湘教版（2019）必修 第二册第3章 复数3.2 复数的四则运算同步练习题
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3.2复数的四则运算同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为
A. B. C. D.
- 复数
A. B. C. D.
- 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是
A. 复数的模为
B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为
D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
- 已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是
A. 的虚部为
B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限
C. 的共轭复数
D.
- 若是关于的实系数方程的一个复数根，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 复数是虚数单位的共轭复数表示的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
- 的值为
A. B. C. D.
- 已知为虚数单位是关于的方程的一个根，则实数的值为
A. B.
C. D.
- 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是
A. 复数的模为
B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为
D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
- 已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为
A. B. C. D.
- 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是
A. 复数的模为
B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为
D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
- 已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
- 设复数，其中为虚数单位，则的虚部是 ， ．
- 在复数范围内方程的解
- 已知，为虚数单位，复数满足则当为奇数时， ；当时， ．
- 已知是虚数单位，若复数满足，则 ， ．
- 已知复数，则 已知函数，那么 ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 求的值；
若关于的一元二次方程的一个根是，其中，，是虚数单位，求的值．
- 求的值；
若关于的一元二次方程的一个根是，其中，，是虚数单位，求的值．
- 复数范围内因式分解；
计算：；
已知复数，实数满足，求的值．
- 求的值；
若关于的一元二次方程的一个根是，其中，，是虚数单位，求的值．
- 已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数
求实数及；
设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
- 设，求；
已知，解方程
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．
利用复数是纯虚数求出，再结合四则运算和幂运算进行求解即可．
【解答】
解：复数为纯虚数，
所以，可得，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，虚数单位的幂运算的周期性，属于基础题．
根据题意，进行求解即可．
【解答】
解：，
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数除法运算、复数的模、共轭复数、复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题．
化简复数，然后依次判断各个选项即可．
【解答】
解：，则，
，故A错，
复数的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是复数的概念及运算，属于基础题．
先求出复数，再逐项进行判断即可．
【解答】
解：因为，
的虚部为，所以A错误；
复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以 B错误；
，所以C错误；
，所以D正确．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了实系数方程的解法，复数的四则运算，属于基础题．
由题意，得也是方程的复数根，由根与系数的关系可得、的值．
【解答】
解：因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以也是方程的复数根，
则，
，
解得，．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算及虚数单位的周期性以及复数的共轭复数与几何意义，属于基础题目．
利用复数的运算法则及虚数单位的周期性进行求解得出，再由共轭复数的概念与几何意义得出即可．
【解答】
解：，
，其对应点位于第二象限．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查虚数单位的幂运算的周期性和复数的运算，属于基础题．
利用虚数单位的幂运算的周期性和复数的运算法则即可求解．
【解答】
解：．
故选．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题，将代入方程化简整理，利用复数相等列方程解得即可．
【解答】
解：是关于的方程的一个根，
，
化简得，
即，
解得，
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数除法运算、复数的模、共轭复数、复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题．
化简复数，然后依次判断各个选项即可．
【解答】
解：，则，
，故A错，
复数的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．
利用复数是纯虚数求出，再结合四则运算和幂运算进行求解即可．
【解答】
解：复数为纯虚数，
所以，可得，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数除法运算、复数的模、共轭复数、复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题．
化简复数，然后依次判断各个选项即可．
【解答】
解：，则，
，故A错，
复数的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选D．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，虚数单位的幂运算的周期性，复数的概念及共轭复数的求法，属于基础题．
由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求．
【解答】
解：，，
，，
，
的共轭复数的虚部为，
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数的四则运算法则，虚数单位的幂运算的周期性，属于基础题．
先由虚数单位的幂运算的周期性化简复数，进而求得结果．
【解答】
解：
，
，
，
则的虚部为，．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数形式的运算，属于中档题．
设，，，根据韦达定理可得关于、的方程组，解其可得，再根据复数的计算法则计算即可．
【解答】
解：设，，，则得另一个解为，
故有，解之得
故；
当时，
当时，
．
综上，．
故答案为；．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，虚数单位的幂运算的周期性，属于基础题讨论的奇偶性，求出复数，进而得出结果．
【解答】
解：复数满足．
则当为奇数时，令，，
则，
则，；
当时，当，时，，
，
，
当，时，，
，
，
故答案为；．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数中虚数单位的幂运算的周期性、复数的运算、共轭复数和复数的模，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
先求出，进而求得，则，得．
【解答】
解：，，
，，
．
故答案为；．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算和的幂运算的周期性以及导数的运算，属于基本题型．
根据复数的四则运算求出，再根据幂运算的周期性即得答案先求导数，把代入即得答案．
【解答】
解、由已知，，
，
所以．
由，
得，
则
故答案为：．
18.【答案】解：
；
由题得
，
因为，
所以，解得
所以．
【解析】本题考查复数相等的充要条件，虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根与分解因式，考查运算化简的能力，属于中档题．
根据虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得，可得结论．
19.【答案】解：
；
由题得，
因为，
所以，解得
所以．
【解析】本题考查复数相等的充要条件，虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根，考查运算化简的能力，属于中档题．
根据虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得，可得结论．
20.【答案】解：
，
，
，
，
，
解得或．
【解析】本题考查复数的四则运算及复数相等与共轭复数及虚数单位的周期性以及复数范围内的因式分解，属于基础题．
利用及平方差公式进行因式分解即可；
利用复数的除法运算及虚数单位的周期性进行求解即可；
利用复数的四则运算及复数相等得出关系式求出，的值即可．
21.【答案】解：
；
由题得
，
因为，
所以，解得
所以．
【解析】本题考查复数相等的充要条件，虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根与分解因式，考查运算化简的能力，属于中档题．
根据虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得，可得结论．
22.【答案】解：因为，，
，
又为纯虚数，
．
，；
，
因为复数所对应的点在第二象限，
，解得．
【解析】本题考查复数的综合问题，属于较易题．
利用共轭复数和纯虚数的概念求出的值，利用复数的求模公式计算；
先化简，再利用对应的点在第二象限得到关于的不等式组，求出的取值范围．
23.【答案】解：，
；
设，则，
由 ，
可得，，
即，
即，
．
【解析】本题考查复数的四则运算，复数的模的运算，共轭复数及复数相等的条件，属于基础题．
由复数的四则运算化简可得，则 ；
设，由已知及复数四则运算可得，根据复数相等的条件列方程组，解得，可得．
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