湘教版（2019）第3章 复数3.3 复数的几何表示综合训练题

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3.3复数的几何表示同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知复数，则在复平面内对应的点在   

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设复数满足，则下列说法正确的是     

A. 的虚部为
B. 为纯虚数
C.
D. 在复平面内，对应的点位于第二象限

3. 已知复数，则下列说法正确的是

A. 的虚部为
B. 的共轭复数为
C.
D. 在复平面内对应的点在第二象限

4. 己知是虚数单位，复数，下列说法正确的是

A. 的虚部为 B. 对应的点在第一象限
C. 的实部为 D. 的共轭复数为

5. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是       

A. 复数的模为
B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为
D. 复数在复平面内对应的点在第一象限

6. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则共轭复数的模为

A.  B.  C.  D.

7. 复数下列说法正确的是

A. 的模为
B. 的虚部为
C. 的共轭复数为
D. 的共轭复数表示的点在第四象限

8. 已知复数，则下列说法正确的是

A. 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限
B. 的虚部为
C. 的共轭复数
D. 的模为

9. 已知复数，则下列说法正确的是

A. 的虚部为           
B. 的共轭复数为
C.
D. 在复平面内对应的点在第二象限

10. 已知复数对应的点在第三象限，它的模是，实部是，则为   

A.  B.  C.  D.

11. 已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是 

A. 点的坐标为 B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为

12. 已知为虚数单位，复数，则下列命题正确的是

A. 的共轭复数为
B. 的虚部为
C. 在复平面内对应的点在第一象限
D.

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知复数满足，则          ，在复平面内对应的点在第          象限，其共轭复数的虚部为          
14. 已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足，，则的实部为      ，虚部为      ．
15. 设复数，则在复平面内复数的共轭复数所对应的点在第          象限          
16. 已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足，则的实部为          ，虚部为          ．
17. 已知复数满足，其中为虚数单位，则          ，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第          象限．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．

求复数和；

若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．






 

19. 已知是虚数单位，复数的共轭复数是，且满足．
    求复数的模；  
    若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数．

设复数，求；

设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．






 

21. 已知复数，且为纯虚数是的共轭复数．

设复数，求；

复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．






 

22. 已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限．求复数；
    设，且，求实数的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知复数，

若，且，求实数的值；

若为纯虚数，且，求复数的模．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算、共轭复数，考查复数的模、复数的代数表示法及其几何意义等，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求得，即可得，从而可得答案．
【解答】
解：，
，
在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．
故选A．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数的概念，复数的模，共轭复数，复数的几何意义和四则运算，属于基础题．
利用复数的四则运算将化简，再根据复数的概念，复数的模，共轭复数和复数的几何意义逐项判断即可．
【解答】
解：由得，
的虚部为，不是纯虚数．
，
，在复平面内，对应的点位于第三象限，
故选．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的四则运算，复数的概念，共轭复数，复数的模，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据题意由复数的四则运算可得，逐项分析求解即可．

【解答】

解：，
A.的虚部为，故A错误；
B.的共轭复数为，故B正确；
C.，故C错误；
D.对应的点为，在第一象限，故D错误；
故选B．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念、几何意义、模、共轭复数和运算，属于基础题．
先化简，再逐一判断即可．

【解答】

解：，
的实部为，虚部为；
对应的点的坐标为，在第四象限
的共轭复数为．
故ABC错误，D正确
故选D．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的四则运算，复数的概念，属于基础题．
化简复数，然后依次判断各个选项即可．

【解答】

解：，
则，
，故A错；
复数的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选D．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，复数的四则运算和共轭复数，复数的模，属于基础题．
由已知条件可得，然后代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用共轭复数的定义即可求解．
【解答】
解：复数在复平面内对应的点分别为，，
，．
．
其共轭复数为；则共轭复数的模为；
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数四则运算、复数的概念、复数的代数表示及其几何意义、共轭复数以及复数的模，属于基础题；
由复数四则运算可得，然后逐项判断即可；
【解答】
解：

，
的虚部为
的共轭复数表示的点在第一象限
综上所述，答案选择  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数四则运算、复数的概念、复数的代数表示及其几何意义、共轭复数以及复数的模，属于基础题．
由复数四则运算可得，然后逐项判断即可．
【解答】
解：
的共轭复数表示的点在第一象限，故A错误；
故的虚部为，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的四则运算，复数的概念，共轭复数，复数的模，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据题意由复数的四则运算可得，逐项分析求解即可．

【解答】

解：，
A.的虚部为，故A错误；
B.的共轭复数为，故B正确；
C.，故C错误；
D.对应的点为，在第一象限，故D错误；
故选B．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据复数的模为，可求得虚部，再通过共轭复数的定义可得答案．

【解答】解：设，则，
由，得，
即，解得．
复数对应的点在第三象限，
．
，
．
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的几何意义、共轭复数、复数的模的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用复数的几何意义及复数相关概念判断、，设，根据可得，由圆的方程即可判断出正误．
【解答】
解：复数在复平面内对应的点为，故A正确
复数，所以复数，故B正确
设，所以，
所以对应点轨迹方程为，
表示的是复数和在复平面内对应的点的距离，
点与的距离为，
故的最大值为，最小值为，故 C正确， D错误．
故选D．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念、模、几何意义等，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项即可得答案．
【解答】
解：，
的共轭复数为，的虚部为，在复平面内对应的点在虚轴上，．
故答案选D．  

13.【答案】

 一

【解析】

【分析】
本题考查复数的概念、运算、模、共轭复数和复数的几何意义，属于基础题．
求出，再利用复数的概念、模、共轭复数和复数的几何意义即可求解．
【解答】
解：由题意，得，
故；
在复平面内对应的点为，在第一象限；
的共轭复数为，其虚部为，
故答案为； 一；．  

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了复数的模，复数的概念，考查了共轭复数的概念，是基础题．
设复数，且，，由可求出的值，再由求出的值即可．
【解答】
解：设复数，且，，
，，
，，
，，
的实部为，虚部为，
故答案为：；．  

15.【答案】一

【解析】

【分析】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义，复数的模，属于基础题．
由复数的运算法则可得，共轭复数，再由复数的几何意义及模的公式即可求解．
【解析】
解：复数，
所以共轭复数，
故在复平面内的对应点为在第一象限．

故答案为：一，．  

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了复数的模，复数的概念，考查了共轭复数的概念，是基础题．
设复数，且，，由可求出的值，再由求出的值即可．
【解答】
解：设复数，且，，
，，
，，
，，
的实部为，虚部为，
故答案为：；．  

17.【答案】

一 

【解析】

【分析】
本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题． 设 ，再由复数的模的定义，共轭复数，以及复数的几何意义即可求出． 
【解答】
解：设 ，则 ， 
因此 ，解得 ， 
所以 ，故 ， ， 
其在复数平面内对应点位于第一象限． 
故答案为： ，一．  

18.【答案】解：设，
则为实数，所以，即．
又为实数，
所以，所以．
又，所以，所以，
所以．
因为
而在复平面内对应的点位于第四象限，
所以解得或
因此实数的取值范围为
 

【解析】本题考查了复数的概念，复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的模和复数的四则运算，属于中档题．

设复数，利用复数的概念求得和，得到复数，再求出；

利用复数的四则运算和共轭复数得，再利用复数的代数表示的几何意义得，最后计算得结论．

19.【答案】解：设复数，则，

于是，
即，    

所以，解得，
即．

故．

由得，

由于复数在复平面内对应的点在第一象限，

所以，
解得 
所以的取值范围为．

【解析】本题考查了复数的四则运算，复数的模以及复数的几何意义，共轭复数，属于基础题．
设复数，利用复数的运算以及复数相等求得，，得到复数，再由求模公式求得的模；

由求得复数的实部和虚部，由实部和虚部都大于解得的范围．

20.【答案】解：，，

，

又为纯虚数，

．

，

，

；

，，

．

又复数所对应的点在第一象限，

．
即的取值范围是．

【解析】本题考查复数的综合问题，属于基础题．
利用共轭复数和纯虚数的概念求出的值，利用复数的运算法则以及求模公式计算；

先化简，再利用对应的点在第一象限得到关于的不等式组，求出的取值范围．

21.【答案】解：因为，所以，
所以，
又因为为纯虚数，
所以，则，即，
，
所以；
，，，所以，
所以，
因为在复平面对应的点在第一象限，所以，解得，
所以的取值范围为．
 

【解析】本题考查复数的概念、运算、模、共轭复数、几何意义和虚数单位的幂运算的周期性，属于一般题．
求出后，得，利用复数的运算法则可求由模长公式即可求；
求出，利用复数的几何意义得不等式组，解不等式组即可求的范围．
 

22.【答案】解：Ⅰ设，
则，
解得或舍去．
．
Ⅱ，，
，
，
．
 

【解析】本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的模，属于中档题．
Ⅰ设，代入，利用复数相等求出，，即可得解
Ⅱ由Ⅰ求出共轭复数，根据复数的四则运算，结合复数的模的公式，得到关于的方程，解之即可．
 

23.【答案】解：时，

，
故；

 ，
若为纯虚数，则
解得，
，
．
 

【解析】本题考查复数的代数表示，考查共轭复数以及复数的四则运算，属于中档题．
将代入，继而化简题设等式为，即可推出结论．
化简 ，依据纯虚数的定义推出，代入，求解即可推出结论．