2022年高考数学一轮复习之基本初等函数

这是一份2022年高考数学一轮复习之基本初等函数，共26页。

2022年高考数学一轮复习之基本初等函数
一．选择题（共12小题）
1．（2021•丰台区模拟）已知函数f（x）＝2x，下列说法正确的是（　　）
A．f（mn）＝f（m）f（n） B．f（mn）＝f（m）+f（n）
C．f（m+n）＝f（m）+f（n） D．f（m）f（n）＝f（m+n）
2．（2021•沈阳三模）已知x∈（1，2），a＝2，b＝（2x）2，c＝2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
3．（2019•宜宾模拟）若函数f（x）＝2×ax+m﹣n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（﹣1，4），则m+n＝（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．（2020•东城区模拟）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天原有的加上新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（　　）
A．10天 B．15天 C．19天 D．2天
5．（2021•西湖区校级模拟）已知3a＝5b＝15，则a，b不可能满足的关系是（　　）
A．a+b＝ab B．a+b＞4
C．（a﹣1）2+（b﹣1）2＜2 D．a2+b2＞8
6．（2021•香坊区校级模拟）已知2a＝5b＝50，，则整数n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．（2021•诸暨市模拟）已知x，y为正实数，则（　　）
A．lg（x2•y）＝（lgx）2+lgy B．
C．elnx+lny＝x+y D．elnx•lny＝xy
8．（2021•广东模拟）如图，直线x＝t与函数f（x）＝log3x和g（x）＝log3x﹣1的图象分别交于点A，B，若函数y＝f（x）的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为（　　）

A． B． C． D．
9．（2021•浦东新区校级三模）若f（x）＝2x+3（x∈R），则y＝f﹣1（x）的定义域是（　　）
A．R B．（5，+∞） C．（3，+∞） D．（0，+∞）
10．（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3
11．（2021•宜春模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
12．（2019•榆林一模）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（　　）
A． B．（2，+∞）
C． D．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•黄浦区校级三模）函数的反函数为y＝f﹣1（x），f﹣1（3）＝　 　．
14．（2021•成都模拟）计算的值为　 　．
15．（2021•重庆模拟）已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝　 　．
16．（2021•呼和浩特模拟）已知a，b均为正实数，且满足（）a＝log2a，2b＝logb，则下面四个判断：
①ln（a﹣b）＞0；
②2b﹣a＜1；
③﹣＞﹣；
④log2a＞0＞log2b．
其中一定成立的有　 　（填序号即可）．
17．（2021•嘉定区二模）已知函数f（x）＝2+loga（x+1）（a＞0，且a≠1）．若y＝f（x）的反函数的图象经过点（1，2），则a＝　 　．
三．解答题（共5小题）
18．（2019•上海模拟）已知函数（a＞0，a≠1）．
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当时，求函数y＝f（x）+f（﹣x）的最小值．
19．（2020•普陀区二模）设函数f（x）＝是偶函数．
（1）求实数m的值及g（x）；
（2）设函数g（x）在区间[0，m]上的反函数为g﹣1（x），当g﹣1（2）＞loga（a＞0且a≠1）时，求实数a的取值范围．
20．（2021春•工农区校级期末）化简并求值：
（1）4；
（2）lg．
21．（2021春•聊城期末）已知函数f（x）＝（a2﹣a﹣1）x（1﹣a）（2+a）是幂函数（a∈R），且f（1）＜f（2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在实数b，使得函数g（x）＝3﹣f（x）+2bx在区间[﹣1，1]上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
22．（2020秋•抚州期末）已知幂函数f（x）＝（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k），且f（2）＜f（3）．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1﹣f（x）+2mx，在区间[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2022年高考数学一轮复习之基本初等函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021•丰台区模拟）已知函数f（x）＝2x，下列说法正确的是（　　）
A．f（mn）＝f（m）f（n） B．f（mn）＝f（m）+f（n）
C．f（m+n）＝f（m）+f（n） D．f（m）f（n）＝f（m+n）
【考点】指数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用函数解析式的含义以及指数的运算性质进行判断即可．
【解答】解：因为f（x）＝2x，
所以f（mn）＝2mn，而f（m）f（n）＝2m•2n＝2m+n＝f（m+n），
故选项A，B错误，选项D正确；
f（m+n）＝2m+n,f（m）+f（n）＝2m+2n，故选项C错误．
故选：D．
【点评】本题考查了函数解析式的理解和应用，指数运算性质的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．
2．（2021•沈阳三模）已知x∈（1，2），a＝2，b＝（2x）2，c＝2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【考点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据x∈（1，2）时x2＜2x，判断a＜c；根据x∈（1，2）时2x＞2x，判断b＞c；由此得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：x∈（1，2）时，x2＜2x，所以＜，即a＜c；
又（2x）2＝22x，x∈（1，2），2x＞2x，所以22x＞，即b＞c；
所以a，b，c的大小关系为b＞c＞a．
故选：B．
【点评】本题考查了利用函数的单调性判断数值大小的应用问题，是基础题．
3．（2019•宜宾模拟）若函数f（x）＝2×ax+m﹣n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（﹣1，4），则m+n＝（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【考点】指数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得 m﹣1＝0，且2•am﹣1﹣n＝4，求得m和n的值，可得m+n的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝2×ax+m﹣n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（﹣1，4），∴m﹣1＝0，且2•am﹣1﹣n＝4，
解得m＝1，n＝﹣2，∴m+n＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
4．（2020•东城区模拟）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天原有的加上新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（　　）
A．10天 B．15天 C．19天 D．2天
【考点】指数函数的实际应用．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．
【解答】解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），
根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数在实际生活中的应用，关键是将信息提取出来，列出函数的解析式．
5．（2021•西湖区校级模拟）已知3a＝5b＝15，则a，b不可能满足的关系是（　　）
A．a+b＝ab B．a+b＞4
C．（a﹣1）2+（b﹣1）2＜2 D．a2+b2＞8
【考点】指数式与对数式的互化．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用指数的运算性质，得到ab＝a+b，然后利用基本不等式以及不等式的性质对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：因为3a＝5b＝15，
所以（3a）b＝15b，（5b）a＝15a，
所以3ab＝15b，5ba＝15a，
则（15）ab＝15a+b，
所以ab＝a+b，故选A正确；
因为，因为a≠b，
所以，解得a+b＝ab＞4，故选项B正确；
因为（a﹣1）2+（b﹣1）2＝a2+b2﹣2（a+b）+2＞2ab﹣2（a+b）+2＞2，故选项C错误；
因为a2+b2＞2ab＞8，故选项D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了指数的运算性质的应用，基本不等式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
6．（2021•香坊区校级模拟）已知2a＝5b＝50，，则整数n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先把指数式化为对数式求出a，b的值，再代入，利用对数的运算性质化简，即可求出n的值．
【解答】解：由2a＝5b＝50，可得a＝log250，b＝log550，
∵＝1，
∴，
∴log502+nlog505＝1，
∴，
∴，
∴2×5n＝50，
解得n＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
7．（2021•诸暨市模拟）已知x，y为正实数，则（　　）
A．lg（x2•y）＝（lgx）2+lgy B．
C．elnx+lny＝x+y D．elnx•lny＝xy
【考点】对数的运算性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：x，y为正实数，
对于A，lg（x2•y）＝lgx2+lgy＝2lgx+lgy,故A错误；
对于B，lg(x)＝lgx+lg＝lgx+,故B正确；
对于C,elnx+lny＝elnx•elny＝xy,故C错误；
对于D，xy＝elnx•elny＝elnx+lny，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了对数、指数的运算性质，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，是基础题．
8．（2021•广东模拟）如图，直线x＝t与函数f（x）＝log3x和g（x）＝log3x﹣1的图象分别交于点A，B，若函数y＝f（x）的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】求出A，B的坐标，设出C的坐标，根据中点坐标公式求出t的值即可．
【解答】解：由题意A（t，log3t），B（t，log3t﹣1），|AB|＝1，
设C（x，log3x），因为△ABC是等边三角形，
所以点C到直线AB的距离为，所以，，
根据中点坐标公式可得，
所以，解得，
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查中点坐标公式，是中档题．
9．（2021•浦东新区校级三模）若f（x）＝2x+3（x∈R），则y＝f﹣1（x）的定义域是（　　）
A．R B．（5，+∞） C．（3，+∞） D．（0，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法；反函数．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用反函数的定义域即为原函数的值域，求解f（x）的值域，即可得到答案．
【解答】解：y＝f﹣1（x）的定义域即为函数f（x）的值域，
因为2x＞0，则f（x）＞3，故f（x）的值域为（3，+∞），
所以y＝f﹣1（x）的定义域是（3，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了反函数的理解和应用，解题的关键是掌握反函数与原函数之间的关系，即反函数的定义域即为原函数的值域，属于基础题．
10．（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析．
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，可得 m2﹣2m﹣2＝1，且 m2﹣2＞0，由此求得m的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上为增函数，
∴m2﹣2m﹣2＝1，且 m2﹣2＞0，求得m＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
11．（2021•宜春模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8），
∴m﹣1＝1，且mn＝8，
求得m＝2，n＝3，故f（x）＝x3．
∵a＝f（20.3）＝20.9＞1，b＝f（0.32）＝0.36∈（0，1），c＝f（log20.3）＝＜0，
∴a＞b＞c，
故选：D．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
12．（2019•榆林一模）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（　　）
A． B．（2，+∞）
C． D．
【考点】奇函数、偶函数；对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由题意知不等式即f（log4x）＞，即 log4x＞，或 log4x＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性
求出不等式的解集．
【解答】解：由题意知 不等式f（log4x）＞2，即 f（log4x）＞，又偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞＝log42，或 log4x＜﹣＝，
∴0＜x＜，或 x＞2，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•黄浦区校级三模）函数的反函数为y＝f﹣1（x），f﹣1（3）＝　　．
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出已知函数的反函数，然后把x＝3代入即可求解．
【解答】解：因为y，
所以x＝，即y＝f﹣1（x）＝，
所以f﹣1（3）＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反函数的求解，属于基础题．
14．（2021•成都模拟）计算的值为　　．
【考点】对数的运算性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】直接利用指数与对数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：＝+log26﹣log23＝log22＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，指数式求值，是基础题．
15．（2021•重庆模拟）已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝　﹣1　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析．
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm在（0，+∞）上单调递减，
∴m2﹣3m﹣3＝1，且m＜0，
求得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
16．（2021•呼和浩特模拟）已知a，b均为正实数，且满足（）a＝log2a，2b＝logb，则下面四个判断：
①ln（a﹣b）＞0；
②2b﹣a＜1；
③﹣＞﹣；
④log2a＞0＞log2b．
其中一定成立的有　②③④　（填序号即可）．
【考点】对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数函数和指数函数的性质，先求出a，b的范围，再根据a，b的范围即可求解．
【解答】解：令f（x）＝﹣log2x，则f（1）＝﹣0＝＞0，f（）＝﹣＝﹣＜0，∵（）a＝log2a，
∴a∈（1，）．
∵2b＝logb，b＞0，∴2b＞1，∴b∈（0，），
∴＜a﹣b＜，
①：∵ln（a﹣b）可能小于等于0，∴①错误，
②：∵b﹣a＜0，∴2b﹣a＜20＝1，∴②正确，
③：∵a＞b＞0，∴＜，∴﹣＞﹣，∴③正确，
④：∵a∈（1，），∴log2a＞0，
∵b∈（0，），∴log2b＜0，∴log2a＞0＞log2b．∴④正确，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查对数函数和指数函数的性质的运用，属于中档题．
17．（2021•嘉定区二模）已知函数f（x）＝2+loga（x+1）（a＞0，且a≠1）．若y＝f（x）的反函数的图象经过点（1，2），则a＝　　．
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用函数与反函数图象关于y＝x对称，可得函数f（x）的图象经过点（2，1），代入求解即可．
【解答】解：因为y＝f（x）的反函数的图象经过点（1，2），
由函数与反函数图象关于y＝x对称，则函数f（x）的图象经过点（2，1），
则有2+loga（2+1）＝1，解得a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数与反函数关系的应用，解题的关键是掌握函数与反函数的图象关于y＝x对称，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
18．（2019•上海模拟）已知函数（a＞0，a≠1）．
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当时，求函数y＝f（x）+f（﹣x）的最小值．
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．
（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．
【解答】解：（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，所以f（x）的反函数ay＝9﹣3x，x＝log3，
反函数为y＝log＝，所以a＝3．
（2）当时，f（x）＝log，f（﹣x）＝log（9﹣3（﹣x）），
则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣log4≥﹣3，
故最小值为﹣3．
【点评】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题．
19．（2020•普陀区二模）设函数f（x）＝是偶函数．
（1）求实数m的值及g（x）；
（2）设函数g（x）在区间[0，m]上的反函数为g﹣1（x），当g﹣1（2）＞loga（a＞0且a≠1）时，求实数a的取值范围．
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．
（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由于函数为偶函数，
所以：函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝f（x）
所以m＝2．
当0＜x≤2时，f（x）＝g（x），
则﹣2≤﹣x＜0，f（﹣x）＝3x﹣1＝f（x）．
故g（x）＝3x﹣1．
（2）函数g（x）在区间[0，2]上的反函数g﹣1（x）．
所以，解得g﹣1（x）＝1，
即，
则：或，
解得或a＞1．
故实数a的取值范围为（0，）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
20．（2021春•工农区校级期末）化简并求值：
（1）4；
（2）lg．
【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）利用根式的定义以及分数指数幂的运算性质化简求值即可；
（2）利用对数的运算性质以及运算法则近似化简求值即可．
【解答】解：（1）＝
＝

＝11﹣π；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了化简求值问题，主要考查了分数指数幂的运算性质、根式的定义以及对数的运算性质，考查了化简运算能力，属于基础题．
21．（2021春•聊城期末）已知函数f（x）＝（a2﹣a﹣1）x（1﹣a）（2+a）是幂函数（a∈R），且f（1）＜f（2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在实数b，使得函数g（x）＝3﹣f（x）+2bx在区间[﹣1，1]上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，求得a的值，可得结论．
（2）由题意利用利用二次函数的性质求出函数的最大值，可得b的值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（a2﹣a﹣1）x（1﹣a）（2+a）是幂函数（a∈R），且f（1）＜f（2），
∴a2﹣a﹣1＝1，且（1﹣a）（2+a）＞0，
求得a＝﹣1，故f（x）＝x2．
（2）设存在实数b，使函数g（x）＝3﹣f（x）+2bx＝﹣x2+2bx+3 在区间[﹣1，1]上的最大值为6，
由于g（x）的图象的对称轴为x＝b，
当b＜﹣1时，则f（﹣1）＝﹣1﹣2b+3＝6，求得b＝﹣2；
当﹣1≤b≤1时，f（b）＝﹣b2+2b2+3＝6，求得b＝±（舍去）；
当b＞1时，则f（1）＝﹣1+2b+3＝6，求得b＝2，
综上可得，存在b＝±2，满足条件．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，利用二次函数的性质求最大值，属于基础题．
22．（2020秋•抚州期末）已知幂函数f（x）＝（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k），且f（2）＜f（3）．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1﹣f（x）+2mx，在区间[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，求出k的值，可得函数的解析式．
（2）由题意求出m的值，可得g（x）的解析式，再利用二次函数的性质，求出m的值．
【解答】解：（1）∵f（2）＜f（3），
∴幂函数f（x）＝（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k）在（0，+∞）上单调递增，
∴（2﹣k）（1+k）＞0，∴﹣1＜k＜2，k2+k﹣1＝1，
∴k＝1，f（x）＝x2．
（2）∵g（x）＝1﹣f（x）+2mx＝﹣x2+2mx+1，
∵g（x）开口方向向下，对称轴x＝m（m＞0），
1）当0＜m＜1时，g（x）在区间[0，m]上递增，在区间[m，1]上递减．
∴，∴m＝±2，均不符合题意舍去，
2）当m≥1时，g（x）在区间[0，1]上递增，∴g（x）max＝g（1）＝2m＝5，
∴，符合题意，
综上，．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，二次函数的性质，属于中档题．

考点卡片
1．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
2．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．

【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
3．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

常考题型：
例1：下列计算正确的是（　　）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵，
∴B不正确；
∵，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．

【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

常考题型：
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
4．指数函数的图象与性质
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象


定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1


在R上是增函数
在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．

③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
5．指数函数的单调性与特殊点
【知识点归纳】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
6．指数函数的实际应用
【知识点归纳】
指数函数图象的应用：
函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．
7．指数式与对数式的互化
【知识点归纳】
ab＝N⇔logaN＝b；
alogaN＝N；logaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）
（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法）
（5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法）
8．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
9．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
10．对数函数的图象与性质
【知识点归纳】

11．对数函数的单调性与特殊点
【知识点归纳】
对数函数的单调性和特殊点：
1、对数函数的单调性
当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数
2、特殊点
对数函数恒过点（1，0）
12．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
13．幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【知识点归纳】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
14．幂函数的性质
【知识点归纳】
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
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日期：2021/8/26 16:15:28；用户：招远8；邮箱：zybzy8@xyh.com；学号：40292118