2022年高考数学一轮复习之导数及其应用

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2022年高考数学一轮复习之导数及其应用
一．选择题（共12小题）
1．（2021春•威宁县期末）设函数f（x）在R上可导，且f'（1）＝﹣2021，求＝（　　）
A．﹣1 B． C．﹣2021 D．0
2．（2021•郑州三模）已知奇函数f（x）在R上的导数为f′（x），且当x∈（﹣∞，0]时，f′（x）＜1，则不等式f（2x﹣1011）﹣f（x+1010）≥x﹣2021的解集为（　　）
A．（2021，+∞） B．[2021，+∞） C．（﹣∞，2021] D．（﹣∞，2021）
3．（2021•阆中市校级模拟）已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+2lnx，则f'（2）＝（　　）
A．6 B．7 C．﹣6 D．﹣7
4．（2020•南充模拟）设a∈R，函数f（x）＝ex+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（　　）
A．ln2 B．﹣ln2 C． D．
5．（2021•中卫三模）已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（﹣1，1），B（1，1），C（1，0），D（﹣1，0），其中A，B两点在曲线y＝x2上，如图所示．若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
6．（2021•长春模拟）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＞1（f'（x）为函数f（x）的导函数），则不等式（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x的解集为（　　）
A．（0，1） B．（0，1]
C．（0，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
7．（2021•道里区校级三模）已知函数f（x）＝x3+bx2+xc+d（b、c、d为常数），当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k＝0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）﹣k＝0有3个相异实根，现给出下列4个命题；
①函数f（x）有2个极值点；
②函数f（x）有3个极值点；
③f（x）＝4和f′（x）＝0有一个相同的实根；
④f（x）＝0和f′（x）＝0有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021•全国Ⅱ卷模拟）若函数f（x）＝﹣2x3+9x2﹣12x+m（x∈（，3））存在三个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（5，9） B．[4，5） C．（4，5） D．（1，3）
9．（2021•雅安三模）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）＝﹣2x2+m，g（x）＝﹣3lnx﹣x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（　　）
A．2 B．5 C．1 D．0
10．（2021•丙卷模拟）若过函数f（x）＝lnx﹣2x图象上一点的切线与直线y＝2x+1平行，则该切线方程为（　　）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2ln2+1＝0
C．2x﹣y﹣2ln2﹣1＝0 D．2x+y﹣2ln2﹣1＝0
11．（2021•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
12．（2021•乙卷）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
二．填空题（共5小题）
13．（2019•全国）若函数f（x）＝eax+ln（x+1），f'（0）＝4，则a＝　 　．
14．（2021•上城区校级模拟）若0为f（x）＝x4+（a﹣1）x3+ax2的极大值，则a的取值范围为 　 　．
15．（2021•5月份模拟）若函数f（x）＝aex﹣﹣1只有一个零点，则实数a的取值范围是 　 　．
16．（2021•铁西区校级模拟）设实数，若对于任意的x∈（2，+∞），不等式ax﹣lna＜ex﹣x+lnx恒成立，则实数a的取值范围是 　 　
17．（2021•宁江区校级三模）已知函数f（x）＝ex+e﹣x，则曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为　 　．
三．解答题（共5小题）
18．（2021•北京）已知函数f（x）＝．
（1）若a＝0，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值．
19．（2021•甲卷）设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
20．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
21．（2021•全国Ⅰ卷模拟）已知函数．
（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上有极值，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当﹣1＜a＜2时，过点P（0，﹣1）只有一条直线与f（x）的图象相切．
22．（2021•山东模拟）设函数f（x）＝2lnx﹣mx2+1．
（1）当f（x）有极值时，若存在x0，使得f（x0）＞m﹣1成立，求实数m的取值范围；
（2）当m＝1时，若在f（x）定义域内存在两实数x1，x2满足x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），证明：x1+x2＞2．

2022年高考数学一轮复习之导数及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021春•威宁县期末）设函数f（x）在R上可导，且f'（1）＝﹣2021，求＝（　　）
A．﹣1 B． C．﹣2021 D．0
【考点】变化的快慢与变化率；导数的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由极限的性质可得＝f′（1），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，＝×＝f′（1），
又由f'（1）＝﹣2021，则＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的运算性质，属于基础题．
2．（2021•郑州三模）已知奇函数f（x）在R上的导数为f′（x），且当x∈（﹣∞，0]时，f′（x）＜1，则不等式f（2x﹣1011）﹣f（x+1010）≥x﹣2021的解集为（　　）
A．（2021，+∞） B．[2021，+∞） C．（﹣∞，2021] D．（﹣∞，2021）
【考点】导数的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】可设g（x）＝f（x）﹣x，根据条件可得出g（x）是奇函数，g（x）是R上的减函数，而根据原不等式可得出g（2x﹣1011）≥g（x+1010），这样根据g（x）的单调性即可求出x的范围，即得出原不等式的解集．
【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣x，
∵f（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的奇函数，
∵当x∈（﹣∞，0]时，f′（x）＜1，即f′（x）﹣1＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且g（x）为奇函数，
∴g（x）在R上是减函数，
由原不等式得：f（2x﹣1011）﹣f（x+1010）≥（2x﹣1011）﹣（x+1010），
∴g（2x﹣1011）≥g（x+1010），
∴2x﹣1011≤x+1010，解得x≤2021，
∴原不等式的解集为：（﹣∞，2021]．
故选：C．
【点评】本题考查了奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性，根据导数符号判断函数单调性的方法，减函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．
3．（2021•阆中市校级模拟）已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+2lnx，则f'（2）＝（　　）
A．6 B．7 C．﹣6 D．﹣7
【考点】函数的值；导数的运算．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】先求出f'（x），将x＝1代入求出f'（1），再代入x＝2，求解即可．
【解答】解：因为f（x）＝x2f'（1）+2lnx，
所以，
故f'（1）＝2f'（1）+2，
所以f'（1）＝﹣2，
故f'（2）＝2×2×（﹣2）+1＝﹣7．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握复数的运算法则，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
4．（2020•南充模拟）设a∈R，函数f（x）＝ex+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（　　）
A．ln2 B．﹣ln2 C． D．
【考点】简单复合函数的导数．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．
【解答】解：对f（x）＝ex+a•e﹣x求导得
f′（x）＝ex﹣ae﹣x
又f′（x）是奇函数，故
f′（0）＝1﹣a＝0
解得a＝1，
故有f′（x）＝ex﹣e﹣x，
设切点为（x0，y0），
则，
得或（舍去），
得x0＝ln2．
故选：A．
【点评】熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x＝0，则一定过原点．
5．（2021•中卫三模）已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（﹣1，1），B（1，1），C（1，0），D（﹣1，0），其中A，B两点在曲线y＝x2上，如图所示．若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
【考点】定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．
【分析】首先求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式即可求得最终结果．
【解答】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：，
结合几何概型计算公式可得：骰子落在阴影部分的概率为 ．
故选：C．
【点评】本题考查定积分的几何意义，几何概型计算公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
6．（2021•长春模拟）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＞1（f'（x）为函数f（x）的导函数），则不等式（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x的解集为（　　）
A．（0，1） B．（0，1]
C．（0，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】构造函数g（x）＝xf（x）﹣x，求出函数的导数，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．
【解答】解：由（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x，
当x＜1时，可得（1﹣x）（1+x）f（1﹣x2）＞（1﹣x）f（1﹣x）+（1﹣x）x，
即（1﹣x2）f（1﹣x2）＞（1﹣x）f（1﹣x）+x﹣x2，
即（1﹣x2）f（1﹣x2）﹣（1﹣x2）＞（1﹣x）f（1﹣x）﹣（1﹣x），
构造函数g（x）＝xf（x）﹣x，g'（x）＝f（x）+xf'（x）﹣1＞0，
所以函数g（x）递增，则1﹣x2＞1﹣x，此时0＜x＜1，即0＜x＜1满足；
当x＞1时，可得（1﹣x2）f（1﹣x2）﹣（1﹣x2）＜（1﹣x）f（1﹣x）﹣（1﹣x），
由函数g（x）递增，则1﹣x2＜1﹣x，此时x＜0或x＞1，即x＞1满足；
当x＝1时，2f（0）＞f（0）+1，即f（0）＞1满足f（x）+x⋅f'（x）＞1．
综上，x∈（0，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
7．（2021•道里区校级三模）已知函数f（x）＝x3+bx2+xc+d（b、c、d为常数），当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k＝0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）﹣k＝0有3个相异实根，现给出下列4个命题；
①函数f（x）有2个极值点；
②函数f（x）有3个极值点；
③f（x）＝4和f′（x）＝0有一个相同的实根；
④f（x）＝0和f′（x）＝0有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】由已知中f（x）＝x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k＝0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k＝0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝x3+bx2+xc+d，∴f′（x）＝3x2+2bx+c
由题意，当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k＝0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）﹣k＝0有3个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，故①正确，②错误；
f（x）﹣4＝0与f'（x）＝0有一个相同的实根，即极大值点，故③正确；
f（x）＝0与f'（x）＝0有一个相同的实根，即极小值点，故④正确，
故正确命题的个数是3个
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件，判断出函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的图象和性质是解答本题的关键．
8．（2021•全国Ⅱ卷模拟）若函数f（x）＝﹣2x3+9x2﹣12x+m（x∈（，3））存在三个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（5，9） B．[4，5） C．（4，5） D．（1，3）
【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；转化思想；数形结合法；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；直观想象；数学运算．
【分析】当x∈（，3）时，由题可得方程2x3﹣9x2+12x＝m有三个解，令g（x）＝2x3﹣9x2+12，则g（x）图象与直线y＝m有三个交点，数形结合可得结果．
【解答】解：令f（x）＝﹣2x3+9x2﹣12x+m＝0，则2x3﹣9x2+12x＝m，
令g（x）＝2x3﹣9x2+12，则g′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x2﹣3x+2），
令g′（x）＝0，则x＝1或x＝2，
当或2＜x＜3时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时，g′（x）＜0，
所以函数g（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增，
又，
当x∈（，3）时，函数f（x）存在三个不同的零点，
所以当时，函数g（x）图象与直线y＝m有三个交点，
数形结合可得实数m的取值范围为（4，5）．
故选：C．

【点评】本题考查函数的零点，考查利用导数研究函数单调性和极值，考查转化思想，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于基础题．
9．（2021•雅安三模）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）＝﹣2x2+m，g（x）＝﹣3lnx﹣x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（　　）
A．2 B．5 C．1 D．0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】设f（x）与g（x）的公共点为（a，b）（a＞0），根据题意，可得f′（a）＝g′（a），求出两个函数的导数，得到关于a的方程，解得a值，代入g（x）的解析式可得公共点的坐标，再代入f（x）的解析式，可得m的值．
【解答】解：根据题意，设f（x）与g（x）的公共点为（a，b）（a＞0），
若两曲线y＝f（x）与y＝g（x）在公共点处的切线相同，
则两个函数在公共点处的切线斜率相同，则有f′（a）＝g′（a），
对于f（x）＝﹣2x2+m，有f′（x）＝﹣4x，则f′（a）＝﹣4a，
对于g（x）＝﹣3lnx﹣x，有g′（x）＝，则g′（a）＝，
所以﹣4a＝﹣﹣1，解得a＝1或﹣（舍），
所以b＝﹣3ln1﹣1＝﹣1，所以公共点为（1，﹣1），
因为点（1，﹣1）在f（x）＝﹣2x2+m上，
所以﹣1＝﹣2+m，所以m＝1．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，求出公共点的坐标是关键，是中档题．
10．（2021•丙卷模拟）若过函数f（x）＝lnx﹣2x图象上一点的切线与直线y＝2x+1平行，则该切线方程为（　　）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2ln2+1＝0
C．2x﹣y﹣2ln2﹣1＝0 D．2x+y﹣2ln2﹣1＝0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】求导函数，利用切线与直线y＝2x+1平行，求得切点坐标，即可求出过点P且与直线y＝2x+1平行的切线方程．
【解答】解：由题意，求导函数可得y′＝﹣2，
∵切线与直线y＝2x+1平行，
∴﹣2＝2，
∴x＝，
∴切点坐标为（，﹣2ln2﹣），
∴过点P且与直线y＝2x+1平行的切线方程为y+2ln2+＝2（x﹣），即2x﹣y﹣2ln2﹣1＝0．
故选：C．
【点评】本题考查切线方程的求法，考查导数的几何意义，正确求导是关键，是中档题．
11．（2021•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】分a＞0及a＜0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．
【解答】解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，
当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，

则0＜a＜b；
当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，

则b＜a＜0；
综上，ab＞a2．
故选：D．
【点评】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．
12．（2021•乙卷）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】构造函数f（x）＝2ln（1+x）﹣（﹣1），0＜x＜1，h（x）＝ln（1+2x）﹣（﹣1），利用导数和函数的单调性即可判断．
【解答】解：∵a＝2ln1.01＝ln1.0201，b＝ln1.02，
∴a＞b，
令f（x）＝2ln（1+x）﹣（﹣1），0＜x＜1，
令＝t，则1＜t＜
∴x＝，
∴g（t）＝2ln（）﹣t+1＝2ln（t2+3）﹣t+1﹣2ln4，
∴g′（t）＝﹣1＝＝﹣＞0，
∴g（t）在（1，）上单调递增，
∴g（t）＞g（1）＝2ln4﹣1+1﹣2ln4＝0，
∴f（x）＞0，
∴a＞c，
同理令h（x）＝ln（1+2x）﹣（﹣1），
再令＝t，则1＜t＜
∴x＝，
∴φ（t）＝ln（）﹣t+1＝ln（t2+1）﹣t+1﹣ln2，
∴φ′（t）＝﹣1＝＜0，
∴φ（t）在（1，）上单调递减，
∴φ（t）＜φ（1）＝ln2﹣1+1﹣ln2＝0，
∴h（x）＜0，
∴c＞b，
∴a＞c＞b．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．
二．填空题（共5小题）
13．（2019•全国）若函数f（x）＝eax+ln（x+1），f'（0）＝4，则a＝　3　．
【考点】导数的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】对f（x）求导，然后解方程f'（0）＝4，可得a的值．
【解答】解：由f（x）＝eax+ln（x+1），得f'（x）＝，
∵f'（0）＝4，∴f'（0）＝a+1＝4，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了导数的基本运算，属基础题．
14．（2021•上城区校级模拟）若0为f（x）＝x4+（a﹣1）x3+ax2的极大值，则a的取值范围为 　（﹣∞，0）　．
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；分析法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】对f（x）求导，根据已知条件，以及极限思维，即为求解．
【解答】解：f′（x）＝4x3+3（a﹣1）x2+2ax＝x[4x2+3（a﹣1）x+2a]
设M（x）＝4x2+3（a﹣1）x+2a，
∵0为f（x）＝x4+（a﹣1）x3+ax2的极大值，
∴当x→﹣0时，需M（0）＝2a＜0，才能满足f'（x）＞0，
当x→+0时，需M（0）＝2a＜0，才能满足f'（x）＜0，
综上所述，a＜0．
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，并0为函数的极大值点，可利用极限思维来解题，该题型灵活，需要学生很强的综合能力，属于难题．
15．（2021•5月份模拟）若函数f（x）＝aex﹣﹣1只有一个零点，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，0]∪{}　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】依题意，得aex+lnx＝lnx+x，令x+lnx＝t，得a＝，则直线y＝a与函数y＝的图象只有一个交点，利用导数可求得当t＝1时，y取得最大值为，当t→﹣∞时，y→﹣∞；当t→+∞时，y→0；从而可得实数a的取值范围．
【解答】解：由f（x）＝aex﹣﹣1＝0，得axex＝lnx+x，
所以aex+lnx＝lnx+x，
令x+lnx＝t，得a＝，即直线y＝a与函数y＝的图象只有一个交点．
因为y′＝，
当t＜1时，y′＞0，y＝单调递增；
当t＞1时，y′＜0，y＝单调递减；
当t→﹣∞时，y→﹣∞；
当t→+∞时，y→0；
所以，当t＝1时，y取得最大值为，
因为函数f（x）＝aex﹣﹣1只有一个零点，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪{}．
故答案为：（﹣∞，0]∪{}．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查分类讨论思想与等价转化思想，考查逻辑推理能力及数学运算能力，属于中档题．
16．（2021•铁西区校级模拟）设实数，若对于任意的x∈（2，+∞），不等式ax﹣lna＜ex﹣x+lnx恒成立，则实数a的取值范围是 　　
【考点】利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】依题意，eln（ax）﹣ln（ax）＜ex﹣x对任意x∈（2，+∞）恒成立，设f（x）＝ex﹣x，可知f（x）在（2，+∞）上单调递增，由此可得在（2，+∞）上恒成立，设，求出函数g（x）的最小值即可得解．
【解答】解：由题意可知，ax﹣ln（ax）＜ex﹣x，即eln（ax）﹣ln（ax）＜ex﹣x对任意x∈（2，+∞）恒成立，
设f（x）＝ex﹣x，则f（ln（ax））＜f（x）在（2，+∞）上恒成立，
而f′（x）＝ex﹣1＞0在（2，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴ln（ax）＜x，即在（2，+∞）上恒成立，
设，则，
∴g（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（2）＝，则，
又，
∴实数a的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查转化与化归思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题．
17．（2021•宁江区校级三模）已知函数f（x）＝ex+e﹣x，则曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为　y＝﹣x+4　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，由直线的斜截式方程可得切线的方程．
【解答】解：函数f（x）＝ex+e﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣e﹣x，
可得曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率为k＝﹣＝﹣，
切点为（0，4），
则切线的方程为y＝﹣x+4．
故答案为：y＝﹣x+4．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
18．（2021•北京）已知函数f（x）＝．
（1）若a＝0，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）求得a＝0时，f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得f（x）的导数，由题意可得f′（﹣1）＝0，解得a，进而得到f（x）和导数，令导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到所求最值．
【解答】解：（1）f（x）＝的导数为f′（x）＝＝，
可得y＝f（x）在（1，1）处的切线的斜率为﹣4，
则y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝﹣4（x﹣1），
即为y＝﹣4x+5；
（2）f（x）＝的导数为f′（x）＝，
由题意可得f′（﹣1）＝0，即＝0，解得a＝4，
可得f（x）＝，
f′（x）＝，
当x＞4或x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣1＜x＜4时，f′（x）＜0，f（x）递减．
函数y＝f（x）的图象如右图，当x→﹣∞，y→0；x→+∞，y→0，
则f（x）在x＝﹣1处取得极大值1，且为最大值1；在x＝4处取得极小值﹣，且为最小值﹣．
所以f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（4，+∞），减区间为（﹣1，4）；
f（x）的最大值为1，最小值为﹣．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（2021•甲卷）设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
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【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）对f（x）求导得f′（x）＝，分析f′（x）的正负，即可得出f（x）的单调区间．
（2）由（1）可知，f（x）min＝f（），由y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，得3+3lna＞0，即可解出a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝2a2x+a﹣＝＝，x＞0，
因为a＞0，
所以﹣＜0＜，
所以在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上所述，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上f（x）单调递增．
（2）由（1）可知，f（x）min＝f（）＝a2×（）2+a×﹣3ln+1＝3+3lna，
因为y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，
所以3+3lna＞0，
所以a＞，
所以a的取值范围为（，+∞）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
20．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学抽象．
【分析】（1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；
（2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不合题意；当a＞0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a的取值范围．
【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且f′（x）＝ex﹣a．
（1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝0．
∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不合题意；
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，
当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）的极小值也是最小值为f（lna）＝a﹣a（lna+2）＝﹣a（1+lna）．
又当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞．
∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可，
则1+lna＞0，可得a＞．
综上，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题．
21．（2021•全国Ⅰ卷模拟）已知函数．
（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上有极值，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当﹣1＜a＜2时，过点P（0，﹣1）只有一条直线与f（x）的图象相切．
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【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】（Ⅰ）求导，令f'（x）＝0，解得x1，x2，由f（x）在（2，+∞）上有极值，则＞2，解得a，即可得出答案．
（Ⅱ）设过点P（0，﹣1）的直线与f（x）的图象切于点，由导数的几何意义可得k＝f′（t），推出 只有1个实根，设，求导分析g（t）的单调性，g（t）的零点，即可得出答案．
【解答】解：（I）由题意得，f'（x）＝﹣4x2+2（a+1）x﹣a＝﹣（2x﹣1）（2x﹣a），
由f′（x）＝0，得x1＝，x2＝，
因为f（x）在（2，+∞）上有极值，
所以＞2，解得a＞4，
即a的取值范围是（4，+∞）．
（ II）证明：设过点P（0，﹣1）的直线与f（x）的图象切于点，
则切线斜率 ，
即，
因为过点P（0，﹣1）只有一条直线与f（x）的图象相切，
所以关于t的方程只有1个实根，
设，则g'（t）＝8t2﹣2（a+1）t
由g'（t）＝0得，，
所以g（t）在（﹣∞，0），上单调递增，在上单调递减，
因为g（0）＝1＞0，g（）＝（）3﹣（a+1）（）2+1＝﹣（a+1）3+1，
因为﹣1＜a＜2，
所以﹣（a+1）3+1＞0，即g（）＞0，
所以t＞0时，g（t）＞0，g（﹣1）＝﹣﹣（a+1）+1＝﹣﹣q＜﹣＜0，
且g（t）在（﹣∞，0）上单调递增
所以方程g（t）＝0在（﹣∞，0）上有唯一的实数根t0∈（﹣1，0）
即当﹣1＜a＜2时，过点P（0，﹣1）只有一条直线与f（x）的图象相切．
【点评】本题考查导数综合应用，参数的取值范围，解题中需要理清思路，属于中档题．
22．（2021•山东模拟）设函数f（x）＝2lnx﹣mx2+1．
（1）当f（x）有极值时，若存在x0，使得f（x0）＞m﹣1成立，求实数m的取值范围；
（2）当m＝1时，若在f（x）定义域内存在两实数x1，x2满足x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），证明：x1+x2＞2．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）代入m的值，求出F（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）的解析式，求出f（x2）＜f（2﹣x1），根据函数的单调性证明结论成立即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝﹣2mx＝（﹣mx2+1），
当m≤0时，f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）上递增，不合题意，
当m＞0时，令﹣mx2+1＝0，解得：x＝，
故x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
故f（x）max＝f（）＝﹣lnm，
若存在x0，使得f（x0）＞m﹣1成立，
则m﹣1＜f（x）max＝f（）＝﹣lnm，
即m﹣1＜﹣lnm，即m+lnm﹣1＜0，
令h（m）＝m+lnm﹣1，则h′（m）＝1+＝＞0，
∴h（m）在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）＝1+ln1﹣1＝0，∴0＜m＜1，
即实数m的取值范围是（0，1）；
（2）证明：当m＝1时，f（x）＝2lnx﹣x2+1，则f′（x）＝﹣2x＝，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴由x1＜x2且f（x1）＝f（x2）知0＜x1＜1＜x2，
令F（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝2lnx﹣x2+1﹣[2ln（2﹣x）﹣（2﹣x）2+1]
＝2lnx﹣2ln（2﹣x）﹣4x+4，x∈（0，1），
则F′（x）＝＞0，
∴F（x）在（0，1）递增，∴F（x）＜F（1）＝0，即f（x）＜f（2﹣x），
∴f（x1）＜f（2﹣x1），又f（x1）＝f（x2），∴f（x2）＜f（2﹣x1），
∵x1∈（0，1），∴2﹣x1∈（1，2），
又x2＞1且f（x）在（1，+∞）递减，
∴x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．

考点卡片
1．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
2．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
3．函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
4．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
5．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）＝

【典例例题分析】
典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（　　）
A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6
分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．
解：，
故选D．
点评：本题考查函数的平均变化率公式：．注意平均速度与瞬时速度的区别．

典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3t2的导函数值即可获得问题的解答．
解答：由题意可知：
（1）∵s＝8﹣3t2
∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．

（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为．
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，
∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．
点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．

【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：
①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．
③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：
f′（x0）＝或f′（x0）＝
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）＝；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
6．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′＝*（logae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．

题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．

【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
7．简单复合函数的导数
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′＝*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．

题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．

【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
8．定积分、微积分基本定理
【定积分】
　定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．

【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．

例1：定积分＝
解：
∫12|3﹣2x|dx
＝+
＝（3x﹣x2）|+（x2﹣3x）|
＝
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故＝＝．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
9．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
10．函数在某点取得极值的条件
【知识点的知识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
【典型例题分析】
例1：求函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数．
解：∵函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9
∴f'（x）＝15x4﹣15x2
令f'（x）＝0
则x＝﹣1，x＝0或x＝1
又∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0；
当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0；
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0
故函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数有2个．
这个例题中首先判断的是其是否连续，然后在求导函数为0的点有几个，即它的极值点有几个．
例2：已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x﹣x3的极大值点的坐标为（b，c），则ad等于　　．
解：已知实数a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，
∵y′＝3﹣3x2＝0，则x＝±1，
经检验，x＝1是极大值点．极大值为2．
∴b＝1，c＝2
由等比数列的性质可得：ad＝bc＝2．
这个有两个极值点，但要求的是极大值，这个时候我们可以联想到波峰，即在这个点的左边必须要大于0，要是单调递增的，右边必须小于0，既是单调递减的，这样这个点才处于波峰的位置，这个时候就是极大值，这里的验证其实就是做这个工作．
【考点动向】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
11．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
12．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
13．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
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日期：2021/8/26 16:42:32；用户：招远8；邮箱：zybzy8@xyh.com；学号：40292118