人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时同步测试题

第三章　3.2　3.2.1　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．函数y＝的单调减区间是(　A　)

A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)

C．{x∈R|x≠1} D．R

[解析]　单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表述不当．

2．函数f(x)＝的单调递增区间为(　A　)

A．(－∞，0)，[0，＋∞) B．(－∞，0)

C．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞)

[解析]　分段函数求单调区间可借助图象来求，图象不熟悉就借助定义分段求．

3．若函数f(x)＝|x＋2|在[－4,0]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　B　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]　作出函数f(x)＝|x＋2|＝的图象如图所示，

由图象可知M＝f(x)max＝f(0)＝f(－4)＝2，m＝f(x)min＝f(－2)＝0，所以M＋m＝2.故选B．

4．若函数y＝2ax－b 在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　C　)

A．1 B．－1

C．1或－1 D．0

[解析]　当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.

5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　C　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

[解析]　f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，

∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，

∴f(x)在[0,1]上单调递增．

又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，

∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

6．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　D　)

A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]

C．(0,1) D．(0,1]

[解析]　f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，

∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴a≤1.

∵g(x)＝在区间[1,2]上为减函数，

∴a>0，∴0<a≤1.

二、填空题

7．函数f(x)＝x－在[1,2]上的最大值是__1__.

[解析]　函数f(x)＝x－在[1,2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1.

8．函数y＝x2－2x－1的值域是__[－2，＋∞)__.

[解析]　因为二次函数图象开口向上，所以它的最小值为＝－2.故值域为[－2，＋∞)．

9．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2)__≤__f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”)

[解析]　∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性，并用定义来证明所得结论．

[解析]　(1)f(x)＝＝＝1＋，

定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}．

(2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数，下面证明此结论．

证明：任取x1，x2∈(2,5)，

设x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为2<x1<x2<5，

所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，

所以f(x1)>f(x2)．

故函数在(2,5)上为减函数．

11．已知函数f(x)＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞)．

(1)试判断它的单调性；

(2)试求它的最小值．

[解析]　(1)f(x)在[1，＋∞)上单调递增，

理由如下：设1≤x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，

∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，

∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.

即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，f(x)有最小值.

B组·素养提升

一、选择题

1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　A　)

A．y＝＋2 B．y＝3x－2

C．y＝x2 D．y＝1－x

[解析]　B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A．

2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　B　)

A．45.606万元 B．45.6万元

C．45.56万元 D．45.51万元

[解析]　设在甲地销售量为a辆，则在乙地销售量为15－a辆，设利润为y万元，则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15且a∈N)，

则y＝－0.15a2＋3.06a＋30，可求ymax＝45.6万元．

3．(多选题)已知f(x)＝－，则(　AD　)

A．定义域为[0,1]

B．f(x)max＝， f(x)无最小值

C．f(x)min＝1, f(x)无最大值

D．f(x)max＝1, f(x)min＝－1

[解析]　要使f(x)有意义，应满足，∴0≤x≤1，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所f(x)max＝1，f(x)min＝－1.故选AD．

4．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　BCD　)

A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1

B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值

C．f(x)在区间[2,3]上有最小值，最大值5

D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)，当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1

[解析]　函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上是减函数，f(x)的最小值为f(a)，当a>1时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．

二、填空题

5．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是__(－∞，－1]__.

[解析]　∵f(x)＝2x－3在[1，＋∞)上单调递增，

∴f(x)≥f(1)＝－1.

∵m≤f(x)恒成立，∴m≤－1.

6．已知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调函数且f(0)<f(1)，则满足f(x)<f()的实数x的取值范围为____.

[解析]　由题意知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调增函数，所以不等式f(x)<f等价于

即－1≤x<.

7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__1＜a≤3__.

[解析]　画f(x)＝x2－6x＋8的图象，

∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.

三、解答题

8.已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．

(1)写出函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在区间[－1，]的最大值．

[解析]　f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．

(1)f(x)在(－∞，－]和[0，＋∞)上是增函数，在[－，0]上是减函数，

因此f(x)的单调增区间为(－∞，－]，[0，＋∞)，单调减区间[－，0]．

(2)∵f(－)＝，f()＝，∴f(x)在区间[－1，]的最大值为.

9．(2019·北京海淀区联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．

[解析]　f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]．

当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数f(x)的图象如图(2)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a)上单调递减，在区间(a,1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；

当a≤－1时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.

综上所述，f(x)min＝