2022年高考数学一轮复习之集合

这是一份2022年高考数学一轮复习之集合，共26页。

2020年高考数学一轮复习之集合
一．选择题（共12小题）
1．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（　　）
A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}
2．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
3．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（　　）
A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R
4．（2020•东湖区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　）
A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2
5．（2020•滨州三模）设集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则（　　）
A．M⫋N B．N⫋M C．M∈N D．N∈M
6．（2020•茅箭区校级模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣21≤0}，则集合A中的元素个数为（　　）
A．11 B．8 C．10 D．7
7．（2021•石家庄模拟）已知集合A＝{0，a+b，}，B＝{0，1﹣b，1}，（a，b∈R），若A＝B，则a+2b＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
8．（2021•全国模拟）已知M，N是任意两个非空集合，定义集合M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，则（M∪N）﹣M＝（　　）
A．N B．N﹣M C．M﹣N D．M∩N
9．（2021•太原三模）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{﹣1} B．{0，1} C．{2，3} D．{﹣1，2，3}
10．（2021•4月份模拟）定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B的所有元素之和为（　　）
A．16 B．18 C．14 D．8
11．（2016•浙江二模）定义集合A⊗B＝{x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U＝{x|1＜x＜10}，集合A＝{x|2＜x＜6}，B＝{x|5＜x＜7}，则（∁UA）⊗B＝（　　）
A．[6，7） B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）
C．（1，6） D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）
12．（2020•平城区校级一模）已知集合M＝{x|x2﹣3x+2≤0}，N＝{x|y＝}，若M∩N＝M，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
二．填空题（共5小题）
13．（2021•上海）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝　 　．
14．（2021•天心区校级模拟）若集合M至少含有两个元素（实数），且M中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称M为“成功集合”，已知集合S＝{1，2，3，⋯，10}，则S的子集中共有 　 　个“成功集合”．
15．（2020•浦东新区三模）已知集合A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是　 　．
16．（2018•淮南一模）若A＝{x|ax2﹣ax+1≤0，x∈R}＝∅，则a的取值范围是　 　．
17．（2021•杨浦区校级三模）设正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中点Pi的坐标为（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4），集合A＝{y|存在i∈{1，2，3，4}，使得y＝yi}，则集合A的元素个数可能为 　 　种（写出所有可能的值）
三．解答题（共5小题）
18．（2019•聊城三模）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+3|，g（x）＝|a﹣1|﹣a|x|．
（1）求函数f（x）的值域M；
（2）若函数g（x）的值域为N，且M∩N≠∅，求实数a的取值范围．
19．（2021春•渭滨区期末）已知集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m＜x＜m+1}，U＝R．
（1）求A∪B，（∁UA）∩B；
（2）若C⊆B，求m的取值范围．
20．（2021春•昌吉州期末）已知集合A＝{x|x2﹣x＝0}，集合，集合C＝{x|x2+px+q＝0}，其中p，q∈R．
（1）写出集合A的所有子集；
（2）若C＝∁BA，求p，q的值．
21．（2020秋•和平区校级期中）设全集U＝R，集合，B＝{x|x≥1}，C＝{x|2a≤x≤a+3}．
（1）求∁UA和A∩B；
（2）若A∪C＝A，求实数a的取值范围．
22．（2021春•德州期末）已知集合A＝，B＝{x|2m＜x＜m+3}．
（1）当m＝0时，求（∁RA）∩B；
（2）请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题．
若x∈A是x∈B的______条件，试判断m是否存在，若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

2020年高考数学一轮复习之集合
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（　　）
A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】先利用补集的定义求出∁UB，再利用交集的定义求解即可．
【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以∁UB＝{1，5，6}，
故A∩∁UB＝{1，6}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集的求解，解题的关键是掌握交集和补集的定义，属于基础题．
2．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】直接利用交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜4}∩{2，3，4，5}＝{2，3}．
故选：B．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
3．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（　　）
A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；集合思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，
解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，
∁RA＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁RB＝{x|﹣1＜x＜2}；
则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
4．（2020•东湖区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　）
A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2
【考点】集合的确定性、互异性、无序性．菁优网版权所有
【专题】集合．
【分析】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可．
【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，
∴a2﹣a+2＝14，
∴A＝{2，4，14}；
若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，
a＝2时，1﹣a＝﹣1，
∴A＝{2，﹣1，4}；
a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），
故选：C．
【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题．
5．（2020•滨州三模）设集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则（　　）
A．M⫋N B．N⫋M C．M∈N D．N∈M
【考点】集合的表示法．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；集合；数学运算．
【分析】由分类讨论的数学思想方法得：①当n＝2m，m∈Z时，x＝4m+1，m∈Z，②当n＝2m+1，m∈Z时，x＝4m+3，m∈Z，由集合的包含关系得：M⫋N，得解．
【解答】解：①当n＝2m，m∈Z时，x＝4m+1，m∈Z，
②当n＝2m+1，m∈Z时，x＝4m+3，m∈Z，
综合①②得：
集合N＝{x|x＝4m+1或x＝4m+3，m∈Z}，
又集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，
即M⫋N，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的包含关系及分类讨论的数学思想方法，属简单题．
6．（2020•茅箭区校级模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣21≤0}，则集合A中的元素个数为（　　）
A．11 B．8 C．10 D．7
【考点】集合中元素个数的最值．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】可以求出集合A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，从而可得出集合A的元素个数．
【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣3≤x≤7}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，
∴集合A中的元素个数为：8．
故选：B．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，集合元素的定义，考查了计算能力，属于基础题．
7．（2021•石家庄模拟）已知集合A＝{0，a+b，}，B＝{0，1﹣b，1}，（a，b∈R），若A＝B，则a+2b＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【考点】集合的相等．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】由集合相等的概念列方程组，求出a，b后验证集合中元素的特性得答案．
【解答】解：∵A＝B，
①当时，解得a＝b＝，∴a+2b＝1，
②当时，解得，此时A＝{0，1，0}，与互异性矛盾，
综上，a+2b＝1．
故选：D．
【点评】本题考查集合相等的条件，考查了集合中元素的特性，是基础题．
8．（2021•全国模拟）已知M，N是任意两个非空集合，定义集合M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，则（M∪N）﹣M＝（　　）
A．N B．N﹣M C．M﹣N D．M∩N
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】定义集合M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，由此能求出（M∪N）﹣M．
【解答】解：∵M，N是任意两个非空集合，定义集合M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，
∴（M∪N）﹣M＝N﹣M．
故选：B．
【点评】本题考查集合的求法，考查并集、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（2021•太原三模）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{﹣1} B．{0，1} C．{2，3} D．{﹣1，2，3}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；作差法；集合；数学运算．
【分析】从集合A中去掉A与B的公共部分，即为阴影部分表示的集合．
【解答】解：由题意可得：
A∩B＝{0，1}，
∴阴影部分表示的集合为：{2，3}，
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，熟练掌握集合的意义及集合间的运算是解题关键．
10．（2021•4月份模拟）定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B的所有元素之和为（　　）
A．16 B．18 C．14 D．8
【考点】元素与集合关系的判断；子集与交集、并集运算的转换．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】由x∈A＝{1，2}，y∈B＝{1，2，3}，可得：z＝xy，进而得出结论．
【解答】解：由x∈A＝{1，2}，y∈B＝{1，2，3}，
可得：z＝xy＝1，2，3，4，6，
∴集合A*B＝{1，2，3，4，6}，
可得：所有元素之和＝1+2+3+4+6＝16，
故选：A．
【点评】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（2016•浙江二模）定义集合A⊗B＝{x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U＝{x|1＜x＜10}，集合A＝{x|2＜x＜6}，B＝{x|5＜x＜7}，则（∁UA）⊗B＝（　　）
A．[6，7） B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）
C．（1，6） D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）
【考点】子集与交集、并集运算的转换．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】可进行补集、交集的运算求出∁UA＝{x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，（∁UA）∩B＝{x|6≤x＜7}，从而便可根据A⊗B的定义进行⊗的运算即可．
【解答】解：∵∁UA＝{x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，B＝{x|5＜x＜7}，
∴（∁UA）∩B＝{x|6≤x＜7}；
∴（∁UA）⊗B＝{x|x∈∁UA或x∈B且x∉（∁UA）∩B}＝{x|1＜x≤2，或5＜x＜6，或7≤x＜10}＝（1，2]∪（5，6）∪[7，10）．
故选：B．
【点评】考查描述法表示集合，区间表示集合，以及补集、交集的运算，理解集合A⊗B的定义．
12．（2020•平城区校级一模）已知集合M＝{x|x2﹣3x+2≤0}，N＝{x|y＝}，若M∩N＝M，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
【考点】集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；集合．
【分析】解不等式简化集合A、B，由M∩N＝M，得M⊆N，得不等式a≤1，得答案．
【解答】解：∵x2﹣3x+2≤0，∴（x﹣1）（x﹣2）≤0，
∴1≤x≤2，∴M＝[1，2]，
∵x﹣a≥0，∴x≥a，∴N＝[a，+∞）
∵M∩N＝M，∴M⊆N，∴a≤1，
∴实数a的取值范围为：（﹣∞，1]．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•上海）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝　{﹣1，0}　．
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】直接根据交集的运算性质，求出A∩B即可．
【解答】解：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x}，B＝{﹣1，0，1}，
所以A∩B＝{﹣1，0}．
故答案为：{﹣1，0}．
【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．
14．（2021•天心区校级模拟）若集合M至少含有两个元素（实数），且M中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称M为“成功集合”，已知集合S＝{1，2，3，⋯，10}，则S的子集中共有 　49　个“成功集合”．
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】新定义；归纳猜想型；分类讨论；转化思想；分类法；转化法；集合；数学运算．
【分析】设集合{1，2，⋯，n}（n≥2）的子集中有an个成功集合，从而可得a2＝a3＝0，a4＝1，当n≥5时，可将满足要求的子集分为两类一类是含有n的子集和另一类是不含n的子集，从而得到递推公式，从而解得．
【解答】解：设集合{1，2，⋯，n}（n≥2）的子集中有an个成功集合，
则a2＝a3＝0，a4＝1．
对于n≥5时，可将满足要求的子集分为两类：
一类是含有n的子集，
再分为去掉n后剩下小于n﹣2的单元素子集与{1，2，⋯，n﹣3}满足要求的子集，
前者有n﹣3个，后者有an﹣3个；
另一类是不含n的子集，即{1，2，⋯，n﹣1}满足要求的子集，有an﹣1个．
于是，an＝（n﹣3）+an﹣3+an﹣1．
从而a5＝3，a6＝6，a7＝11，a8＝19，a9＝31，a10＝49．
故答案为：49．
【点评】本题考查了集合的性质，同时考查了学习与应用的能力，属于难题．
15．（2020•浦东新区三模）已知集合A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是　（0，1）　．
【考点】集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】解指数不等式求得集合B，再根据A∩B≠∅，求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|1＜2x＜2}＝{x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则有 0＜a＜1，
故实数a的取值范围是（0，1），
故答案为 （0，1）．
【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的包含关系，指数不等式的解法，属于基础题．
16．（2018•淮南一模）若A＝{x|ax2﹣ax+1≤0，x∈R}＝∅，则a的取值范围是　[0，4）　．
【考点】空集的定义、性质及运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】由A＝{x|ax2﹣ax+1≤0，x∈R}＝∅，得到a＝0或，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：∵A＝{x|ax2﹣ax+1≤0，x∈R}＝∅，
∴a＝0或，
解得0≤a＜4．
∴a的取值范围是[0，4）．
故答案为：[0，4）．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查空集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
17．（2021•杨浦区校级三模）设正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中点Pi的坐标为（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4），集合A＝{y|存在i∈{1，2，3，4}，使得y＝yi}，则集合A的元素个数可能为 　2、3或4　种（写出所有可能的值）
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；集合；直观想象．
【分析】正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中的纵坐标最多有四个不同的值，若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂直于y轴的平面内，故不可能，从而解得．
【解答】解：正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中的纵坐标最多有四个不同的值，
若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂直于y轴的平面内，
故不可能，
当正四面体P1P2P3P4的底面在坐标平面xoz内时，集合A中有2个元素，
改变正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系放置，可知集合A中也可能有3或4个元素，
故答案为：2、3或4．
【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
18．（2019•聊城三模）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+3|，g（x）＝|a﹣1|﹣a|x|．
（1）求函数f（x）的值域M；
（2）若函数g（x）的值域为N，且M∩N≠∅，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）当x≤﹣3时，f（x）＝﹣3x﹣2≥7．当时，．当时，．由此能求出f（x）的值域M．
（2）当a＝0时，g（x）＝1，N＝{1}，M∩N＝∅，从而a＝0不符合题意．当a＞0时，由|x|≥0，得函数g（x）的值域N＝（﹣∞，|a﹣1|]，由M∩N＝∅，则，得或，从而符合题意．当a＜0时，由|x|≥0，得函数g（x）的值域N＝[|a﹣1|，+∞），由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+3|，
∴函数f（x）可化简为，
可得当x≤﹣3时，f（x）＝﹣3x﹣2≥7．
当时，．
当时，．
故f（x）的值域．
（2）M＝[，+∞），
当a＝0时，g（x）＝1，N＝{1}，M∩N＝∅，所以a＝0不符合题意．
当a＞0时，因为|x|≥0，所以函数g（x）的值域N＝（﹣∞，|a﹣1|]，
若M∩N＝∅，则，解得或，从而符合题意．
当a＜0时，因为|x|≥0，所以函数g（x）的值域N＝[|a﹣1|，+∞），
此时一定满足M∩N≠∅，从而a＜0符合题意．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪[，+∞）．
【点评】本题考查函数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（2021春•渭滨区期末）已知集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m＜x＜m+1}，U＝R．
（1）求A∪B，（∁UA）∩B；
（2）若C⊆B，求m的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由补集、补集、交集的定义求解即可；
（2）利用集合子集的定理列式求解即可．
【解答】解：（1）因为集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，
所以∁UA＝{x|x＜2或x＞6}，
故A∪B＝{x|1＜x≤6}，
（∁UA）∩B＝{x|1＜x＜2}；
（2）因为C＝{x|m＜x＜m+1}，且C⊆B，
则，解得1≤m≤4，
所以m的取值范围为[1，4]．
【点评】本题考查了集合的运算以及集合之间关系的应用，解题的关键是掌握集合交集、补集以及并集的定义，掌握集合子集的定义，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
20．（2021春•昌吉州期末）已知集合A＝{x|x2﹣x＝0}，集合，集合C＝{x|x2+px+q＝0}，其中p，q∈R．
（1）写出集合A的所有子集；
（2）若C＝∁BA，求p，q的值．
【考点】子集与真子集．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】（1）解方程可得，集合A＝{0，1}，逐一写出A的子集即可．
（2）先求出集合B＝{﹣1，0，1，2}，然后可得∁BA＝{﹣1，2}，再根据根与系数的关系列出式子，求出p、q的值．
【解答】解：（1）∵x2﹣x＝0的解为x1＝0，x2＝1，∴A＝{0，1}，
∴集合A的所有子集为：∅，{0}，{1}，{0，1}．
（2）∵集合B＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，∴B＝{﹣1，0，1，2}，
又∵A＝{0，1}，∴∁BA＝{﹣1，2}，
∵C＝∁BA，∴x＝﹣1和x＝2是方程x2+px+q＝0两根，
∴﹣1+2＝﹣p，﹣1×2＝q，解得p＝﹣1，q＝﹣2．
【点评】本题主要考查子集的定义，补集的运算以及一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
21．（2020秋•和平区校级期中）设全集U＝R，集合，B＝{x|x≥1}，C＝{x|2a≤x≤a+3}．
（1）求∁UA和A∩B；
（2）若A∪C＝A，求实数a的取值范围．
【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）先根据条件求出集合A，再结合补集以及交集的定义即可求解；
（2）由A∪C＝A知C⊆A，再分别求对应的参数的范围即可．
【解答】解：（1）A＝{x|﹣2＜x＜3}，∁UA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，A∩B＝{x|1≤x＜3}；
（2）由A∪C＝A知C⊆A；
当2a＞a+3时，即a＞3时，C＝∅，满足条件；
当2a≤a+3时，即a≤3时，2a＞﹣2且a+3＜3，
∴﹣1＜a＜0，
综上，a＞3或﹣1＜a＜0．
【点评】本题考查的知识点是集合的基本运算以及包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．
22．（2021春•德州期末）已知集合A＝，B＝{x|2m＜x＜m+3}．
（1）当m＝0时，求（∁RA）∩B；
（2）请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题．
若x∈A是x∈B的______条件，试判断m是否存在，若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
【考点】交、并、补集的混合运算；充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】（1）当m＝0时，求出集合A，B，由此能求出∁RA∩B．
（2）若选条件①：x∈A是x∈B的充分不必要条件且2m＝2与m+3＝3不同时成立，由此能求出存在m，m∈[0，1]．
若选条件②：x∈A是x∈B的必要不充分条件，当2m≥m+3，即m≥3时，B＝∅，成立．当2m＜m+3，即m＜3时，，由此能求出结果．
【解答】解：（1）当m＝0时，B＝（0，3），
，等价于（x﹣2）（x﹣3）＜0，
∴A＝（2，3），∁RA＝（﹣∞，2]∪[3，+∞），
∴∁RA∩B＝（0，2]．
（2）若选条件①：
∵x∈A是x∈B的充分不必要条件且2m＝2与m+3＝3不同时成立，
解得0≤m≤1，
所以存在m，m∈[0，1]，
若选条件②：
∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，
当2m≥m+3，即m≥3时，B＝∅，成立．
当2m＜m+3，即m＜3时，，解得m不存在，
∴存在m≥3．
【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

考点卡片
1．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．

【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；
（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．
综上4k﹣2∉A．
点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝1，…（5分）
此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）
由，得，成立 …（12分）
故…（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．

【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
2．集合的确定性、互异性、无序性
【知识点的认识】
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
【解题方法点拨】
解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
【命题方向】
本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．
3．集合的表示法
【知识点的认识】
1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开． 　　
2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π} 　　
3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．
4．自然语言（不常用）．
【解题方法点拨】
在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．
【命题方向】
本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．
4．子集与真子集
【知识点的认识】
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．

2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}

3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．

【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．

【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
5．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．

【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
6．集合的相等
【知识点的认识】
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B．
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．

【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．

【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
7．集合中元素个数的最值
【知识点的认识】
【命题方向】
【解题方法点拨】
求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．
8．空集的定义、性质及运算
【知识点的认识】
1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集．
2、注意：
空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．
将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；
袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．
例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．
3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

【解题方法点拨】
解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B⇔B⊆A，实际上包含3种情况：
①B＝∅；
②B⊂A且B≠∅；
③B＝A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先
考虑空集．

【命题方向】
一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．
9．集合关系中的参数取值问题
【知识点的认识】
两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．

【解题方法点拨】
求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．

【命题方向】
集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．
10．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
11．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．

【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
12．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　
集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求补律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
13．子集与交集、并集运算的转换
【知识点的认识】
观察两个集合之间的关系如图

子集与交集、并集运算的转换的基本运算的一些结论：
A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A （CUA）∪A＝U，（CUA）∩A＝∅
若A∩B＝A，则A⊆B，反之也成立．
若A∪B＝B，则A⊆B，反之也成立．
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B．

【解题方法点拨】
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．

【命题方向】
考纲要求：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．明确子集与集合的并、交、补是集合间的基本运算．
14．Venn图表达集合的关系及运算
【知识点的认识】
用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．
运算公式：card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推广形式：
card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（A∩C）+card（A∩B∩C），
或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．

【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．

【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．
15．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
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日期：2021/8/26 15:46:54；用户：招远8；邮箱：zybzy8@xyh.com；学号：40292118