高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时当堂达标检测题

第2课时 函数的最大(小)值

分层演练  综合提升

A级　基础巩固

1.下列函数在区间[1,4]上的最大值为3的是(　　)

A.y=+2　　　　   B.y=3x-2

C.y=x2 　　　　 　 D.y=1-x

答案:A

2.函数f(x)=|x+1|在区间[-2,2]上的最小值为 (　　)

A.5   　    B.2 　     C.1　      D.0

答案:D

3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为              (　　)

A.90万元 　          B.60万元

C.120万元　          D.120.25万元

答案:C

4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是[1,2].

5.已知函数f(x)=.

(1)判断函数f(x)在区间(,+∞)上的单调性;

(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最值.

解:(1)设x1,x2是区间(,+∞)上的任意两个实数,且x2>x1>,

f(x1)-f(x2)=-=.

因为x2>x1>,所以x2-x1>0,

且(2x1-1)(2x2-1)>0,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

所以函数f(x)=在区间(,+∞)上是减函数.

(2)由(1)知,函数f(x)在[1,5]上是减函数,因此,函数f(x)=在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值,即最大值为f(1)=3,最小值为f(5)=.

B级　能力提升

6.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有>0成立,且f(-3)=m,f(-1)=n,则f(x)在区间[-3,-1]上的最大值是n.

解析:由>0,且a,b是任意的,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在区间[-3,-1]上的最大值是f(-1)=n.

7.某厂借助网络平台,推出品牌为“土豆”的新产品,生产“土豆”的固定成本为20 000元,每生产一件“土豆”需要增加投入100元,根据初步测算,总收益(单位:元)满足分段函数φ(x),其中φ(x)=

x是“土豆”的月产量(单位:件),总收益=成本+利润.

(1)试将利润y表示为月产量x的函数.

(2)当月产量为多少件时利润最大?最大利润是多少?

解:(1)依题意,知总成本为20 000+100x,则y=

(2)当0<x≤400时,y=-(x-300)2+25 000,

则当x=300时,ymax=25 000;

当x>400时,y=60 000-100x是减函数,

因为x∈N,所以当x=401时,ymax=60 000-100×401=19 900,

所以当月产量为300件时,利润最大,最大利润是25 000元.

8.已知函数f(x)=x2-x+a+1.

(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;

(2)求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的解析式.

解:(1)由f(x)≥0对一切实数x恒成立,

知x2-x+a+1≥0对x∈R恒成立,

所以Δ=1-4(a+1)≤0,解得a≥-,

所以实数a的取值范围为[-,+∞).

(2)因为f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+(x≤a),

①当a<时,g(a)=f(x)min=f(a)=a2+1;

②当a≥时,g(a)=f(x)min=f()=a+.

所以g(a)=

C级　挑战创新

9.多空题若函数f(x)=,则x∈[3,5]的最大值为2,最小值为1.

解析:f(x)=在区间[3,5]上为减函数,当x=3时,f(x)max=2,当x=5时,f(x)min=1.

10.多空题函数y=g(x)=2x-的定义域为[-1,+∞),值域为[-,+∞).

解析:因为x+1≥0,所以x≥-1,

所以函数的定义域为[-1,+∞).

设=t(t≥0),则x+1=t2,即x=t2-1,

所以y=2t2-t-2=2(t-)2-,t≥0,

所以当t=时,ymin=-,

所以函数g(x)的值域为[-,+∞).