高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数巩固练习

课时素养评价  三十三

对数函数的概念

(15分钟　30分)

1.函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数，则f(1)等于 (　　)

A.3   B.    C.1   D.0

【解析】选D.因为函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数，所以解得a=2，所以f(x)=log2x，所以f(1)=log21=0.

2.“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是              (　　)

A.y=log1.05x   B.y=log1.005x

C.y=log0.95x   D.y=log0.995x

【解析】选B.y天后，x=1.005y，即y=log1.005x.

3.函数f(x)=log2(3+2x-x2)的定义域是_______. 

【解析】因为对数函数定义域是(0，+∞)，所以3+2x-x2>0，所以-1<x<3，因此函数的定义域为(-1，3).

答案：(-1，3)

4.若函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数，则a=_______. 

【解析】因为函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数，所以解得a=4.

答案：4

5.设函数f(x)=ln(x2+ax+1)的定义域为A.

(1)若-1∉A，-3∈A，求实数a的取值范围.

(2)若函数y=f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.

【解析】(1)由题意，得解得2≤a<，

故实数a的取值范围为.

(2)由题意，得x2+ax+1>0的解集为R，

得Δ=a2-4<0，解得-2<a<2，

所以实数a的取值范围是(-2，2).

(25分钟　50分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.(2020·河西高一检测)函数f(x)=ln(2x-4)的定义域是 (　　)

A.(0，2)    B.(0，2]

C.[2，+∞)   D.(2，+∞)

【解析】选D.要使f(x)有意义，则：2x-4>0，所以x>2.所以f(x)的定义域为(2，+∞).

2.设f(x)是对数函数，且f()=-，那么f()= (　　)

A.   B.   C.-  D.-

【解析】选C.设对数函数f(x)=logax(a>0，a≠1).

由条件得loga=-，即loga=-，则a=.

因此f(x)=x，所以f()==-.

3.(2020·重庆高一检测)函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，则实数a的取值范围为              (　　)

A.[1，+∞)   B.(0，1)

C.[-1，1]   D.[0，1]

【解析】选D.令g(x)=ax2+2x+a，

因为函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，所以g(x)的值域包含(0，+∞).

①当a=0时，g(x)=2x，值域为R⊇(0，+∞)，成立.

②当a≠0时，要使g(x)的值域包含(0，+∞)，则，

解得0<a≤1.综上，a∈[0，1].

【误区警示】本题容易忽视a=0的情况.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.下列函数表达式中，是对数函数的有 (　　)

A.y=logex    B.y=lox

C.y=log4x2   D.y=log2(x+1)

【解析】选AB.A中y=logex是对数函数；

B中y=lox是对数函数；

C中y=log4x2不是对数函数；

D中y=log2(x+1)不是对数函数.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.(2020·杭州高一检测)函数f(x)=+

lg(3x+1)的定义域是_______. 

【解析】由，解得：-<x<1.

所以函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是

答案：

6.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过 y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位.

(1)y与x的关系式为_______； 

(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过_______小时(精确到0.1). 

(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602)

【解析】(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物1个单位，经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x=(1-20%)y×1=0.8y，即y与x的关系式为 y=log0.8x，0<x≤1.

(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，令x=，则y=log0.8=≈7.2，所以y≤7.2.

所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.

答案：(1)y=log0.8x，0<x≤1　(2)7.2

四、解答题(每小题10分，共20分)

7.已知f(x)=loga，(a>0，且a≠1).

(1)证明f(x)为奇函数.

(2)求使f(x)>0成立的x的取值范围.

【解析】(1)f(x)=loga(a>0，且a≠1)的定义域为：，解得f(x)=loga(a>0，且a≠1)的定义域为{x|-1<x<1}.

因为f(x)=loga，(a>0，且a≠1)，

所以f(-x)=loga=-loga=-f(x)，

所以f(x)为奇函数.

(2)因为f(x)=loga(a>0，且a≠1)，

所以由f(x)>0，得loga>loga1，

当0<a<1时，有0<<1，解得-1<x<0；

当a>1时，有>1，解得0<x<1；

所以当a>1时，使f(x)>0成立的x的取值范围是(0，1)，当0<a<1时，使f(x)>0成立的x的取值范围是(-1，0).

8.求下列函数的定义域.

(1)y=.

(2)y=log|x-2|(25-5x).

【解析】(1)要使函数有意义，需

即即-3<x<-2或x≥2，

故所求函数的定义域为(-3，-2)∪[2，+∞).

(2)要使函数有意义，需

即所以x<2，且x≠1，

故所求函数的定义域为(-∞，1)∪(1，2).

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