湘教版（2019）必修 第二册第4章 立体几何初步4.1 空间的几何体课后测评

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4.1.1几类简单的几何体同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，则此三棱锥的外接球的体积为　

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的是

A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 棱锥至少有条棱
C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

3. 下列结论正确的是

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C. 棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体
D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥

4. “端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一全国各地的粽子包法各有不同如图，粽子可包成棱长为的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为不含外壳的圆柱状竹筒粽现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为的半球的体积，则这两碗馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为参考数据：   

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括 

A. 一个圆柱、一个圆锥 B. 一个圆台、一个圆锥
C. 两个圆锥 D. 两个圆柱

6. 三棱锥中，，，的面积为，则此三棱锥外接球的表面积为   

A.  B.  C.  D.

7. 下列结论正确的是

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

8. 在长方形中挖掉半圆，得到如图所示的图形，则将该图形绕着所在的直线旋转一周后得到的几何体为

A. 一个长方体内部挖去一个球
B. 一个长方体内部挖去半个球
C. 一个圆柱体内部挖去一个球
D. 一个圆柱体内部挖去半个球
 

9. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论：；；与是异面直线；与成角，其中正确的是   

A.
B.
C.
D.

10. 下列关于常见空间几何体说法正确的是

A. 各个侧面都是矩形的四棱柱是长方体
B. 有一个面是四边形，其余各面都是三角形的几何体是四棱锥
C. 有两个面是四边形且互相平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体可能是圆台

11. 已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为

A. ： B. ： C. ： D. ：

12. 一个三棱锥的各棱长均相等，在它内部有一个内切球面，球与三棱锥的各侧面均相切球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是下图中的

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，则此鳖臑的外接球均在球表面上的直径为          ；过的平面截球所得截面面积的最小值为          ．
14. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是          ；此几何体的体积是          ．
    
    
    
     

15. 棱长为的正四面体的外接球与内切球的半径之和为          ，内切球球面上有一动点，则的最小值为          ．
16. 正三棱锥的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为          内切球半径为          
17. 正方体的棱长为，，分别为，的中点．则平面截正方体所得的截面面积为          ；以点为球心，为半径的球面与对角面的交线长为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 已知正三棱锥的高为，底面边长为，其内有一个球，球心到该三棱锥的四个面的距离都相等。求

棱锥的表面积

球的半径最大值．






 

19. 已知圆锥的底面半径为，高为，正方体内接于圆锥，求这个正方体的棱长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．

求证：平面；

求多面体的体积．






 

21. 棱长为的正方体的内切球被平面截得的截面面积为_________．
    
    
    
    
    
    
     
22. 请描述如图所示的组合体的结构特征．

23. 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．

由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；

一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体；

由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形；

一个圆绕其一条直径所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥的空间特征及外接球问题．
依题三棱锥可以补成长方体，则长方体的外接球同时也是三棱锥外接球．求出，，，算出长方体的对角线，即球直径，进而利用球的体积公式求解．

【解答】

解：，，，
则，，，
解得，，，
以、、为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，

则长方体的外接球同时也是三棱锥外接球．
长方体的对角线长为，
球直径为，半径，
因此三棱锥外接球的体积是，
故选B．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查空间几何体的结构和特征，属基础题，难度不大．
依次分析各个选项即可得答案．
【解答】
解：图符合条件但却不是棱柱，故A不正确
三棱锥是棱数最少的棱锥，有条棱，故B正确
棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，则应保证各侧棱延长后相交于一点，图满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是侧棱延长后不相交于一点，故不是棱台，不正确
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转得到的是两个底面重合的圆锥的组合体，故D不正确．
故选B．

3.【答案】
 

【解析】解：，两个完全一样的三棱锥，把底面对接到一起所构成的几何体，满足各个面都是三角形，但并非三棱锥，故错误；
，以三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥，故错误；
，棱柱即是两个底面全等且平行，其它各面的交线均互相平行的多面体，故错误；
，棱台是由一个大棱锥被一个平行于底面的平面所截，夹在截面与底面的部分，
故任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥，故正确；
故选：．
，两个完全一样的三棱锥，把底面对接到一起所构成的几何体，满足各个面都是三角形，但并非三棱锥，
，以三角形的直角边所在直线为旋转轴才是，
，根据棱柱的几何特征，可判断；
，根据棱台的几何特征，可判断．
本题考查的知识点是棱锥，棱台，棱柱，圆台，圆锥，圆柱的几何特征，难度不大，属于基础题．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查简单几何体的体积的应用，考查运算求解能力与空间想象能力难度一般．
根据正四面体，圆柱，球的体积公式分别求解可得结果．
【解答】
解：棱长为的正四面体的体积，
底面半径为，高为的圆柱的体积，
半径为的半球的体积
因为，，
所以这两碗馅料最多可包三角粽个，最多可包竹筒粽个，
故选C．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是旋转体的结构特征，熟练掌握旋转体的结构特征是解答本题的关键，属于基础题．
由等边三角形的结构特点，可得旋转体．

【解答】

解：将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周，
所得的几何体是共用一个底面的两个圆锥．
故选C．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查三棱锥的结构特征，球的体积的计算．
利用三角形全等和三角形面积公式求出高为，，进而利用余弦定理、勾股定理，得出，即，，进而得出为外接圆直径，进而求解．

【解答】

解：如图，

，，
≌，则，
为等边三角形，则，
过作于，则，
又由的面积为，
则的高为，
根据勾股定理，可得，
，
可得，，即，，
的中点到、、、的距离相等都为的一半，
为球的直径，
所以，，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选A．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了旋转体的定义，棱锥及圆锥的结构和性质，属于基础题．
对于每个选项，分别利用举反例法，六棱锥的结构和性质以及圆锥的结构和性质进行判断即可．

【解答】

解：、如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；
  、如图所示，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；
C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；
D、根据圆锥母线的定义知，D正确．
故选D．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了空间几何体的结构特征和旋转体的应用问题，是基础题．
根据空间几何体的结构特征，结合旋转体的定义，即可得出所得几何体的图形是什么．
【解答】
解：根据空间几何体的结构得知，将该图形绕着所在的直线旋转一周后，
得到的几何体为一个圆柱体内部挖去一个球．
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．属于基础题．
将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．
【解答】
解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图：

由图知，，，与是异面直线，与平行，只有正确，
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查棱柱、棱台、棱锥、圆台的定义及其性质，属于基础题．
据棱柱、棱台、棱锥、圆台的结构特征解答即可．
【解答】
解：若四棱柱的上下底面不是矩形，则四棱柱不是长方体，故 A错误；
有一个面是四边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是四棱锥，而“其余各面都是三角形”并不等价于有公共顶点，故B错误；
由棱台的定义可知C错误，反例如图，

由圆台的定义可知D正确．
故选D．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了几何体的外接球，是中档题．
设正三棱锥的底面边长为，高为，则圆柱高为，底面圆半径为，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径，再求出正三棱锥的外接球的半径为，即可求出结果．
【解答】
解：设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：

则圆柱高为，底面圆半径为，
利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径．
由，可求得．
设正三棱锥的外接球的半径为，
则球心到底面距离为，，
利用勾股定理，
可得，故，
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查空间几何体的截面问题，抓住球与三棱锥的切点的位置是解题的关键，属于中档题．
根据题意，求解即可．
【解答】
解：如图所示，设三棱锥的各棱长均相等，球是它的内切球，
设为底面的中心，可得内切球的球心在三棱锥的高上，
由、确定的平面交于，连接、，得到截面，
截面就是经过侧棱与中点的截面，
平面与内切球相交，截得球大圆如图所示，

中，圆分别与、相切于点、，且，圆与相离，
对照各个选项，可得只有项的截面图形符合题意．
故选B．  

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查棱锥的外接球问题，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
转化为长方体的外接球问题处理即可．
【解答】
解：由题意可知，三棱锥的外接球和长方体的外接球是同一个外接球，
且，，，

则外接球的直径是；
又球心到直线的距离为，
所以过的平面截球所得截面面积的最小值为，
故答案为；．  

14.【答案】  

【解析】

【分析】
本题考查三视图及圆台与球的体积的计算，由三视图得几何体的结构特征是解题的关键，属于基础题．
本题的几何体是由圆台与半球组成的几何体，由圆台及球的表面积与体积公式可得．

【解答】

解：由三视图知此几何体是由上面一个圆台，下面半球组成的几何体，

其中圆台的上底半径为，下底半径为，高为，球的半径为，

所以几何体的表面积，

几何体的体积．

故答案为  ．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查两线段和的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是难题．
将正四面体放入正方体可求得外接球半径，利用等体积法可求得内切球的半径．
根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点，再将转换从而得出取最小值时的线段，再根据余弦定理求解即可．
【解答】
解：将正四面体放入如图正方体则正四面体的外接球与该正方体的外接
球为同一球半径为．
设正四面体的内切球半径为，根据等体积法有，
解得．
故外接球与内切球的半径之和为．

由阿波罗尼斯球得内切球球心是线段上以，为定点，
空间中满足的点的集合，
连结并延长交平面于，交内切球上方的点设为，
过作，交于，连结，，
设，由已知得，，，
，解得，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
的最小值为．
故答案为     ；  

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了几何体与球的切接问题问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是根据几何体的结构特征，属于中档题．
正三棱锥的所有棱长均为，所以此三棱锥一定可以放在棱长为的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入面积公式计算．根据正三棱锥的体积可以分割成个以内切球的球心为顶点，分别以正三棱锥的四个面为底面的三棱锥的和，从而求出内切球半径．
【解答】
解：正三棱锥的所有棱长均为，
此三棱锥一定可以放在正方体中，
我们可以在正方体中寻找此三棱锥．
正方体的棱长为．
三棱锥的所有棱长都是，其所在正方体的棱长为，
此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
外接球的直径为正方体的对角线长，
外接球的半径为，
外接球的表面积为：．
因为棱长为的正四面体的底面积，
，
高，
所以，
设内切球球心为的半径为，
则球心到各个底面的距离都为，
且与各个底面构成的三棱锥的体积都是，
所以，从而，

故答案为：；．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查几何题中的截面问题，根据，分别是，的中点，得到，利用正方体的结构特征，有， 从而有 ，由平面的基本性质得到、、、在同一平面内，截面是等腰梯形， 再利用梯形面积公式求解，球与对角面的交线长为球与对角面的截面圆的周长．
【解答】
解：由题意可得，如图所示：

因为，分别是， 的中点，
所以，
在正方体中，，
所以，
所以、、、在同一平面内，
所以平面截该正方体所得的截面为平面，
因为正方体的棱长为，
所以，，，
等腰梯形的高为，
所以．
过作，垂足为，
因为、平面，
所以平面．
所以点为球与对角面的截面圆的圆心，
因为，
球的半径为，
所以球与对角面的截面圆的半径为，
如上图所示，因为，
所以，
所以，
故球与对角面的交线长为．
故答案为．  

18.【答案】解：底面正三角形中心到一边的距离为，

则正棱锥侧面的斜高为．

．

．

如图所示，设球的半径为，由题可得，．

【解析】本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
过点作平面于，连接并延长交于，连结，是正三角形，是边上的高和中线，为的中心．由此能求出棱锥的全面积．
设球的半径为，列式计算即可．
 

19.【答案】解：由题意，作出圆锥的轴截面，如图所示：

设正方体的棱长为，
则，，，
可知：，，
可得∽，
，即，
，
所以正方体的棱长为．

【解析】本题主要考查圆锥与棱柱的结构特征，属于中档题．
由题意，可得∽，求出，即可得解．
 

20.【答案】证明：如图所示：

取中点，  连接，  ．
由题意，为的平分线，且，．
设点是点在平面上的射影，
由已知得，点在上，连接，则平面．
平面平面，平面平面，平面，，
平面，同理可得平面，
又平面， ．
和平面所成的角为，即， ，
四边形为平行四边形，，  平面．
解：，
，
又面，  ，
，
，
．
 

【解析】本题考查空间几何体的结构特征，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定与性质定理，以及空间几何体体积的求法，属于拔高题．
取中点，连接、，等边三角形中，，结合面面垂直的性质，得平面，平面再过作平面，利用，和平面所成的角为，可以证出四边形是平行四边形，得，结合线面垂直的性质定理与判定定理，可证平面；
利用割补法，所求几何体的体积：，所以分别求出三棱锥和三棱锥的体积，即可解决问题．
 

21.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正方体与其内切球的组合体，平面截内切球截面的问题，属于中档题．
关键是通过空间想象知道截面圆就是三角形的内切圆，由题意计算可得．
【解答】
解：由题意知是等边三角形，球与三边的中点都相切，
平面截球所得的截面即为的内切圆．
因为正方体棱长为，所以的边长为，
所以内切圆的半径，
所以内切圆的面积为，即所求截面的面积为．
故答案为．  

22.【答案】解：题图是一个三棱锥和一个四棱锥组合成的组合体；
题图是一个三棱柱和一个四棱锥组合成的组合体．
 

【解析】本题考查简单组合体及其结构特征，考查棱柱和棱锥，属于基础题．
根据题意，即可得解．
 

23.【答案】解：该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形，满足每相邻两个面的公共边都互相平行，故该几何体是正六棱柱，如图所示；
等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转形成半个圆台，故该几何体为圆台，如图．
该几何体的其中一个面是多边形四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，符合棱锥的定义，又因为底面是正方形，其他侧面是全等三角形，所以该几何体是正四棱锥，如图．
该几何体是一个球，如图．

 

【解析】本题考查几何体的结构特点，主要考查了多面体和旋转体的概念，属于基础题．
根据正棱柱的定义可以得出该几何体是正六棱柱；
根据圆台的定义得出该几何体是圆台；
根据正四棱锥的定义得出该几何体是正四棱锥；
根据球体的定义，可知该几何体为球．