专题43抛物线-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型学案

专题43抛物线--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

知识点一   抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

知识点二   抛物线的标准方程与几何性质

知识点三   与焦点弦有关的常用结论

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．

(3)＋为定值.

(4)以AB为直径的圆与准线相切．

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

【知识必备】

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；

(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；

(3)＋＝；

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．

四、高频考点+重点题型

考点一.双曲线的定义及其应用 

1.（2020·新课标Ⅰ）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

2.(2017· 全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________．

3.若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)

A.　　　  B．1         C.  D．2

4.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

5.抛物线y2＝8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为______．

6.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为__________．

7．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.

8.如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则△ABF的周长的取值范围是________．

考点二.抛物线的标准方程及其几何性质

1.（2020·新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（    ）

A. （，0） B. （，0） C. （1，0） D. （2，0）

2.【2019·全国Ⅱ卷】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2            B．3           

C．4              D．8

3.(2021·衡水中学调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝4x      B．y2＝36x      C．y2＝4x或y2＝36x      D．y2＝8x或y2＝32x

4.如图所示,过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A,B,C,若|BC|＝2|BF|,且|AF|＝4,则拋物线的方程为(　　)

A．y2＝8x　　　　　　　B．y2＝4x         C．x2＝2x       D．y2＝x

5.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)

A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

6.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)

A．y2＝9x　　　　　　 B．y2＝6x

C．y2＝3x D．y2＝x

7.已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．

考点三、焦点弦探究

1.（2020·山东卷）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

2．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果•12，那么抛物线C的方程为（　　）

A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x

3．已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝（　　）

A． B． C． D．

4．（2020•青岛模拟）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则的值为（　　）

A．3 B．2 C． D．

5．已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l与C交于 A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（　　）

A． B． C．1 D．2

6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）

A．16 B．20 C．24 D．32

考点四、非焦点弦探究

1.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；

②若＝3，求|AB|.

2.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM＝∠ABN.

考点五.抛物线中的范围与最值问题

1.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

2.（2020·广东省珠海模拟）已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为(　　)

A.12   B.24   C.16   D.32

3.已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求FA·FB的取值范围．

4．（2021春•孝南区校级月考）已知曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，直线l：y＝kx+2与曲线M交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为　　．

考点六   直线与抛物线的位置关系

1.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

                                   达标测试

一、单项选择题

1．(2021·山东菏泽模拟)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

2． 抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（     ）

A．    B．    C．   D．

3． 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（    ）

A．    B．    C．   D．

4．（2021·模拟）已知F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则＝(　　)

A．16  B．4  C.  D.

5． 圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2＝2x的准线和双曲线－＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是（     ）

A．    B．    C．或   D．

6．直线4kx－4y－k＝0与拋物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于（     ）

A．    B．    C．   D．

二、多项选择题

7．已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（     ）

A. 准线l的方程为 B. 矩形MQPF为正方形
C. 点M的坐标为 D. 点M到原点O的距离为

8．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有

A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线为
C.  D. 点P到抛物线的焦点的距离为4

三、填空题

9． 直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为________．

10．（2021·山东省滨州模拟）已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．

11．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．

12．已知拋物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过拋物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为________．

四、解答题

13．抛物线的焦点F是圆x2＋y2－4x＝0的圆心．

(1) 求该抛物线的标准方程；

(2) 直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l与抛物线、圆依次交于A、B、C、D，

求|AB|＋|CD|．

14．（2021·广东省韶关模拟）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．