析: ∵f(x)=2|x-a|的图像关于直线x=1对称,∴f(1+x)=f(1-x),即2|1+x-a|=2|1-x-a|,∴|1+x-a|=|1-x-a|,解得a=1。
15.(2019·青岛一中检测)利用函数f(x)=2x的图像作出下列函数的图像。
(1)f(x-1);
答案: f(x-1)=2x-1。

(2)f(|x|);
答案: f(|x|)=2|x|。

(3)f(x)-1;
答案: f(x)-1=2x-1。

(4)-f(x);
答案: -f(x)=-2x。

(5)|f(x)-1|;
答案: |f(x)-1|=|2x-1|。

(6)f(-x)。
答案: f(-x)=2-x=12x。

16.(2019·郑州一中检测)已知函数y=12|x+2|。
(1)作出函数的图像;
答案: 解法一:由函数解析式可得
y=12|x+2|=12x+2(x≥-2),2x+2(x<-2)。
其图像分成两部分:
一部分是y=12x+2(x≥-2)的图像,由下列变换可得到:y=12xy=12x+2;
另一部分是y=2x+2(x<-2)的图像,由下列变换可得到:y=2xy=2x+2,
图中实线所示为函数y=12|x+2|的图像。

解法二:本题也可以不考虑去掉绝对值符号,而是直接用图像变换作出,作法如下:
y=12x
y=12|x|y=12|x+2|。
(2)由图像指出其单调区间;
答案: 由图像可得函数的单调递增区间为(-∞,-2];单调递减区间为[-2,+∞)。
(3)由图像指出,当x取什么值时函数有最值?
答案: 结合图像,可知函数在x=-2处取最大值1。
考点4　指数函数图像与性质的综合应用
17.(2019·长沙调考)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图像如图4-2-2-3所示,则函数g(x)=ax+b的图像是(　　)。

图4-2-2-3

图4-2-2-4
答案:A
解析: 由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图像可知0 18.(2019·华南师大附中月考)已知映射f:A→B,其中A=B=R,对应法则f:x→y=13x2+2x。若对实数m∈B,在集合A中存在元素与之对应,则m的取值范围是(　　)。
A.(-∞,3] B.[3,+∞)
C.(3,+∞) D.(0,3]
答案:D
解析: ∵x2+2x=(x+1)2-1≥-1,∴y=13x2+2x≤13-1=3。又∵13x2+2x>0,∴0 19.(2019·镇江一中月考)函数y=2-x2+2x的值域为　　　　。 
答案: (0,2]
解析: 设t=-x2+2x,结合二次函数的性质可知t的最大值为1,所以y=2t的最大值为2,所以函数的值域为(0,2]。
20.(2019·宁夏银川育才中学高一月考)已知指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),则实数a的取值范围是　　　　。 
答案:12,1
解析: ∵指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),∴函数f(x)单调递减,∴0<2a-1<1,解得12 21.(2019·云南曲靖宣威八中高一第六次质检)已知函数 f(x)=1-12x。
(1)求函数f(x)的定义域;
答案: 由1-12x≥0,得x≥0,
∴函数f(x)的定义域为[0,+∞)。
(2)若f(a)=12,f(b)=33,求a+b的值。
答案: 依题意有
1-12a=12,1-12b=33,即12a=34,12b=23,
故12a+b=12a·12b=34×23=12,解得a+b=1。
22.(2019·天津和平区高一期中质量调查)设f(x)=1-2x1+2x。
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
答案: 对于函数f(x),其定义域为(-∞,+∞)。
∵对定义域内的每一个x,都有f(-x)=1-2-x1+2-x=2x-12x+1=-1-2x1+2x=-f(x),∴函数f(x)=1-2x1+2x为奇函数。
(2)求函数f(x)的单调区间。
答案: 设x1,x2是区间(-∞,+∞)上的任意两个实数,且x1 由x10,而1+2x1>0,1+2x2>0,
于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数。
∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞),无单调递增区间。
第3课时　指数函数及其性质的综合问题
考点1　与指数函数有关的复合函数的单调性问题
1.(2019·辽宁鞍山一中高一月考)函数y=121-x的单调递增区间为(　　)。
A.(-∞,+∞)　　　　　　B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
答案:A
解析: 因为x∈R,y=121-x=2x-1,所以函数y=121-x在(-∞,+∞)上是增函数。
2.(2019·宁夏银川育才中学高一月考)函数f(x)=ex-e-x2是(　　)。
A.增函数且是偶函数
B.增函数且是奇函数
C.减函数且是偶函数
D.减函数且是奇函数
答案:B
解析: f(x)的定义域为R,关于原点对称。
∵f(x)=ex-e-x2,∴f(-x)=e-x-ex2=-f(x),
∴f(x)是奇函数。在R上任取x1,x2,令x1 则f(x1)-f(x2)=ex1-e-x12-ex2-e-x22=ex1+e-x2-ex2-e-x12。∵x1 ∴f(x1)-f(x2)=ex1+e-x2-ex2-e-x12<0,
∴f(x)=ex-e-x2是增函数。故选B。
3.(2019·黑龙江、吉林两省八校高一联考)若f(x)=ax,x>1,4-a2x+2,x≤1是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为(　　)。
A.(1,+∞) B.(4,8)
C.[4,8) D.(1,8)
答案:C
解析: 由题意知a>1,4-a2>0,a≥4-a2+2,∴a>1,a<8,a≥4,解得4≤a<8。
4.(2019·吉林长春十一中高一期中)若函数f(x)=13|x-2|,则f(x)的单调递减区间是(　　)。
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
答案:B
解析: 将原函数看成复合函数f(x)=13u,u=|x-2|,f(x)对u是减函数,u在[2,+∞)上为增函数,在(-∞,2]上为减函数,由复合函数的性质知,f(x)的单调递减区间是[2,+∞)。
5.(2019·黑龙江虎林一中高三上月考)函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是(　　)。
A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)
C.f(-4) 答案:A
解析: 由题意可知a>1,再根据f(x)在(-1,+∞)上是增函数,且图像关于直线x=-1对称,可得f(-4)>f(1)。
6.(2019·河南洛阳模拟)若对于任意x∈(-∞,-1],都有(3m-1)2x<1成立,则m的取值范围是(　　)。
A.-∞,13 B.-∞,13
C.(-∞,1) D.(-∞,-1]
答案:C
解析: ∵x∈(-∞,-1],∴2x∈0,12,不等式(3m-1)2x<1恒成立,即3m-1<12x恒成立,由2x∈0,12,得12x∈[2,+∞),∴3m-1<2,即m<1。∴实数m的取值范围是(-∞,1)。
7.(2019·河北衡水武邑中学高一月考)设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=5x,则f23,f32,f13的大小关系是(　　)。
A.f13 B.f32 C.f32 D. f23 答案:D
解析: ∵y=f(x+1)是偶函数,∴y=f(x+1)图像的对称轴为直线x=0,∴y=f(x)图像的对称轴为直线x=1。又x≥1时,f(x)=5x,∴f(x)=5x在[1,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,1)上是减函数。∵f32=f12,且23>12>13,∴f23 8.(2019·河北衡水中学高一期中)已知函数f(x)=ax,x≤0,3a-x,x>0(a>0,且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　。 
答案:13,1
解析: 由题意知分段函数的值域为R,其在R上是单调函数,由此可知0 9.(2019·湖南石门一中月考)若函数f(x)=2x,x<0,-2-x,x>0,则函数y=f(f(x))的值域是　　　　。 
答案: -1,-12∪12,1
解析: 画出f(x)=2x,x<0,-2-x,x>0的图像,由图像可知f(x)的值域是(0,1)∪(-1,0),设t=f(x),t∈(0,1)∪(-1,0),y=f(f(x))=f(t),由图像看出当t∈(0,1)∪(-1,0)时,f(t)的范围是-1,-12∪12,1,∴函数y=f(f(x))的值域是-1,-12∪12,1。
10.(原创题)已知函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1)满足f(-2) 答案: (-∞,0]
解析: ∵f(-2)1。令t=1-x2,则y=at。∵y=at是增函数,t=1-x2的单调增区间是(-∞,0],∴g(x)=a1-x2的单调增区间是(-∞,0]。
11.(2019·郑州调考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-12的解集是　　　　。 
答案: (-∞,-1)
解析: 设x<0,则-x>0。因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1。当x>0时,1-2-x∈(0,1),所以不等式f(x)<-12,即当x<0时,2x-1<-12,解得x<-1。
考点2　指数型复合函数的值域与最值问题
12.(2019·河南南阳高一联考)判断函数f(x)=13x2-2x的单调性,并求其值域。
答案: 解:令u=x2-2x,则原函数变为y=13u。∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又y=13u在(-∞,+∞)上单调递减,∴函数y=13x2-2x在(-∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减。∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴y=13u,u∈[-1,+∞),∴0<13u≤13-1=3,∴原函数的值域为(0,3]。
13.(2019·浙江嘉兴五中高一月考)求函数y=9x-2·3x+3的单调区间,并求出其值域。
答案: 解:设u=3x,则原函数可分解为u=3x,y=u2-2u+3,而二次函数y=u2-2u+3单调性的分界点为u=1,因此当x∈(-∞,0)时,u=3x单调递增,u∈(0,1),而y=u2-2u+3在(0,1)上单调递减,所以原函数在(-∞,0)上单调递减;当x∈(0,+∞)时,u=3x单调递增,u∈(1,+∞),而二次函数y=u2-2u+3在(1,+∞)上单调递增,所以原函数在(0,+∞)上单调递增。综上可知,原函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增。函数y=9x-2·3x+3的值域即y=u2-2u+3,u∈(0,+∞)的值域,易知其值域为[2,+∞)。
14.(2019·山西太原五中高一月考)求下列函数的定义域与值域。
(1)y=21x-4;
答案: 由x-4≠0,得x≠4,所以定义域为{x∈R|x≠4}。因为1x-4≠0,所以21x-4≠1,所以y=21x-4的值域为{y|y>0,且y≠1}。
(2)y=13x-2。
答案: 由x-2≥0,得x≥2,所以定义域为{x|x≥2}。当x≥2时,x-2≥0,又因为0<13<1,所以y=13x-2的值域为{y|0 15.(2019·河北定州中学高一月考)已知x满足12x≤4,且127≤3-x<1,求函数f(x)=9x-3x+1-1的最大值和最小值。
答案: 解:∵y=2x是增函数,12x≤4即2-x≤22,
∴-x≤2,∴x≥-2。又∵y=3x在R上是增函数,127≤3-x<1即3-3≤3-x<30,
∴-3≤-x<0,∴0 又f(x)=9x-3x+1-1=(3x)2-3·3x-1,令3x=t∈(1,27],则y=t2-3t-1=t-322-134,
∴当t=32时,ymin=-134;当t=27时,ymax=272-3×27-1=647。
考点3　指数函数及其性质的综合应用
16.(2019·山东济宁任城高一期中)设函数f(x)=kax-a-x(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数。
(1)求k的值;
答案: ∵f(x)=kax-a-x是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,得k=1。
(2)若f(1)>0,试求不等式f(a-x-1)+f(1-a)>0的解集;
答案：由f(x)=ax-a-x,又a>0且a≠1,
∵f(1)>0,∴a-1a>0,∴a>1。
易知f(x)=ax-a-x在R上单调递增。
∵f(a-x-1)+f(1-a)>0,
∴f(a-x-1)>-f(1-a)=f(a-1),
∴a-x-1>a-1,
∴a-x>a12,∴-x>12,解得x<-12。
故不等式的解集为-∞,12。
(3)若f(1)=32,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值。
答案: 由f(1)=32得a=2,由(2)可知f(x)为[1,+∞)上的增函数。
f(x)≥f(1)=32,所以g(x)=a2x+a-2x-4f(x)=(f(x)-2)2-2≥-2(当f(x)=2时取等号)。
故g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2。
17.(2019·云南曲靖一中高一期中)已知函数f(x)=14x-λ2x-1+3(-1≤x≤2)。
(1)若λ=32,求函数f(x)的值域;
答案: f(x)=14x-λ2x-1+3=122x-2λ·12x+3(-1≤x≤2),
设t=12x,得f(x)=g(t)=t2-2λt+314≤t≤2。
当λ=32时,g(t)=t2-3t+3=t-322+3414≤t≤2。
所以g(t)max=g14=3716,g(t)min=g32=34。
所以f(x)max=3716,f(x)min=34,
故函数f(x)的值域为34,3716。
(2)若函数f(x)的最小值是1,求实数λ的值。
答案: 由(1)知g(t)=t2-2λt+3=(t-λ)2+3-λ214≤t≤2。
①当λ≤14时,g(t)min=g14=-λ2+4916,
令-λ2+4916=1,得λ=338>14,舍去;
②当14<λ≤2时,g(t)min=g(λ)=-λ2+3,
令-λ2+3=1,得λ=2或λ=-2<14,舍去;
③当λ>2时,g(t)min=g(2)=-4λ+7,
令-4λ+7=1,得λ=32<2,舍去。
综上所述,实数λ的值为2。
18.(2019·广东广州二中高一期中)已知函数f(x)=ex+e-x,其中e≈2.718,函数F(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,F(x)=f(x)。
(1)求F(x)的解析式;
答案:解:x>0,F(x)=f(x)=ex+e-x。∵F(x)为奇函数,∴x<0,-x>0,F(x)=-F(-x)=-(e-x+ex)=-ex-e-x,∴F(x)=ex+e-x,x>0,0,x=0,-ex-e-x,x<0。
(2)求证函数F(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
答案: 证明:当x>0时,F(x)>e0+e0=2>0,令t=ex,则F(x)=t+1t(t>1),任取x1,x2∈(0,+∞),且x10,∴F(x1)-F(x2)<0,即F(x1) ∴F(x)在(0,+∞)上为增函数。
∵F(x)为奇函数,∴F(x)在(-∞,+∞)上单调递增。
(3)若ae2x-ex+a≥0(x∈[1,2])恒成立,求实数a的取值范围。
答案: 解:令t'=ex,x∈[1,2],则t'∈[e,e2],ae2x-ex+a≥0在[1,2]上恒成立,等价于a≥t't'2+1=1t'+1t'在[e,e2]上恒成立,又t'+1t'在[e,e2]上单调递增,
∴a≥1e+1e=ee2+1。