2022年高考数学一轮复习之三角函数

这是一份2022年高考数学一轮复习之三角函数，共44页。
2022年高考数学一轮复习之三角函数
一．选择题（共15小题）
1．（2019•新课标Ⅰ）tan255°＝（　　）
A．﹣2﹣ B．﹣2+ C．2﹣ D．2+
2．（2020•新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2021•乌鲁木齐模拟）已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2021•白山三模）已知函数f（x）＝tanx﹣sinxcosx，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象关于（π，0）对称
D．f（x）的图象不关于（，0）对称
5．（2021•甲卷模拟）设sin20°＝m，cos20°＝n，化简﹣＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
6．（2021•湖北模拟）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0﹣07”，478密位写成“4﹣78.1周角等于6000密位，记作1周角＝60﹣00，1直角＝15﹣00．如果一个半径为2的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（　　）
A．12﹣50 B．17﹣50 C．21﹣00 D．35﹣00
7．（2021•辽阳县校级一模）已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2021•5月份模拟）达•芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（　　）

A． B． C． D．
9．（2021•全国Ⅱ卷模拟）若△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A＝（　　）
A． B． C． D．
10．（2021•乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（　　）
A．sin（﹣） B．sin（+）
C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）
11．（2020•天津）已知函数f（x）＝sin（x+）．给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（）是f（x）的最大值；
③把函数y＝sinx的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
12．（2021•大通县一模）将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（x）的最小正周期为6π，则ω＝（　　）
A． B．6 C． D．3
13．（2021•安徽一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC＝（　　）

A． B． C． D．
14．（2021•青羊区校级模拟）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin3x的图象，只需将f（x）的图象（　　）

A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
15．（2021•阳泉三模）已知同时满足下列三个条件：①T＝π；②是奇函数；③．若f（x）在[0，t）上没有最小值，则实数t的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
16．（2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cosx的最小值为 　 　．
17．（2021•徐汇区校级三模）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为　 　cm2．

18．（2021•道里区校级模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB+bcosA＝csinA，则△ABC的形状为　 　．
19．（2021•乙卷模拟）已知△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，AB＝3，AC＝3，点D在BC上，∠BAD+∠BAC＝π，记△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，，则BC＝　 　．

20．（2021•大连模拟）已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最小值是　 　．
三．解答题（共6小题）
21．（2021•江苏模拟）在①ab＝，②asinA＝，③a+c＝1+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求c的值及△ABC的面积．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＝c（2﹣cosB），sinA＝sinC，_____．
22．（2019•房山区一模）已知函数．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅲ）求函数f（x）在上的取值范围．
23．（2021•和平区校级模拟）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的取值范围．
24．（2020•合肥三模）已知函数（ω＞0）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若方程f（x）＝在区间[0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围．
25．（2021•上虞区模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的单调递增区间．

26．（2021•全国卷模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，2S＝c2﹣（a﹣b）2．
（1）求cosC的值；
（2）已知c＝4，求△ABC面积的最大值．

2022年高考数学一轮复习之三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2019•新课标Ⅰ）tan255°＝（　　）
A．﹣2﹣ B．﹣2+ C．2﹣ D．2+
【考点】运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．
【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）
＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题．
2．（2020•新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系；二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cosα的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sinα的值．
【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，
即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．
∵α∈（0，π），∴α∈（，π），
则sinα＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．
3．（2021•乌鲁木齐模拟）已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由2α+＝2（α+），再结合余弦的二倍角公式，得解．
【解答】解：＝cos[2（α+）]＝1﹣2＝1﹣2×＝．
故选：D．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，熟练掌握余弦的二倍角公式是解题的关键，属于基础题．
4．（2021•白山三模）已知函数f（x）＝tanx﹣sinxcosx，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象关于（π，0）对称
D．f（x）的图象不关于（，0）对称
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑推理．
【分析】结合三角函数的对称性，周期性，奇偶性及对称性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为f（x+π）＝f（x），即函数的最小正周期为π，
又f（﹣x）＝﹣f（x）≠f（x），
所以函数f（x）为奇函数，图象不关于y轴对称，A，B错误；
因为f（2π﹣x）＝﹣tanx+sinxcosx＝﹣f（x），
所以函数图象关于（π，0）对称，C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角函数的对称性与周期性，考查了逻辑推理的核心素养．
5．（2021•甲卷模拟）设sin20°＝m，cos20°＝n，化简﹣＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由已知结合同角基本关系及二倍角公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为sin20°＝m，cos20°＝n，
所以﹣＝﹣＝﹣＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式在三角化简中的应用，属于基础题．
6．（2021•湖北模拟）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0﹣07”，478密位写成“4﹣78.1周角等于6000密位，记作1周角＝60﹣00，1直角＝15﹣00．如果一个半径为2的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（　　）
A．12﹣50 B．17﹣50 C．21﹣00 D．35﹣00
【考点】弧长公式；扇形面积公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；逻辑推理．
【分析】先利用扇形的面积公式求出圆心角的弧度数，然后利用题中给出的密位制的定义求解即可．
【解答】解：面积为，半径为2的扇形所对的圆心角弧度数大小为，
由题意可知，其密位大小为，
所以用密位制表示为17﹣50．
故选：B．
【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，考查了转化化归能力，属于基础题．
7．（2021•辽阳县校级一模）已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和万能公式的应用求出结果．
【解答】解：已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），
整理得2sinα＝3cosα，
所以，
故sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝﹣＝﹣﹣＝﹣；
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，万能公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．（2021•5月份模拟）达•芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（　　）

A． B． C． D．
【考点】弧长公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；应用题；转化思想；三角函数的求值；数学运算．
【分析】设∠ABC＝2θ．可得sinθ＝＝0.866≈，可求θ的值，进而得出结论．
【解答】解：∵AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中．
设∠ABC＝2θ．
∴则sinθ＝＝0.866≈，
∵由题意θ必为锐角，可得θ≈，
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．
则α+2θ＝π，
∴α＝π﹣＝．
故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（2021•全国Ⅱ卷模拟）若△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分析法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】解：根据已知条件，以及正弦定理，可得，结合A的取值范围，即可求解．
【解答】解：∵，
又∵由正弦定理可得，，
∴，
∴，
又∵0＜A＜π，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于基础题．
10．（2021•乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（　　）
A．sin（﹣） B．sin（+）
C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得出结论．
【解答】解：∵把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，
∴把函数y＝sin（x﹣）的图像，向左平移个单位长度，
得到y＝sin（x+﹣）＝sin（x+）的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得f（x）＝sin（x+）的图像．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，属基础题．
11．（2020•天津）已知函数f（x）＝sin（x+）．给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（）是f（x）的最大值；
③把函数y＝sinx的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．
【解答】解：因为f（x）＝sin（x+），
①由周期公式可得，f（x）的最小正周期T＝2π，故①正确；
②f（）＝sin（）＝sin＝，不是f（x）的最大值，故②错误；
③根据函数图象的平移法则可得，函数y＝sinx的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象，故③正确．
故选：B．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档试题．
12．（2021•大通县一模）将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（x）的最小正周期为6π，则ω＝（　　）
A． B．6 C． D．3
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】整体思想；定义法；三角函数的图象与性质；逻辑推理．
【分析】根据条件求出函数g（x）的解析式，利用周期公式建立方程进行求解即可．
【解答】解：将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，
即g（x）＝sinωx，
若g（x）的最小正周期为6π，
则T＝＝6π，得ω＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，根据三角函数的变换求出函数的解析式，利用周期公式进行求解是解决本题的关键，是基础题．
13．（2021•安徽一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC＝（　　）

A． B． C． D．
【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】在△ABC以及△ABD中，用正弦定理联立求得：＝，再结合同角三角函数基本关系式，即可求解结论．
【解答】解：因为在△ABC中，∠BAC＝，点D在线段BC上，AD⊥AC，，
在△ABC中，＝⇒＝，①
在△ABD中，＝⇒＝，②
②÷①得：＝，即tanC＝，
∴＝，又sin2C+cos2C＝1，
∴sinC＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦定理以及同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题目．
14．（2021•青羊区校级模拟）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin3x的图象，只需将f（x）的图象（　　）

A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；三角函数的图象与性质．
【分析】根据图象求出ω 和φ的值，结合三角函数的图象变换关系，进行判断即可．
【解答】解：由图象知函数的周期T＝4（﹣）＝4×＝，
即＝，
得ω＝3，
则f（x）＝sin（3x+φ），
由f（）＝sin（3×+φ）＝﹣1，
得sin（+φ）＝﹣1，
即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ+，k∈Z，
∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝，
即f（x）＝sin（3x+）＝sin3（x+），
为了得到g（x）＝sin3x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin3（x﹣+）＝sin3x，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出三角函数的解析式以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．
15．（2021•阳泉三模）已知同时满足下列三个条件：①T＝π；②是奇函数；③．若f（x）在[0，t）上没有最小值，则实数t的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；三角函数的图象与性质．
【分析】根据①周期为π；可得ω＝2
②由是奇函数；．可得其中一个φ＝，那么f（x）＝sin（2x）
在根据f（x）在[0，t）上没有最小值，即可求解实数t的取值范围；
【解答】解：由题意：①|f（x1）﹣f（x2）|＝2时，|x1﹣x2|的最小值为；可得周期为π；ω＝2
②是奇函数；．可得其中一个φ＝
那么f（x）＝sin（2x）
根据f（x）在[0，t）上没有最小值，
∵x∈[0，t）；
∴2x∈[，2t）；
可得t＞0，且＜2t≤
解得：＜
故选：D．
【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质的综合应用和计算能力．属于中档题．
二．填空题（共5小题）
16．（2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cosx的最小值为 　﹣4　．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】先利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单调性即可去求解最小值
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+）﹣3cosx，
＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1，
令t＝cosx，则﹣1≤t≤1，
令g（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向下，对称轴t＝，在[﹣1，1]上先增后减，
故当t＝1即cosx＝1时，函数有最小值﹣4．
故答案为：﹣4
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数时化简求值中的应用及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题
17．（2021•徐汇区校级三模）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为　704　cm2．

【考点】扇形面积公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：，解得r，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
由题意可得：，
解得：r＝，
所以，S扇面＝S扇形OCD﹣S扇形OAB＝×64×（+16）﹣×24×＝704cm2．
故答案为：704．

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．
18．（2021•道里区校级模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB+bcosA＝csinA，则△ABC的形状为　直角三角形　．
【考点】三角形的形状判断；正弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．
【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出sinA，进一步求得∠A，即可得解．
【解答】解：由acosB+bcosA＝csinA，结合正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinA，
∴sin（B+A）＝sinCsinA，可得：sinC＝sinCsinA，
在△ABC中，∵sinC≠0，
∴sinA＝1，
又0＜A＜π，
∴∠A＝，则△ABC的形状为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题考查正弦定理的应用，考查了两角和与差的三角函数，考查了转化思想，属于基础题．
19．（2021•乙卷模拟）已知△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，AB＝3，AC＝3，点D在BC上，∠BAD+∠BAC＝π，记△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，，则BC＝　6　．

【考点】正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】法一：设∠BAD＝θ，则∠BAC＝π﹣θ，然后由已知结合三角形面积公式可求AD，再由正弦定理及余弦定理即可求出；
法二：因为∠BAD+∠BAC＝π，把△ABD沿AB翻折到△ABD′，使C，A，D′三点共线，则AB平分∠CBD′，结合三角形的面积公式可把已知面积之比转化为边长之比，然后结合余弦定理可求．
【解答】解：法一：设∠BAD＝θ，则∠BAC＝π﹣θ，则．
因为，所以AD＝2．
在△ABD中，由正弦定理得，
在△ABC中，由正弦定理得，
两式相比得．
设CD＝x，则BD＝2x，BC＝3x，
在△ABC中，由余弦定理得，所以①．
在△ABD中，由余弦定理得，
所以②，
联立①②得x＝2，所以BC＝6．
法二：因为∠BAD+∠BAC＝π，把△ABD沿AB翻折到△ABD′，使C，A，D′三点共线，则AB平分∠CBD′．
因为，所以．
因为，
所以AD′＝2，设BC＝3x，则BD′＝2x，
设∠BAD′＝θ，则∠BAC＝π﹣θ．
在△ABC中，由余弦定理得，
所以①，
在△ABD′中，由余弦定理得，
所以②，
联立①②得x＝2，所以BC＝6．
故答案为：6．

【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理的应用，考查运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养．
20．（2021•大连模拟）已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最小值是　　．
【考点】正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】转化思想；三角函数的求值；三角函数的图象与性质．
【分析】直接利用函数的性质求出结果．
【解答】解：函数，若对任意的实数，
则：f（α）∈[﹣，0]，
由于使f（α）+f（β）＝0，
则：f（β）∈[0，]．
，
，
，
所以：实数m的最小值是．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用．
三．解答题（共6小题）
21．（2021•江苏模拟）在①ab＝，②asinA＝，③a+c＝1+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求c的值及△ABC的面积．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＝c（2﹣cosB），sinA＝sinC，_____．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由bsinC＝c（2﹣cosB），利用正弦定理可求得B，由sinA＝sinC＝sin（A+），利用两角和的正弦公式可求得A，从而可求得b＝c，根据所选条件，利用正弦定理可求得c，由三角形面积公式可求得△ABC的面积．
【解答】解：因为bsinC＝c（2﹣cosB），
由正弦定理可得 sinBsinC＝sinC（2﹣cosB），
因为sinC≠0，所以sinB＝2﹣cosB，
即sinB+cosB＝2，sin（B+）＝1，
因为0＜B＜π，所以＜B+＜，
所以B+＝，所以B＝，
因为sinA＝sinC＝sin（A+）＝（sinA+cosA），
整理得sinA＝﹣cosA，所以tanA＝﹣，
因为0＜A＜，所以A＝，
所以C＝π﹣﹣＝，所以B＝C，b＝c，
若选条件①，因为ab＝，sinA＝sinC，所以a＝c，
所以bc＝1，而b＝c，所以b＝c＝1，
S△ABC＝bcsinA＝．
若选条件②，因为asinA＝，所以a＝，
由正弦定理＝＝，可得b＝c＝1，
S△ABC＝bcsinA＝．
若选条件③，因为a+c＝1+，sinA＝sinC，所以a＝c，
所以a+c＝c+c＝1+，解得c＝1，
所以b＝c＝1，
所以S△ABC＝bcsinA＝．
【点评】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换以及三角形面积公式，考查转化思想与运算 求解能力，属于中档题．
22．（2019•房山区一模）已知函数．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅲ）求函数f（x）在上的取值范围．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质．
【分析】（Ⅰ）直接在函数解析式中取x＝0求解；
（Ⅱ）由分式函数的分母不为0即可求得函数定义域；
（Ⅲ）把已知函数解析式变形，再由x的范围求得相位的范围，则函数值域可求．
【解答】解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）由cosx≠0，得．
∴函数的定义域是 ；
（Ⅲ）
..＝＝．
∵，即，∴，
∴，得1．
∴函数f（x）在上的取值范围为（1，2]．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．
23．（2021•和平区校级模拟）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的三角函数；三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x+）+，再求出f（x）的最小正周期及对称中心．
（2）由题意可得2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质，即可求出f（x）的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x＝sin2x+＝sin（2x+）+，
可得f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ﹣，k∈Z，
所以函数对称中心为（kπ﹣，），k∈Z，
（2）因为x∈[﹣，]，所以2x+∈[﹣，]，
所以sin（2x+）∈[﹣，1]，
所以f（x）＝sin（2x+）+∈[，]．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的图像和性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．
24．（2020•合肥三模）已知函数（ω＞0）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若方程f（x）＝在区间[0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围．
【考点】二倍角的三角函数；正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝sin（2ωx+）+，根据正弦函数的性质即可求解其值域．
（2）由已知可求范围，利用正弦函数的图象可知，在区间[0，π]上恰有两个实数解，必须，即可解得ω的范围．
【解答】解：（1）＝．
由，得f（x）的值域是．
（2）∵0≤x≤π，
∴，
由正弦函数的图象可知，在区间[0，π]上恰有两个实数解，必须，
解得．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．
25．（2021•上虞区模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的单调递增区间．

【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】（Ⅰ）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，由特殊点的坐标求出A，可得函数的解析式。
（Ⅱ）由题意利用函数y＝Asin(ωx+φ）的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求出g（x）在[0，π]上的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，
∴•＝﹣，∴ω＝2。
根据五点法作图可得2×+φ＝π，∴φ＝。
再根据图象经过（0，1），可得Asin＝1，∴A＝2，f(x)＝2sin(2x+)。
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，
得到函数y＝g（x）＝2sin(2x﹣)的图象。
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，
可得g(x)的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z。
结合x∈[0，π]，可得g（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，]、[，π]。
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin(ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，由特殊点的坐标求出A，函数y＝Asin(ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基中档。
26．（2021•全国卷模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，2S＝c2﹣（a﹣b）2．
（1）求cosC的值；
（2）已知c＝4，求△ABC面积的最大值．
【考点】正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分析法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由题意2S＝c2﹣（a﹣b）2＝c2﹣a2﹣b2+2ab，结合正弦定理、余弦定理，即可求解，（2）根据已知条件，运用余弦定理和均值不等式，可得ab≤20，再结合三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵2S＝c2﹣（a﹣b）2＝c2﹣a2﹣b2+2ab，
又由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC，即c2﹣a2﹣b2＝﹣2abcosC，
∵S＝，
∴2×＝﹣2abcosC+2ab，即sinC＝2﹣2cosC，
∴sin2C＝1﹣cos2C＝（2﹣2cosC）2，解得cosC＝或cosC＝1（舍去），
∴cosC＝．
（2）由余弦定理可得，
16＝a2+b2﹣2abcosC＝，
∴ab≤20，当且仅当时等号成立，
∵sin2C+cos2C＝1，cosC＝，
∴sinC＝，
，
∴△ABC面积的最大值为8．
【点评】本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了均值不等式，需要学生有较强的综合知识，属于中档题．

考点卡片
1．弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．

【命题方向】
已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（　　）
A．2 B． C．2sin1 D．sin2
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交 于D，
∠AOD＝∠BOD＝1，AC＝AB＝1，
Rt△AOC中，AO＝＝，
从而弧长为α•r＝，
故选B．
【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．

【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．

2．扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．

【命题方向】
扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，
则，解得α＝1或α＝4．
选C．
【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．

【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
3．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
【例题解析】
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于　　
解：，，，，
∴原式＝．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【考点点评】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
4．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．

【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
5．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
6．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
7．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
8．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是　π　．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cos2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
9．三角形的形状判断
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
10．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．

【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
11．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
12．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法 　
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
13．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的知识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤

两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
14．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
15．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
16．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．

2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．

3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
18．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
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日期：2021/8/26 16:52:12；用户：招远8；邮箱：zybzy8@xyh.com；学号：40292118