2022届高考一轮复习第四章导数专练_构造函数证明不等式（Word含答案解析）

第四章导数专练_构造函数证明不等式1

1．已知函数．

（1）求函数的最小值；

（2）当时，证明：．

解：（1），

令，解得，令，解得，

函数在单调递减，在单调递增，

的最小值为；

（2）证明：要证，即证，即证，

，

，

只需证明对任意恒成立，

设，则，

设，则，

在为增函数，

又，

存在，使得，

由，得，即，即，

且当时，，单减，当，时，，单增，

，

令，则，

在上单增，故，

，即．

综上，当时，．

2．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：．

解：（1）的定义域是，

，

对于，

①△即时，

在恒成立，故在递减，

②△时，时，令，

解得：（舍，，

故时，，，时，，

故在递增，在，递减，

时，令，

解得：，，

故时，，，时，，

，时，，

故在递减，在，递增，在，递减；

综上：时，在递减，

时，在递增，在，递减，

时，在递减，在，递增，在，递减．

（2）证明：要证，即证，

设，则，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，故（1），故，

故，

问题转化为证明：，

即证明在恒成立，

令，则，

显然，令，，

由，则，

故在递增，，

故，在递增，故，

故原命题成立．

3．已知函数．

（1）求函数极值；

（2）证明：．

解：（1）的定义域为，．

若，则当时，，故在上单调递增，无极值，

若，则当时，，在，，上单调递增；

当，时，，在，上单调递减，

有极大值为，无极小值，

综上，当时，无极值，

当时，有极大值为，无极小值．

（2）证明：令，则，

由，故存在，使得，

即，

所以，当时，；当，时，．

故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，

故函数

，

因为，所以，

故，

即．

4．已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，证明：当，时，．

解：（Ⅰ），（1分）

当时，在上恒成立，

在上是递增的，（2分）

当时，令，则，令，则，

在上递减，在上递增，（4分）

综上所述，当时，是上的增函数．

当时，在是减函数，在上是增函数．（5分）

（Ⅱ）证明：，

令，，（6分）

由（Ⅰ）知．①当时，在上递增，又，

，，时，，

则在上递减，在上递增，

，（7分）

②当时，，

由（1）知在上递增．又，

则在上递减，在上递增，

，（9分）

③当时．由（1）知

在上递减．在上递增，

且，，

时，，时，，

在上递减，在上递增，

则，（11分）

综上所述，在，上函数恒成立．

若，当，时，恒成立．（12分）

5．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）证明：．

解：的定义域是，

，

当时，，函数在，上单调递增；

当时，，函数在，上单调递减，

综上，函数的增区间为，，减区间为，；

（2）证明：由于，要证明，即证明，

令，

则，令，则恒成立，

在单调递增，即在单调递增，又（1），即（1），

在上单调递减，在上单调递增，

（1）成立，

所以原结论成立．

6．已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）对任意，求证：．

解：（Ⅰ）的定义域是，，

当时，恒成立，故在上单调递增，

当时，令，解得：，

令，解得：，

故在，上单调递减，在，上单调递增；

综上：当时，在上单调递增，

当时，在，上单调递减，在，上单调递增；

（Ⅱ）证明：要证，即证，

即证，又，故，即证，

令，则，

令，则，

而在递增，且（1），（2），

故存在唯一的实数，使得，

故在上单调递减，在，上单调递增，

，（2），

故大昂时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故（2），

综上：，即．

7．（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）已知，求的根的个数；

（Ⅲ）求证：若，则．

解：（Ⅰ）证明：，，，

要证即，

即证，即证，显然成立；

（Ⅱ）显然，令，即，解得：，

问题转化为和的交点个数问题，

由，当时，，递减，

当时，，递增，故，

故当时，有1个根，时，有2个根；

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知当时，，

要证原命题成立，只需证，

问题转化为只需证明在上恒成立，

令，则，，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

又，在递减，则，而（2），

故存在，使得，即，

故在递减，在，递增，

故，

又，，在恒成立，

故原命题成立．

8．已知函数．

（1）若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；

（2）若，证明：．

解：（1），

若在区间上单调递增，

则在上恒成立，即在上恒成立，

令函数．则，

故在上单调递减，故（1），从而，

故的取值范围是，；

（2）证明：当，欲证，即证明：，

令，则，设，

则为增函数，且（1），，

故存在，，使得，由于，则，

故时，，，时，，

故在单调递减，在，单调递增，

故，由于，即，故，

故，

，，从而．