(青海版)2021年中考数学模拟练习卷01（含答案）

这是一份(青海版)2021年中考数学模拟练习卷01（含答案），共28页。试卷主要包含了因式分解，如图，在4×4的方格纸中等内容，欢迎下载使用。

中考数学模拟练习卷
一．填空题（共12小题，满分30分）
1．的相反数是　 　，倒数是　 　，绝对值是　 　．
2．因式分解：9x﹣x2=　 　．
3．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为　 　千克．
4．函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．
5．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2=　 　°．

6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为　 　．

7．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是　 　．
8．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=　 　．

9．如图，在扇形OAB中，∠O=60°，OA=4，四边形OECF是扇形OAB中最大的菱形，其中点E，C，F分别在OA，，OB上，则图中阴影部分的面积为　 　．

10．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB周长等于　 　．（结果保留根号及π）．

11．如图为两正方形ABCD、CEFG和矩形DFHI的位置图，其中D，A两点分别在CG、BI上，若AB=3，CE=5，则矩形DFHI的面积是　 　．

12．如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如图这样的等边△ABC连续经过2018次变换后，顶点C的坐标为　 　

　
二．选择题（共8小题，满分24分）
13．下列运算结果正确的是（　　）
A．a3+a4=a7 B．a4÷a3=a C．a3•a2=2a3 D．（a3）3=a6
14．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（　　）
A． B． C． D．
15．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
16．若不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
17．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80
C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
18．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）
A．18分，17分 B．20分，17分
C．20分，19分 D．20分，20分
19．如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
20．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”（包括顶点）有n（n＞1）个点．当n=2018时，这个图形总的点数S为（　　）

A．8064 B．8067 C．8068 D．8072
　
三．解答题（共3小题，满分18分）
21．（5分）计算：﹣|﹣2|+（）﹣1﹣2cos45°
22．（6分）先化简再求值：÷（﹣1），其中x=．
23．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC．
（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．

　
四．解答题（共3小题，满分26分）
24．（8分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）

25．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．

26．（9分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学 “我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：[来源:
（1）该班共有　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为　 　；
（4）学校将举办体育节，该班将推选5位同学参加乒乓球活动，有3位男同学（A，B，C）和2位女同学（D，E），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．

　

五．解答题（共2小题，满分10分）
27．（10分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

28．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．







参考答案与试题解析

一．填空题
1．的相反数是　　，倒数是　﹣　，绝对值是　　．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫作互为相反数，互为倒数的两个数的乘积是1，以及绝对值的性质填空．
【解答】解：﹣的相反数是，倒数是﹣，绝对值是．
故答案为：；﹣；．
【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，倒数的定义以及绝对值的性质．
2．因式分解：9x﹣x2=　x（9﹣x）　．
【分析】首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．
【解答】解：9x﹣x2=x（9﹣x）．
故答案为：x（9﹣x）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
3．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为　2.1×10﹣5　千克．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 021=2.1×10﹣5．
故答案为：2.1×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．函数y=中，自变量x的取值范围是　x＞1　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2=　57　°．

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，根据平行线性质求出∠3，根据邻补角定义求出即可．
【解答】解：
∵将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，∠1=27°，
∴∠4=90°﹣30°﹣27°=33°，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠4=33°，
∴∠2=180°﹣90°﹣33°=57°，
故答案为：57°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，邻补角的定义的应用，解此题的关键是能求∠3的度数，难度适中．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为　4　．

【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【解答】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴OD==4．
故答案为4．
【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．
7．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是　2　．
【分析】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【解答】解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴当x＜﹣1时，y=max{x+3，﹣x+1}=﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y=max{x+3，﹣x+1}=x+3≥2．
∴函数y=max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，联立两函数解析式成方程组求出交点坐标是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=　30°　．

【分析】首先证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=30°即可解决问题．
【解答】解：由题意得：
AC=AC′，[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴∠ACC′=∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，
∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；
由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，
故答案为30°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC=AC′，∠BAC=∠ACC′=75°是解题关键．
9．如图，在扇形OAB中，∠O=60°，OA=4，四边形OECF是扇形OAB中最大的菱形，其中点E，C，F分别在OA，，OB上，则图中阴影部分的面积为　8π﹣8　．

【分析】连接EF、OC交于点H，根据正切的概念求出FH，根据菱形的面积公式求出菱形FOEC的面积，根据扇形面积公式求出扇形OAB的面积，计算即可．
【解答】解：连接EF、OC交于点H，
则OH=2，
∴FH=OH×tan30°=2，
∴菱形FOEC的面积=×4×4=8，
扇形OAB的面积==8π，
则阴影部分的面积为8π﹣8，
故答案为：8π﹣8．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算、菱形的性质，掌握扇形的面积公式、菱形的性质、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB周长等于　π+4　．（结果保留根号及π）．

【分析】根据已知条件分别求出扇形的半径和扇形的圆心角的度数代入扇形弧长公式求出弧长，然后加上两条半径即可得到本题答案．
【解答】解：由图形可知，∠AOB=90°，
∴，
∴，
弧AB的长是： =π
∴周长=弧AB的长+2OA=π+4
故答案为：π+4．
【点评】本题考查了勾股定理及弧长公式的应用．解题的关键是正确的求出扇形的圆心角及半径．
11．如图为两正方形ABCD、CEFG和矩形DFHI的位置图，其中D，A两点分别在CG、BI上，若AB=3，CE=5，则矩形DFHI的面积是　　．

【分析】先求得DG和FG的长，依据勾股定理可求得DF的长，然后再证明△DGF∽△DAI，依据相似三角形的性质可得到DI的长，最后依据矩形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵ABCD、CEFG均为正方形，
∴CD=AD=3，CG=CE=5，
∴DG=2．
在Rt△DGF中，依据勾股定理可得到DF=．
∵∠FDG+∠GDI=90°，∠GDI+∠IDA=90°，
∴∠FDG=∠IDA．
又∵∠DAI=∠DGF，
∴△DGF∽△DAI，
∴，即，解得：DI=．[来源:学科网]
∴矩形DFHI的面积是=DF•DI=×=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握定理是解题的关键．
12．如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如图这样的等边△ABC连续经过2018次变换后，顶点C的坐标为　（﹣2016， +1）　

【分析】根据轴对称判断出点C变换后在x轴下方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出坐标即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，
∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，
横坐标为2，
∴C（2， +1），
第2018次变换后的三角形在x轴上方，
点C的纵坐标为+1，
横坐标为2﹣2018×1=﹣2016，
所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2016， +1），
故答案为：（﹣2016， +1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2018次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．
　
二．选择题（共8小题，满分21分）
13．下列运算结果正确的是（　　）
A．a3+a4=a7 B．a4÷a3=a C．a3•a2=2a3 D．（a3）3=a6
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a3+a4≠a7，
∴选项A不符合题意；

∵a4÷a3=a，
∴选项B符合题意；

∵a3•a2=a5，
∴选项C不符合题意；

∵（a3）3=a9，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．
14．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故错误；
C、是中心对称图形．故正确；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
15．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；
③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；
【解答】解：①由x2+2x﹣8=0，得
（x+4）（x﹣2）=0，
解得x1=﹣4，x2=2，
∵x1≠2x2或x2≠2x1，
∴方程x2+2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1•x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=﹣1时，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1，
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，
∴x2=4x1，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．
16．若不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
【分析】求出两个不等式的解集，根据已知得出m≤2，即可得出选项．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞2，
不等式②的解集是x＜m，
又∵不等式组无解，
∴m≤2，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，关键是能根据已知得出关于m的不等式．
17．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80
C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
18．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）
A．18分，17分 B．20分，17分 C．20分，19分 D．20分，20分
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，
所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，
故选：D．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
19．如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【解答】解：分三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y=AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y=AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y=PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项D不正确；
故选：B．



【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．
20．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”（包括顶点）有n（n＞1）个点．当n=2018时，这个图形总的点数S为（　　）

A．8064 B．8067 C．8068 D．8072
【分析】图中的图形可看成是四边形，找到总的点数与边的点数之间的关系式即可．
【解答】解：第1个图形中，每条边上有2个点，共有4×2﹣4=4个点，
第2个图形中，每条边上3个点，共有4×3﹣4=8个点，
…
∴S=4n﹣4，
当n=2018时，这个图形总的点数S为8068．
故选：C．
【点评】考查图形的变化规律；根据所给图形判断出总的点数与边的点数之间的关系式是解决本题的关键．
　
三．解答题（共3小题，满分18分）
21．（5分）计算：﹣|﹣2|+（）﹣1﹣2cos45°
【分析】直接利用二次根式的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案．
【解答】解：原式=2﹣2+3﹣2×
=2+1﹣
=+1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．（6分）先化简再求值：÷（﹣1），其中x=．
【分析】根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=﹣（x﹣1）
=1﹣x，
当x=时，原式=．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
23．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC．
（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADC，即可解决问题；
（2）想办法证明四边相等即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，

（2）证明：∵∠BEC=∠ABE，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题
　
四．解答题（共3小题，满分26分）
24．（8分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）

【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE=BF=CH=10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC=BE﹣CE即可得出结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．

则DE=BF=CH=10m，
在Rt△ADF中，AF=AB﹣BF=70m，∠ADF=45°，
∴DF=AF=70m．
在Rt△CDE中，DE=10m，∠DCE=30°，
∴CE===10（m），
∴BC=BE﹣CE=（70﹣10）m．
答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
25．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．

【分析】（1）由圆周角定理可知：∠ADB=90°，由于∠DBC=∠BED，∠BED=∠A，所以∠DBC=∠A，从而可证明∠DBC+∠ABD=90°，所以BC是⊙O的切线；
（2）易证△ABC∽△BDC，所以BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，从而可求出BC的长度．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DBC=∠BED，∠BED=∠A，
∴∠DBC=∠A，
∵∠A+∠ABD=90°，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°，
∵OB⊙O是半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，
∴BC=
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，需要学生综合运用知识的能力．
26．（9分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）该班共有　50　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为　115.2°　；
（4）学校将举办体育节，该班将推选5位同学参加乒乓球活动，有3位男同学（A，B，C）和2位女同学（D，E），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．

【分析】（1）由篮球项目的人数以及其所占的百分比即可求出该班的人数；
（2）分别求出足球、其他项目的人数即可补全条形统计图；
（3）由乒乓球项目的人数即可求出，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数
（4）利用列举法，根据概率公式即可求出恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率
【解答】解：（1）
由题意可知该班的总人数=15÷30%=50（名）
故答案为：50；
（2）足球项目所占的人数=50×18%=9（名），所以其它项目所占人数=50﹣15﹣9﹣16=10（名）
补全条形统计图如图所示：

（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×=115.2°，
故答案为：115.2°；
（4）画树状图如图．

由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，
所以P（恰好选出一男一女）==．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　
五．解答题（共2小题，满分10分）
27．（10分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．
【解答】（1）证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．

（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，[来源:Zxxk.Com]
∴△ABC∽△BGC，
∴=，
即=，
∴CG=，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=，
∴AF=AC﹣FC=5﹣=，
∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．

【分析】（1）根据已知列出方程组求解即可；
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，求出直线l的解析式，再分两种情况分别分析出G点坐标即可；
（3）根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，P为MN的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
解得a=1，b=﹣5，c=5；
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣5x+5，
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，

则，
∵MQ=，
∴NQ=2，B（，）；
∴，
解得，
∴，D（0，），
同理可求，，
∵S△BCD=S△BCG，
∴①DG∥BC（G在BC下方），，
∴=x2﹣5x+5，
解得，，x2=3，
∵x＞，
∴x=3，
∴G（3，﹣1）．
②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，
∴=，
∴=x2﹣5x+5，
解得，，[来源:学科网]
∵x＞，
∴x=，
∴G（，），
综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（，）．
（3）由题意可知：k+m=1，
∴m=1﹣k，
∴yl=kx+1﹣k，
∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5，
解得，x1=1，x2=k+4，
∴B（k+4，k2+3k+1），
设AB中点为O′，
∵P点有且只有一个，
∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，
∴O′P⊥x轴，
∴P为MN的中点，
∴P（，0），
∵△AMP∽△PNB，
∴，
∴AM•BN=PN•PM，
∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣）（），
∵k＞0，
∴k==﹣1+．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键．