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高中数学第1章 平面向量及其应用1.4 向量的分解与坐标表示习题
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这是一份高中数学第1章 平面向量及其应用1.4 向量的分解与坐标表示习题，共25页。试卷主要包含了0分），设AB=a,AD=b．，【答案】B，【答案】A，【答案】D，【答案】C等内容，欢迎下载使用。
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，连接AC，MN交于点P.已知AP=13AC，且AM=34AB，若AN=λAD，则实数λ的值为( )
A. 12B. 35C. 23D. 34
如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基向量OA,OB,OC表示向量OG ，设OG=xOA+yOB+zOC，则x，y，z的值分别是( )
A. x=13,y=13,z=13
B. x=13,y=13,z=16
C. x=13,y=16,z=13
D. x=16,y=13,z=13
如图，在▵ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且AP=(m+211)AB+211BC，则实数m的值为( )
A. 1B. 13C. 911D. 511
如图：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC，c=4，点D是BC边的中点，且AD=7，则△ABC的面积为( )
A. 3
B. 23
C. 27
D. 47
在△ABC中，已知点D为AB边的中点，点N在线段CD上，且CN=2ND，若AN=13AC+λAB，则λ=( )
A. 13B. -13C. 23D. -23
如图，在△ABC中，D是边BC延长线上一点，BC=23BD，则( )
A. AD=32AB-12AC
B. AD=-12AB+32AC
C. AD=43AB-13AC
D. AD=-13AB+43AC
如图，在四面体OABC中，点M在棱OA上，且满足OM=2MA，点N，G分别是线段BC，MN的中点，则用向量OA，OB，OC表示向量OG应为( )
A. OG=13OA+14OB+14OC
B. OG=13OA-14OB+14OC
C. OG=13OA-14OB-14OC
D. OG=13OA+14OB-14OC
在四面体OABC中，E为OA中点，CF=13CB，若OA=a，OB=b，OC=c，则EF=( )
A. 12a-13b-23cB. -12a-13b+43c
C. -12a+23b+13cD. -12a+13b+23c
在矩形ABCD中，|AB|=4,|AD|=2.若点M，N分别是CD，BC的中点，则AM⋅MN=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
已知O是正三角形ABC内部的一点，OA+2OB+3OC=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是( )
A. 32B. 23C. 2D. 1
已知两非零向量e1，e2不共线，设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A. a // e1 B. a // e2
C. a与e1，e2共面D. 以上三种情况均有可能
在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，若AF=xAB+yAC，则
A. x=12，y=34B. x=12，y=16
C. x=34，y=12D. x=16，y=12
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
如图OM //AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB，则x的取值范围是 ，当x=-12时，y的取值范围是 ．
在中，点M，N满足AM=2MC，BN=NC.若MN=xAB+yAC，则x= (1) ，y= (2) ．
如图，在▵ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+13AB，m= ；若▵ABC的面积为23，则|AP|的最小值为 ．
△ABC中，D为AC上的一点，满足AD=13DC.若P为BD上的一点，满足AP=mAB+nACm>0,n>0，则mn的最大值为 ；4m+1n的最小值为 ．
在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，AE=2EB，CE交AD于F.①若BF=xBC+yBA，则x+y= ;②BF·DE= ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
在△ABC中，∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点，DC=2BD，设AB=a,AC=b．
(1)试用a,b表示AD；
(2)求AD·BD的值．
如图，梯形ABCD，DA=2，∠CDA=π3，DA=2CB，E为AB中点，DP=λDC0≤λ≤1．
(Ⅰ)当λ=13，用向量DA，DC表示的向量PE；
(Ⅱ)若DC=t(t为大于零的常数)，求PE的最小值并指出相应的实数λ的值．
如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
(1)求|AB|；
(2)已知点D是AB上一点，满足AD=λAB，点E是边CB上一点，满足BE=λBC．
①当λ=12时，求AE⋅CD；
②是否存在非零实数λ，使得AE⊥CD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且CFCB=23.设AB=a,AD=b．
(Ⅰ)试用基底{a,b}，表示AE,EF；
(Ⅱ)若G为长方形ABCD内部一点，且AG=34a+23b.求证：E，G，F三点共线．
如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，连接AE.若动点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中AP=λAB+μAE，
(1)当点P为BC的中点时，求λ+μ的值;
(2)满足λ+μ=1的点P有几个?
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设
AB=a,AD=b,AP=c．
(1)试用a,b,c表示出向量BM；
(2)求BM的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．
根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．
【解答】
解：因为AC=AB+AD，
所以AP=13AC=13AB+AD，
因为AM=34AB，，
可得AB=43AM，AD=1λAN，
AP=49AM+13λAN，
又因为M、N、P三点共线，
所以49+13λ=1，
解得：λ=35．
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了向量的三角形法则，平行四边形法则，考查平面向量基本定理，属于基础题．
利用向量的三角形法则及平行四边形法则利用基底向量表示出OG，然后根据平面向量基本定理即可得出．
【解答】
解：∵M、N分别是对边OA、BC的中点，
∴OM=12OA，ON=12(OB+OC)，
∴OG=OM+MG=OM+23MN
=OM+23(ON-OM)
=13OM+23ON
=13×12OA+23×12(OB+OC)
=16OA+13OB+13OC，
因此x=16，y=z=13，
故选D．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，属于基础题．
依题意，AP=m+211AB+2113AN-AB=mAB+611AN，又B，P，N三点共线，因此m+611=1，解方程即可．
【解答】
解：∵BC=AC-AB=3AN-AB，
∴AP=m+211AB+2113AN-AB=mAB+611AN，
又∵B，P，N三点共线，
∴m+611=1，
解得m=511，
故选D．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，属于中档题．
可先利用正弦定理得a-ba+b=cc-b，结合余弦定理求出角A=π3，再结合中线对应的向量求出AC，然后根据三角形面积公式求出结果．
【解答】
解：由已知及正弦定理得a-ba+b=cc-b，整理为c2+b2-a2=bc
所以csA=b2+c2-a22bc=12，
又A∈(0,π)，所以A=π 3，因为D为BC的中点，
所以AD2=14(AB+AC)2=14AB 2+AC2+AB·AC=7，
即AC2+4AC-12=0，解得AC=2，舍去负根，
所以S△ABC=12AB·ACsinA=12×4×2×32=23．
故选B．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的线性表示以及线性运算，是基础性题目．
根据题意画出图形，结合图形用向量AB、AC表示出AN即可．
【解答】
解：如图所示，
△ABC中，点D为AB边的中点，∴CD=AD-AC=12AB-AC；
又点N在线段CD上，且CN=2ND，
∴CN=23CD=23(12AB-AC)=13AB-23AC；
∴AN=CN-CA=13AB-23AC+AC=13AC+13AB，
又AN=13AC+λAB，
∴λ=13．
故选A．
6.【答案】B
【解析】解：∵BC=23BD，∴BD=32BC，
∴AD=AB+BD=AB+32BC=AB+32(AC-AB)=-12AB+32AC．
故选：B．
因为BC=23BD，所以BD=32BC，而AD=AB+BD，再结合平面向量的数乘和减法运算即可得解．
本题考查平面向量的加法、减法、数乘运算及平面向量的基本定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理及其应用，向量的加法、数乘运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意连接ON，因为N，G分别为BC，MN的中点，从而由OG=12OM+12ON即可得．
【解答】解：连接ON，因为N，G分别为BC，MN的中点，
所以OG=12OM+12ON=12×23OA+12×12(OB+OC)，
化简得到OG=13OA+14OB+14OC，
故选A．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的加减法，及线性运算，即可得出结论．
本题考查了平面向量的加减法、线性运算，是基础题．
【解答】
解：由题意，EF=EA+AB+BF
=12a+b-a+23(c-b)
=-12a+13b+23c．
故选：D．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．
本题可以以AD，AB两个向量作为基底向量用来表示所要求的AM，MN，然后根据向量的性质来运算，从而得出结果．
【解答】
由题意作出图形，如图所示：
由图及题意，可得：
AM=AD+DM=AD+12AB，
MN=CN-CM=12CB-12CD=-12BC+12DC=-12AD+12AB．
∴AM⋅MN=AD+12AB⋅-12AD+12AB=-12⋅|AD|2+14⋅|AB|2=-12⋅4+14⋅16=2．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量基本定理得应用，属于中档题．
设D，E分别是边BC、AC的中点，可得OE=-2OD，由此求解即可．
【解答】
解：OA+2OB+3OC=0，即OA+OC+2OB+2OC=0，
设D，E分别是边BC、AC的中点，
由平行四边形法则知OA+OC=2OE，2OB+2OC=4OD，
故OE=-2OD，
由于正三角形ABC，
故S△AOC=23S△ADC=23×12×S△ABC=13S△ABC，
又D，E分别是边BC、AC的中点，故O到AB的距离是C到AB的距离的一半，
所以S△AOB=12×S△ABC
∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为23．
故选：B．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了向量共面定理，考查了推理能力，属于基础题．
利用向量共面定理即可得出．
【解答】
解：∵两非零向量e1，e2不共线．a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ，μ≠0)，
∴a与e1，e2共面．
故选C．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其应用，AF=AD+DF=12AB+32DE=12AB+3212AC，化简即可求出x，y的值
【解答】
解：AF=AD+DF=12AB+32DE=12AB+3212AC=12AB+34AC，
若AF=xAB+yAC，且AB,AC不共线，
所以x=12,y=34．
故选A．
13.【答案】(-∞,0);
(12,32)
【解析】
【分析】
本题考查平面向量基本定理的yy应用，根据向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，得到x的取值范围，当x=-12时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，得到y的范围，属于难题．
【解答】
解：如图，OM//AB，点P在由射线OM，
线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且OP=xOA+yOB，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，
该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，
∴x的取值范围是(-∞,0)；
当x=-12时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=12OB，CE=32OB，
∴y的取值范围是(12,32).
故答案为(-∝,0)；(12,32).
14.【答案】12
-16
【解析】
【分析】
本题考查向量的加减运算以及平面向量的基本定理，利用向量的和或差将向量MN用向量AB，AM，NB表示出来，再用实数与向量的积将AM，NB分别用向量AC，CB表示出来，进而求解．
【解答】
解：因为AB=AM+MN+NB，
所以MN=AB-AM-NB．
因为AM=2MC，所以AM=23AC．
因为BN=NC，所以NB=12CB．
因为CB=AB-AC，
所以MN=AB-23AC-12CB=AB-23AC-12(AB-AC)=12AB-16AC．
所以x=12，y=-16．
故答案为12；-16．
15.【答案】12
2
【解析】
【分析】
本题考查向量运算、向量平行条件应用、三角形面积公式、向量的模及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意得AP=mAC+12AD，利用C，D，P三点共线，可得m+12=1，即可得m；
利用▵ABC的面积为23可得|AB|⋅|AC|=8，进而得AB⋅AC=4，根据|AP|2|=|12AC+13AB|2
=14|AC|2+19|AB|2+43，利用基本不等式可得|AP|的最小值为2．
【解答】
解：∵AD=2DB
∴AB=32AD
∴AP=mAC+13AB=mAC+13×32AD
=mAC+12AD
∵C，D，P三点共线
∴m+12=1
解得m=12，
∵S△ABC=12|AB|⋅|AC|⋅sin∠BAC
=12|AB|⋅|AC|⋅sinπ3=34|AB|⋅|AC|=23
∴|AB|⋅|AC|=8
∴AB⋅AC=|AB|⋅|AC|⋅cs∠BAC=8×12=4
∵AP=12AC+13AB，
∴|AP|2|=|12AC+13AB|2=14AC|2+13AB⋅AC+19|AB|2
=14|AC|2+19|AB|2+43≥214|AC|2×19|AB|2+43
=2×12|AC|×13|AB|+43=13×8+43=4
当且仅当12|AC|=13|AB|时等号成立
∴|AP|≥2当且仅当|AB|=23|AC|=433时等号成立
即|AP|的最小值为2
故答案为：12;2．
16.【答案】116
16
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加减运算及利用基本不等式求最值，同时考查平面向量共线的条件，属于中档题．
由已知结合平面向量的加减运算得m，n的关系，然后利用基本不等式求解即可，注意乘的应用．
【解答】
解：由已知BP=BA+AP=(m-1)AB+nAC，
又AD=13DC，
所以PD=PA+AD=-mAB-nAC+14AC=-mAB+(14-n)AC，
因为B，P，D三点共线，AB,AC不共线，
所以存在λ，使得BP=λPD，
即m-1=-λmn=λ(14-n),
得m+4n=1，
又m>0，n>0，
所以1=m+4n≥24mn，当m=4n即m=12,n=18时，取等号，
解得mn≤116，
4m+1n=(m+4n)(4m+1n) =8+16nm+mn≥8+216nm×mn=16，
当m=4n即m=12,n=18时，取等号，
即mn的最大值为116，4m+1n的最小值为16．
故答案为116; 16．
17.【答案】35
-715
【解析】
【分析】
本题考查平面向量运算、基本定理以及数量积的运算，属于中档题．
过E作EM//AD，且EM交BC于M，利用平行线的性质，确定出F点是AD的几等分点，则BF，DE都可以用BC，BA来表示，即可求解x+y，再根据向量数量积运算可求得结果．
【解答】
解：如图：过E作EM//AD，且EM交BC于M．
由AE=2EB，D是BC的中点得：EM=13AD，FD=35EM，
故FD=15AD，即AF=45AD．
所以AF=45AD=45(BD-BA)=45(12BC-BA)=25BC-45BA⋅
所以BF=BA+AF=15BA+25BC．
故x+y=25+15=35．
易知DE=BE-BD=13BA-12BC．
由已知得BA=BC=2，=60∘．
所以BF⋅DE=(15BA+25BC)⋅(13BA-12BC)=115BA2-15BC2+130BA⋅BC
=115×4-15×4+130×4×12=-715．
故答案为35；-715．
18.【答案】解：(1)∵D是边BC上一点，DC=2BD，
∴BD=13BC，又∵AB=a,AC=b，BC=b-a，
∴AD=AB+BD=AB+13BC
=a+13·b-a=23a+13b．
(2)∵a=AB=2，b=AC=1，∠BAC=120°，
∴a·b=2×1×-12=-1，
∴AD·BD=23a+13b·13b-a
=13·-23a2+13b2+13·a·b
=19·-2×4+1-1=-89．
【解析】本题考查平面向量基本定理，平面向量的加减法及数量积运算，属于中档题．
(1)根据题意得BD=13BC，由向量的减法法则得BC=b-a，从而可得AD=AB+BD=AB+13BC即可求得答案；
(2)由(1)可得：AD·BD=23a+13b·13b-a，根据题意算出a·b=2×1×-12=-1，a2=4,b2=1，代入计算即可得到AD·BD的值．
19.【答案】解：(Ⅰ)过C作CF//AB，交AD于F，
则四边形ABCF是平行四边形，F是AD的中点，
∴BE=12BA=12CF=12DF-12DC=14DA-12DC，
λ=13时，PC=23DC，
∴PE=PC+CB+BE=23DC+12DA+14DA-12DC
=34DA+16DC；
(Ⅱ)∵DP=λDC，∴PC=(1-λ)DC，
∴PE=PC+CB+BE=(1-λ)DC+12DA+14DA-12DC=(12-λ)DC+34DA，
∵DC⋅DA=2tcs60°=t，DC2=t2，DA2=4，
∴PE2=(12-λ)2t2+94+32(12-λ)t=[(12-λ)t+34]2+2716，
∴当(12-λ)t=-34时即λ=12+34t时，PE2取得最小值2716．
∴PE的最小值为334，此时λ=12+34t．
【解析】本题考查了平面向量的线性运算，向量的数量积，属于中档题．
(Ⅰ)过C作CF//AB，交AD于F，则F为AD中点，用DA,DC表示出PC,CB,BE，即可得出结论；
(Ⅱ)用向量DA，DC表示的向量PE，两边平方根据二次函数的性质求出最值．
20.【答案】解：(1)△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，
由余弦定理得，
AB2=CA2+CB2-2CA⋅CB⋅cs∠ACB
=12+22-2×1×2×cs60°
=3．
∴AB=3，即|AB|=3；
(2)①λ=12时，AD=12AB，BE=12BC，
∴D、E分别是AB，CB的中点，
∴AE=AC+CE=-CA+12CB，
CD=12(CA+CB)，
∴AE⋅CD=(-CA+12CB)⋅(12CA+12CB)
=-12CA2-14CB⋅CA+14CB2
=-12×12-14×2×1×cs60°+14×22
=14；
②假设存在非零实数λ，使得AE⊥CD，
由AD=λAB，得AD=λ(CB-CA)，
∴CD=CA+AD=CA+λ(CB-CA)
=λCB+(1-λ)CA；
又BE=λBC，
∴AE=AB+BE=(CB-CA)+λ(-CB)
=(1-λ)CB-CA；
∴AE⋅CD=λ(1-λ)CB2-λCB⋅CA+1-λ2CB⋅CA-(1-λ)CA2，
=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)
=-3λ2+2λ=0，
解得λ=23或λ=0(不合题意，舍去)；
即存在非零实数λ=23，使得AE⊥CD．
【解析】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．
(1)利用余弦定理求出AB的长即得|AB|；
(2)①λ=12时，D、E分别是AB，CB的中点，求出AE、CD的数量积即可；
②假设存在非零实数λ，使得AE⊥CD，利用CB、CA分别表示出CD和AE，求出AE⋅CD=0时的λ值即可．
21.【答案】解：(Ⅰ)由题，AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB=b+12a，
EF=EC+CF=12AB+23CB=12AB-23AD=12a-23b．
(Ⅱ)AF=AB+BF=AB+13AD=a+13b，
AG=34a+23b=12(b+12a)+12(a+13b)=12AE+12AF，
∵12+12=1，
∴E，G，F三点共线．
【解析】本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
(Ⅰ)根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{a,b}，表示AE,EF；
(Ⅱ)可得AG=34a+23b═12AE+12AF，∵12+12=1，∴E，G，F三点共线．
22.【答案】解：(1)连接AC，
因为点P为BC的中点，
所以AP=12AB+12AC， ①
因为DE=CD，
所以CE=2CD，
所以AE=AC+CE=AC+2CD=AC-2AB，
因为AP=λAB+μAE，
所以AP=(λ-2μ)AB+μAC， ②
因为AB，AC不共线，由 ① ②可得λ-2μ=12μ=12，解得λ=32μ=12,
所以λ+μ=2．
(2)若λ+μ=1，则λ=1-μ，
因为AP=λAB+μAE，
所以AP=(1-μ)AB+μAE，
所以AP-AB=μ(AE-AB)，所以BP=μBE，
所以B，P，E三点共线，
所以动点P运动至点B，E以及BE与边AD的交点时满足条件，
即满足λ+μ=1的点P有3个．
【解析】本题考查平面向量的计算及平面向量的基本定理，属于中档题，
(1)先得到AP=12AB⇀+ 12AC，再得到AP=(λ-2μ)AB ⇀+μAC，根据向量相等的条件，建立方程组，解方程组即可．
(2)根据AP=λAB+μAE，得到AP-AB=μ(AE-AB)，分析可得结果．
23.【答案】解：
(1)
∵M是PC的中点，
∴BM=12(BC+BP)
∵AD=BC，BP=AP-AB，
∴BM=12[AD+(AP-AB)]
结合AB=a,AD=b,AP=c，
得BM=12[b+(c-a)]=-12a+12b+12c
(2)∵AB=AD=1，PA=2，
∴|a|=|b|=1，|c|=2
∵AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°
∴a⋅b=0，
∵BM=-12a+12b+12c
∴BM2=(-12a+12b+12c)2
=14(a2+b2+c2-2a⋅b-2a⋅c+2b⋅c)
=14(1+1+4+0-2+2)=32
∴|BM|=BM2=62，即BM的长等于62．
【解析】本题在四棱锥中用a、b、c表示出向量BM，并根据给出的数据求BM的长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．
(1)根据向量加法法则，得BM=12(BC+BP)，再根据正方形ABCD中AD=BC，结合BP=AP-AB代入化简即得用a，b，c表示向量BM的式子；
(2)由题意得a、b、c的模长分别为1、1、2，利用数量积公式结合题中角度算出a⋅b=0，a⋅c=b⋅c=1，代入BM2的表示式算出BM2=32，从而得到BM的长等于62．
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，连接AC，MN交于点P.已知AP=13AC，且AM=34AB，若AN=λAD，则实数λ的值为( )
A. 12B. 35C. 23D. 34
如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基向量OA,OB,OC表示向量OG ，设OG=xOA+yOB+zOC，则x，y，z的值分别是( )
A. x=13,y=13,z=13
B. x=13,y=13,z=16
C. x=13,y=16,z=13
D. x=16,y=13,z=13
如图，在▵ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且AP=(m+211)AB+211BC，则实数m的值为( )
A. 1B. 13C. 911D. 511
如图：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC，c=4，点D是BC边的中点，且AD=7，则△ABC的面积为( )
A. 3
B. 23
C. 27
D. 47
在△ABC中，已知点D为AB边的中点，点N在线段CD上，且CN=2ND，若AN=13AC+λAB，则λ=( )
A. 13B. -13C. 23D. -23
如图，在△ABC中，D是边BC延长线上一点，BC=23BD，则( )
A. AD=32AB-12AC
B. AD=-12AB+32AC
C. AD=43AB-13AC
D. AD=-13AB+43AC
如图，在四面体OABC中，点M在棱OA上，且满足OM=2MA，点N，G分别是线段BC，MN的中点，则用向量OA，OB，OC表示向量OG应为( )
A. OG=13OA+14OB+14OC
B. OG=13OA-14OB+14OC
C. OG=13OA-14OB-14OC
D. OG=13OA+14OB-14OC
在四面体OABC中，E为OA中点，CF=13CB，若OA=a，OB=b，OC=c，则EF=( )
A. 12a-13b-23cB. -12a-13b+43c
C. -12a+23b+13cD. -12a+13b+23c
在矩形ABCD中，|AB|=4,|AD|=2.若点M，N分别是CD，BC的中点，则AM⋅MN=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
已知O是正三角形ABC内部的一点，OA+2OB+3OC=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是( )
A. 32B. 23C. 2D. 1
已知两非零向量e1，e2不共线，设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A. a // e1 B. a // e2
C. a与e1，e2共面D. 以上三种情况均有可能
在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，若AF=xAB+yAC，则
A. x=12，y=34B. x=12，y=16
C. x=34，y=12D. x=16，y=12
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
如图OM //AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB，则x的取值范围是 ，当x=-12时，y的取值范围是 ．
在中，点M，N满足AM=2MC，BN=NC.若MN=xAB+yAC，则x= (1) ，y= (2) ．
如图，在▵ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+13AB，m= ；若▵ABC的面积为23，则|AP|的最小值为 ．
△ABC中，D为AC上的一点，满足AD=13DC.若P为BD上的一点，满足AP=mAB+nACm>0,n>0，则mn的最大值为 ；4m+1n的最小值为 ．
在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，AE=2EB，CE交AD于F.①若BF=xBC+yBA，则x+y= ;②BF·DE= ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
在△ABC中，∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点，DC=2BD，设AB=a,AC=b．
(1)试用a,b表示AD；
(2)求AD·BD的值．
如图，梯形ABCD，DA=2，∠CDA=π3，DA=2CB，E为AB中点，DP=λDC0≤λ≤1．
(Ⅰ)当λ=13，用向量DA，DC表示的向量PE；
(Ⅱ)若DC=t(t为大于零的常数)，求PE的最小值并指出相应的实数λ的值．
如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
(1)求|AB|；
(2)已知点D是AB上一点，满足AD=λAB，点E是边CB上一点，满足BE=λBC．
①当λ=12时，求AE⋅CD；
②是否存在非零实数λ，使得AE⊥CD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且CFCB=23.设AB=a,AD=b．
(Ⅰ)试用基底{a,b}，表示AE,EF；
(Ⅱ)若G为长方形ABCD内部一点，且AG=34a+23b.求证：E，G，F三点共线．
如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，连接AE.若动点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中AP=λAB+μAE，
(1)当点P为BC的中点时，求λ+μ的值;
(2)满足λ+μ=1的点P有几个?
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设
AB=a,AD=b,AP=c．
(1)试用a,b,c表示出向量BM；
(2)求BM的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．
根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．
【解答】
解：因为AC=AB+AD，
所以AP=13AC=13AB+AD，
因为AM=34AB，，
可得AB=43AM，AD=1λAN，
AP=49AM+13λAN，
又因为M、N、P三点共线，
所以49+13λ=1，
解得：λ=35．
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了向量的三角形法则，平行四边形法则，考查平面向量基本定理，属于基础题．
利用向量的三角形法则及平行四边形法则利用基底向量表示出OG，然后根据平面向量基本定理即可得出．
【解答】
解：∵M、N分别是对边OA、BC的中点，
∴OM=12OA，ON=12(OB+OC)，
∴OG=OM+MG=OM+23MN
=OM+23(ON-OM)
=13OM+23ON
=13×12OA+23×12(OB+OC)
=16OA+13OB+13OC，
因此x=16，y=z=13，
故选D．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，属于基础题．
依题意，AP=m+211AB+2113AN-AB=mAB+611AN，又B，P，N三点共线，因此m+611=1，解方程即可．
【解答】
解：∵BC=AC-AB=3AN-AB，
∴AP=m+211AB+2113AN-AB=mAB+611AN，
又∵B，P，N三点共线，
∴m+611=1，
解得m=511，
故选D．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，属于中档题．
可先利用正弦定理得a-ba+b=cc-b，结合余弦定理求出角A=π3，再结合中线对应的向量求出AC，然后根据三角形面积公式求出结果．
【解答】
解：由已知及正弦定理得a-ba+b=cc-b，整理为c2+b2-a2=bc
所以csA=b2+c2-a22bc=12，
又A∈(0,π)，所以A=π 3，因为D为BC的中点，
所以AD2=14(AB+AC)2=14AB 2+AC2+AB·AC=7，
即AC2+4AC-12=0，解得AC=2，舍去负根，
所以S△ABC=12AB·ACsinA=12×4×2×32=23．
故选B．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的线性表示以及线性运算，是基础性题目．
根据题意画出图形，结合图形用向量AB、AC表示出AN即可．
【解答】
解：如图所示，
△ABC中，点D为AB边的中点，∴CD=AD-AC=12AB-AC；
又点N在线段CD上，且CN=2ND，
∴CN=23CD=23(12AB-AC)=13AB-23AC；
∴AN=CN-CA=13AB-23AC+AC=13AC+13AB，
又AN=13AC+λAB，
∴λ=13．
故选A．
6.【答案】B
【解析】解：∵BC=23BD，∴BD=32BC，
∴AD=AB+BD=AB+32BC=AB+32(AC-AB)=-12AB+32AC．
故选：B．
因为BC=23BD，所以BD=32BC，而AD=AB+BD，再结合平面向量的数乘和减法运算即可得解．
本题考查平面向量的加法、减法、数乘运算及平面向量的基本定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理及其应用，向量的加法、数乘运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意连接ON，因为N，G分别为BC，MN的中点，从而由OG=12OM+12ON即可得．
【解答】解：连接ON，因为N，G分别为BC，MN的中点，
所以OG=12OM+12ON=12×23OA+12×12(OB+OC)，
化简得到OG=13OA+14OB+14OC，
故选A．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的加减法，及线性运算，即可得出结论．
本题考查了平面向量的加减法、线性运算，是基础题．
【解答】
解：由题意，EF=EA+AB+BF
=12a+b-a+23(c-b)
=-12a+13b+23c．
故选：D．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．
本题可以以AD，AB两个向量作为基底向量用来表示所要求的AM，MN，然后根据向量的性质来运算，从而得出结果．
【解答】
由题意作出图形，如图所示：
由图及题意，可得：
AM=AD+DM=AD+12AB，
MN=CN-CM=12CB-12CD=-12BC+12DC=-12AD+12AB．
∴AM⋅MN=AD+12AB⋅-12AD+12AB=-12⋅|AD|2+14⋅|AB|2=-12⋅4+14⋅16=2．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量基本定理得应用，属于中档题．
设D，E分别是边BC、AC的中点，可得OE=-2OD，由此求解即可．
【解答】
解：OA+2OB+3OC=0，即OA+OC+2OB+2OC=0，
设D，E分别是边BC、AC的中点，
由平行四边形法则知OA+OC=2OE，2OB+2OC=4OD，
故OE=-2OD，
由于正三角形ABC，
故S△AOC=23S△ADC=23×12×S△ABC=13S△ABC，
又D，E分别是边BC、AC的中点，故O到AB的距离是C到AB的距离的一半，
所以S△AOB=12×S△ABC
∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为23．
故选：B．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了向量共面定理，考查了推理能力，属于基础题．
利用向量共面定理即可得出．
【解答】
解：∵两非零向量e1，e2不共线．a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ，μ≠0)，
∴a与e1，e2共面．
故选C．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其应用，AF=AD+DF=12AB+32DE=12AB+3212AC，化简即可求出x，y的值
【解答】
解：AF=AD+DF=12AB+32DE=12AB+3212AC=12AB+34AC，
若AF=xAB+yAC，且AB,AC不共线，
所以x=12,y=34．
故选A．
13.【答案】(-∞,0);
(12,32)
【解析】
【分析】
本题考查平面向量基本定理的yy应用，根据向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，得到x的取值范围，当x=-12时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，得到y的范围，属于难题．
【解答】
解：如图，OM//AB，点P在由射线OM，
线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且OP=xOA+yOB，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，
该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，
∴x的取值范围是(-∞,0)；
当x=-12时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=12OB，CE=32OB，
∴y的取值范围是(12,32).
故答案为(-∝,0)；(12,32).
14.【答案】12
-16
【解析】
【分析】
本题考查向量的加减运算以及平面向量的基本定理，利用向量的和或差将向量MN用向量AB，AM，NB表示出来，再用实数与向量的积将AM，NB分别用向量AC，CB表示出来，进而求解．
【解答】
解：因为AB=AM+MN+NB，
所以MN=AB-AM-NB．
因为AM=2MC，所以AM=23AC．
因为BN=NC，所以NB=12CB．
因为CB=AB-AC，
所以MN=AB-23AC-12CB=AB-23AC-12(AB-AC)=12AB-16AC．
所以x=12，y=-16．
故答案为12；-16．
15.【答案】12
2
【解析】
【分析】
本题考查向量运算、向量平行条件应用、三角形面积公式、向量的模及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意得AP=mAC+12AD，利用C，D，P三点共线，可得m+12=1，即可得m；
利用▵ABC的面积为23可得|AB|⋅|AC|=8，进而得AB⋅AC=4，根据|AP|2|=|12AC+13AB|2
=14|AC|2+19|AB|2+43，利用基本不等式可得|AP|的最小值为2．
【解答】
解：∵AD=2DB
∴AB=32AD
∴AP=mAC+13AB=mAC+13×32AD
=mAC+12AD
∵C，D，P三点共线
∴m+12=1
解得m=12，
∵S△ABC=12|AB|⋅|AC|⋅sin∠BAC
=12|AB|⋅|AC|⋅sinπ3=34|AB|⋅|AC|=23
∴|AB|⋅|AC|=8
∴AB⋅AC=|AB|⋅|AC|⋅cs∠BAC=8×12=4
∵AP=12AC+13AB，
∴|AP|2|=|12AC+13AB|2=14AC|2+13AB⋅AC+19|AB|2
=14|AC|2+19|AB|2+43≥214|AC|2×19|AB|2+43
=2×12|AC|×13|AB|+43=13×8+43=4
当且仅当12|AC|=13|AB|时等号成立
∴|AP|≥2当且仅当|AB|=23|AC|=433时等号成立
即|AP|的最小值为2
故答案为：12;2．
16.【答案】116
16
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加减运算及利用基本不等式求最值，同时考查平面向量共线的条件，属于中档题．
由已知结合平面向量的加减运算得m，n的关系，然后利用基本不等式求解即可，注意乘的应用．
【解答】
解：由已知BP=BA+AP=(m-1)AB+nAC，
又AD=13DC，
所以PD=PA+AD=-mAB-nAC+14AC=-mAB+(14-n)AC，
因为B，P，D三点共线，AB,AC不共线，
所以存在λ，使得BP=λPD，
即m-1=-λmn=λ(14-n),
得m+4n=1，
又m>0，n>0，
所以1=m+4n≥24mn，当m=4n即m=12,n=18时，取等号，
解得mn≤116，
4m+1n=(m+4n)(4m+1n) =8+16nm+mn≥8+216nm×mn=16，
当m=4n即m=12,n=18时，取等号，
即mn的最大值为116，4m+1n的最小值为16．
故答案为116; 16．
17.【答案】35
-715
【解析】
【分析】
本题考查平面向量运算、基本定理以及数量积的运算，属于中档题．
过E作EM//AD，且EM交BC于M，利用平行线的性质，确定出F点是AD的几等分点，则BF，DE都可以用BC，BA来表示，即可求解x+y，再根据向量数量积运算可求得结果．
【解答】
解：如图：过E作EM//AD，且EM交BC于M．
由AE=2EB，D是BC的中点得：EM=13AD，FD=35EM，
故FD=15AD，即AF=45AD．
所以AF=45AD=45(BD-BA)=45(12BC-BA)=25BC-45BA⋅
所以BF=BA+AF=15BA+25BC．
故x+y=25+15=35．
易知DE=BE-BD=13BA-12BC．
由已知得BA=BC=2，
所以BF⋅DE=(15BA+25BC)⋅(13BA-12BC)=115BA2-15BC2+130BA⋅BC
=115×4-15×4+130×4×12=-715．
故答案为35；-715．
18.【答案】解：(1)∵D是边BC上一点，DC=2BD，
∴BD=13BC，又∵AB=a,AC=b，BC=b-a，
∴AD=AB+BD=AB+13BC
=a+13·b-a=23a+13b．
(2)∵a=AB=2，b=AC=1，∠BAC=120°，
∴a·b=2×1×-12=-1，
∴AD·BD=23a+13b·13b-a
=13·-23a2+13b2+13·a·b
=19·-2×4+1-1=-89．
【解析】本题考查平面向量基本定理，平面向量的加减法及数量积运算，属于中档题．
(1)根据题意得BD=13BC，由向量的减法法则得BC=b-a，从而可得AD=AB+BD=AB+13BC即可求得答案；
(2)由(1)可得：AD·BD=23a+13b·13b-a，根据题意算出a·b=2×1×-12=-1，a2=4,b2=1，代入计算即可得到AD·BD的值．
19.【答案】解：(Ⅰ)过C作CF//AB，交AD于F，
则四边形ABCF是平行四边形，F是AD的中点，
∴BE=12BA=12CF=12DF-12DC=14DA-12DC，
λ=13时，PC=23DC，
∴PE=PC+CB+BE=23DC+12DA+14DA-12DC
=34DA+16DC；
(Ⅱ)∵DP=λDC，∴PC=(1-λ)DC，
∴PE=PC+CB+BE=(1-λ)DC+12DA+14DA-12DC=(12-λ)DC+34DA，
∵DC⋅DA=2tcs60°=t，DC2=t2，DA2=4，
∴PE2=(12-λ)2t2+94+32(12-λ)t=[(12-λ)t+34]2+2716，
∴当(12-λ)t=-34时即λ=12+34t时，PE2取得最小值2716．
∴PE的最小值为334，此时λ=12+34t．
【解析】本题考查了平面向量的线性运算，向量的数量积，属于中档题．
(Ⅰ)过C作CF//AB，交AD于F，则F为AD中点，用DA,DC表示出PC,CB,BE，即可得出结论；
(Ⅱ)用向量DA，DC表示的向量PE，两边平方根据二次函数的性质求出最值．
20.【答案】解：(1)△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，
由余弦定理得，
AB2=CA2+CB2-2CA⋅CB⋅cs∠ACB
=12+22-2×1×2×cs60°
=3．
∴AB=3，即|AB|=3；
(2)①λ=12时，AD=12AB，BE=12BC，
∴D、E分别是AB，CB的中点，
∴AE=AC+CE=-CA+12CB，
CD=12(CA+CB)，
∴AE⋅CD=(-CA+12CB)⋅(12CA+12CB)
=-12CA2-14CB⋅CA+14CB2
=-12×12-14×2×1×cs60°+14×22
=14；
②假设存在非零实数λ，使得AE⊥CD，
由AD=λAB，得AD=λ(CB-CA)，
∴CD=CA+AD=CA+λ(CB-CA)
=λCB+(1-λ)CA；
又BE=λBC，
∴AE=AB+BE=(CB-CA)+λ(-CB)
=(1-λ)CB-CA；
∴AE⋅CD=λ(1-λ)CB2-λCB⋅CA+1-λ2CB⋅CA-(1-λ)CA2，
=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)
=-3λ2+2λ=0，
解得λ=23或λ=0(不合题意，舍去)；
即存在非零实数λ=23，使得AE⊥CD．
【解析】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．
(1)利用余弦定理求出AB的长即得|AB|；
(2)①λ=12时，D、E分别是AB，CB的中点，求出AE、CD的数量积即可；
②假设存在非零实数λ，使得AE⊥CD，利用CB、CA分别表示出CD和AE，求出AE⋅CD=0时的λ值即可．
21.【答案】解：(Ⅰ)由题，AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB=b+12a，
EF=EC+CF=12AB+23CB=12AB-23AD=12a-23b．
(Ⅱ)AF=AB+BF=AB+13AD=a+13b，
AG=34a+23b=12(b+12a)+12(a+13b)=12AE+12AF，
∵12+12=1，
∴E，G，F三点共线．
【解析】本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
(Ⅰ)根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{a,b}，表示AE,EF；
(Ⅱ)可得AG=34a+23b═12AE+12AF，∵12+12=1，∴E，G，F三点共线．
22.【答案】解：(1)连接AC，
因为点P为BC的中点，
所以AP=12AB+12AC， ①
因为DE=CD，
所以CE=2CD，
所以AE=AC+CE=AC+2CD=AC-2AB，
因为AP=λAB+μAE，
所以AP=(λ-2μ)AB+μAC， ②
因为AB，AC不共线，由 ① ②可得λ-2μ=12μ=12，解得λ=32μ=12,
所以λ+μ=2．
(2)若λ+μ=1，则λ=1-μ，
因为AP=λAB+μAE，
所以AP=(1-μ)AB+μAE，
所以AP-AB=μ(AE-AB)，所以BP=μBE，
所以B，P，E三点共线，
所以动点P运动至点B，E以及BE与边AD的交点时满足条件，
即满足λ+μ=1的点P有3个．
【解析】本题考查平面向量的计算及平面向量的基本定理，属于中档题，
(1)先得到AP=12AB⇀+ 12AC，再得到AP=(λ-2μ)AB ⇀+μAC，根据向量相等的条件，建立方程组，解方程组即可．
(2)根据AP=λAB+μAE，得到AP-AB=μ(AE-AB)，分析可得结果．
23.【答案】解：
(1)
∵M是PC的中点，
∴BM=12(BC+BP)
∵AD=BC，BP=AP-AB，
∴BM=12[AD+(AP-AB)]
结合AB=a,AD=b,AP=c，
得BM=12[b+(c-a)]=-12a+12b+12c
(2)∵AB=AD=1，PA=2，
∴|a|=|b|=1，|c|=2
∵AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°
∴a⋅b=0，
∵BM=-12a+12b+12c
∴BM2=(-12a+12b+12c)2
=14(a2+b2+c2-2a⋅b-2a⋅c+2b⋅c)
=14(1+1+4+0-2+2)=32
∴|BM|=BM2=62，即BM的长等于62．
【解析】本题在四棱锥中用a、b、c表示出向量BM，并根据给出的数据求BM的长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．
(1)根据向量加法法则，得BM=12(BC+BP)，再根据正方形ABCD中AD=BC，结合BP=AP-AB代入化简即得用a，b，c表示向量BM的式子；
(2)由题意得a、b、c的模长分别为1、1、2，利用数量积公式结合题中角度算出a⋅b=0，a⋅c=b⋅c=1，代入BM2的表示式算出BM2=32，从而得到BM的长等于62．
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