(山东版)2021年中考数学模拟练习卷15（含答案）

这是一份(山东版)2021年中考数学模拟练习卷15（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考数学模拟练习卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．计算﹣（+1）+|﹣1|，结果为（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．0
【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及加法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式=﹣1+1=0，
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
2．下列运算正确的是（　　）
A．3x2+4x2=7x4 B．2x3•3x3=6x3
C．a÷a﹣2=a3 D．（﹣ a2b）3=﹣a6b3
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=7x2，不符合题意；
B、原式=6x6，不符合题意；
C、原式=a•a2=a3，符合题意；
D、原式=﹣a6b3，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
3．如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若a+c=0，则b+d（　　）

A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定
【分析】由a+c=0可知a与c互为相反数，所以原点是AC的中点，利用b、d与原点的距离可知b+d与0的大小关系．
【解答】解：∵a+c=0，
∴a，c互为相反数，
∴原点O是AC的中点，
∴由图可知：点D到原点的距离大于点B到原点的距离，且点D、B分布在原点的两侧，
故b+d＜0，
故选：B．
【点评】本题考查数轴、相反数、有理数加法法则，属于中等题型．
　
4．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．
【解答】解：A、左视图是两个正方形，俯视图是三个正方形，不符合题意；
B、左视图与俯视图不同，不符合题意；
C、左视图与俯视图相同，符合题意；
D左视图与俯视图不同，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由几何体判断三视图，考查了空间想象能力，解答此题的关键是要明确：由几何体想象三视图的形状，应分别根据几何体的前面、上面和左侧面的形状想象主视图、俯视图和左视图．
　
5．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，则另一个根是（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【分析】设方程的另一个根为n，根据两根之和等于﹣，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为n，
则有﹣2+n=﹣5，
解得：n=﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
　
6．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1=∠CBA，
∵∠1=40°，
∴∠CBA=40°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠CBA=90°，
∴∠2=50°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
　
7．方程=1的解是（　　）
A．x=1 B．x=3 C．x=4 D．无解
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【解答】解：化为整式方程为：3﹣x﹣1=x﹣4，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解，
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根．
　
8．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（　　）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．
【解答】解：正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则半径之比为：2，
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，
则OC=，OA=OB=2，
在直角△AOC中，cos∠AOC==，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOB=60°，
则正多边形边数是： =6．
故选：B．

【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．
　
9．如图，函数y1=﹣2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x＞ax+3的解集即可．
【解答】解：∵函数y1=﹣2x过点A（m，2），
∴﹣2m=2，
解得：m=﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
　
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC==12，
∴sinA==，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
　
11．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）

A． B． C． D．
【分析】分三种情况进行讨论，当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，分别求得△ANM的面积，列出函数解析式，根据函数图象进行判断即可．
【解答】解：由题可得，BN=x，
当0≤x≤1时，M在BC边上，BM=3x，AN=3﹣x，则
S△ANM=AN•BM，
∴y=•（3﹣x）•3x=﹣x2+x，故C选项错误；
当1≤x≤2时，M点在CD边上，则
S△ANM=AN•BC，
∴y=（3﹣x）•3=﹣x+，故D选项错误；
当2≤x≤3时，M在AD边上，AM=9﹣3x，
∴S△ANM=AM•AN，
∴y=•（9﹣3x）•（3﹣x）=（x﹣3）2，故B选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．利用数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
　
12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a﹣b+c＜0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴﹣=2，c=0，
∴b=﹣4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②正确；
③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
　
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
13．（5.00分）分解因式：2m3﹣8m=　2m（m+2）（m﹣2）　．
【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】解：2m3﹣8m=2m（m2﹣4）
=2m（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
　
14．（5.00分）计算：﹣12﹣|﹣2|﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（）﹣2=　﹣　．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=﹣1﹣（2﹣）﹣1+（1﹣）×4
=﹣1﹣2+﹣1+4﹣2
=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
　
15．（5.00分）不等式组的解集是　4＜x≤5　．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x＞4，
∴不等式组的解集为4＜x≤5，
故答案为：4＜x≤5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
　
16．（5.00分）要使式子有意义，a的取值范围是　a≥﹣1且a≠2　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a+1≥0且a﹣2≠0，
解得a≥﹣1且a≠2．
故答案为：a≥﹣1且a≠2．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
　
17．（5.00分）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形周长为　12　．
【分析】根据直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，即可求得两条直角边的和，从而求得其周长．
【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得
（AC+BC﹣AB）=1，
AC+BC=7．
则三角形的周长=7+5=12．
【点评】熟记直角三角形的内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．
　
18．（5.00分）一个扇形的弧长是10πm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是　150°　．
【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．
【解答】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，
∴S=Rl，即60π=×R×10π，
解得：R=12，
∴S=60π=，
解得：n=150°，
故答案为：150°．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
　
19．（5.00分）已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=　1.5　cm．

【分析】先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB==5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB==5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD=AB=2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1=OB=4cm，
∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
故答案为1.5．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．
　
20．（5.00分）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足i2=﹣1（即x2=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，由于i4n=（i4）n=1n=1，i4n+1=i4n•i=1•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，那么，i9=　i　；i2018=　﹣1　．
【分析】利用幂的运算法则得到i9=（i4）2•i；i2018=（i4）504•i2，然后把i4=1，i2=﹣1代入计算即可．
【解答】解：i9=（i4）2•i=12•i=i；
i2018=（i4）504•i2=1•（﹣1）=﹣1．
故答案为i，﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了对新定义的理解能力．
　
三、解答题（本大题共6小题，满分74分）
21．（10.00分）先化简，再求值：﹣÷，其中a=．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：﹣÷
=
=
=
=，
当a=时，原式=．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
　
22．（12.00分）我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC=AB•DE．

【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到，等量代换得到，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BDE=∠ACE，
∴△ACE∽△BDE；

（2）∵△ACE∽△BDE，
∴，
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
∴，
∴BE•DC=AB•DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
　
24．（14.00分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为6，线段BC=2，求∠BAC的正弦值．

【分析】（1）连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）延长CO交圆O于F，连接BF，利用三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA⊥OC，
又∵AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）延长CO交圆O于F，连接BF．
∵∠BAC=∠BFC，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
　
25．（12.00分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长．

【分析】（1）只要证明四边形OCED是平行四边形，∠COD=90°即可；
（2）在Rt△ACE中，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵DE=OC，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE=CD．

（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=4，
∴在矩形OCED中，CE=OD==2，
∴在△ACE中，AE==2．
【点评】本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　
26．（14.00分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；
（3）是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先确定A（4，0），C（0，3），再利用对称性确定抛物线顶点坐标为（2，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接PA，如图，利用两点之间线段最短判断当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x+3，然后利用直线AC的解析式确定D点坐标，从而得到当PO+PC的值最小时，点P的坐标；
（3）讨论：当以AC为对角线时，易得点Q为抛物线的顶点，从而得到此时Q点和P点坐标；当AC为边时，当四边形AQPC为平行四边形，利用平行四边形的性质和点平移的规律先确定Q点的横坐标为6，则利用抛物线解析式可求出此时Q（6，﹣9），然后利用点平移的规律确定对应的P点坐标；当四边形APQC为平行四边形，利用同样的方法求解．
【解答】解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴A（4，0），C（0，3），
∵抛物线经过O、A两点，
∴抛物线的顶点的横坐标为2，
∵顶点在BC边上，
∴抛物线顶点坐标为（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
把（0，0）坐标代入可得0=a（0﹣2）2+3，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3，
即y=x2+3x；
（2）连接PA，如图，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PO，
∴PO+PC=PA+PC．
当点P与点D重合时，PA+PC=AC；
当点P不与点D重合时，PA+PC＞AC；
∴当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，解得
∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，
当x=2时，y=﹣x+3=，则D（2，），
∴当PO+PC的值最小时，点P的坐标为（2，）；
（3）存在．
当以AC为对角线时，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q（2，3），则P（2，0）；
当AC为边时，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P，则点A向右平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为6，当x=6时，y=x2+3x=﹣9，此时Q（6，﹣9），则点A（4，0）向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点Q，所以点C（0，3）向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P，则P（2，﹣6）；
当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P，则点C向左平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为﹣2，当x=﹣2时，y=x2+3x=﹣9，此时Q（﹣2，﹣9），则点C（0，3）向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点Q，所以点A（4，0）向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P，则P（2，﹣12）；
综上所述，P（2，0），Q（2，3）或P（2，﹣6），Q（6，﹣9）或P（2，﹣12），Q（﹣2，﹣9）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会利用分类讨论的思想解决数学问题．