2022届高考一轮复习第四章导数专练_恒成立问题（Word含答案）

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（Ⅰ）若曲线在处的切线过点，求的值；
（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ），（a），
曲线在处的切线方程为，
又，，
；
（Ⅱ）设，则，
令，解得或，
①当时，令解得，令解得，
在单调递增，在单调递减，
，
设（a），令（a），解得，
（a）在上单减，在上递增，
，
，
当时，恒成立；
②当时，，
当时，并非恒成立．
综上，实数的取值范围为．
2．设函数，，已知（1），且曲线在点，（e）处的切线与直线垂直．
（1）求，的值；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围．
解：（1），，
，则（e），
又曲线在点，（e）处的切线与直线垂直，
（e），
又（1），即，
，解得，
实数，的值分别为；
（2）由（1）知，，
在单调递增，且，
存在，使得，且当时，，在上单调递减，当时，，在，上单调递增，
由可得，故，
，且在上单调递减，
，
又当时，，
，
，则，
当时，，
，解得或，
实数的取值范围为．
3．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上恒成立，求的最小值．
解：（1）由题意得，，，
由，得，函数在上单调递增；
由，得，函数在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，上单调递减，
，
又在上恒成立，
，即，
令，则，设，则，
，
函数在上单调递增，且，
存在唯一的，使得，且当时，；当，时，，
，解得．
，
的最小值为2．
4．已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求实数的最小值．
解：（Ⅰ）由，
得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
的增区间为，减区间为；
（Ⅱ）对于任意的，恒成立，
恒成立，即恒成立．
令，则，
令，则在上单调递增，
，（1），
存在，使得，
当时，，，单调递增，
当，时，，，单调递减，
由，可得，
．
又恒成立，，
故的最小值为1．
5．已知函数的图象在为自然对数的底数）处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的最大值．
解：（Ⅰ）由已知：，
由题意得：，
解得：，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
当时，恒成立，
即在恒成立，
设，，，
令，则，
在上单调递增，
又（3），（4），
存在唯一零点，设为，，
令，则，令，则，
故时，，，时，，
故在递减，在，递增，
，
，，，
，，
的最大值是3．
6．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若恒成立，求整数的最大值．
解：（Ⅰ）的定义域为，
，
（1）当时，，由，得，由，得，
的单调减区间为，单调增区间为；
（2）当时，，由，得或，由，得，
的单调减区间为，单调增区间为和，；
（3）当时，，在上恒成立，
的单调增区间为，无减区间；
（4）当时，，由，得或，由，得，
的单调减区间为，，单调增区间为和；
综上所述，当时，的单调减区间为，，单调增区间为和；
当时，的单调增区间为，无减区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为和，；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
（Ⅱ），
故，
设，则，
设，则恒成立，
在上单调递增，
（1），（2），
，使得，，
时，，从而，
时，，在上为减函数，
，时，，从而，
，时，在，上为增函数，
，把代入得：
，
令，，则为增函数，
（1）（2），（1），（2），
，，
整数的最大值为．
7．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若存在极值，且在上恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）根据题意可知，的定义域为，，
令，其对称轴为，
①当，即时，在上恒成立，
在上单调递增；
②当，即时，令，得△恒成立，，
在上，即在上单调递减，在，上，即在，上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，若有极值，则，在上恒成立等价于恒成立，
令，则，
令，则，
在上单调递减，
（1），
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，
（1），即，解得．
8．已知函数，．
（Ⅰ）时，求在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）证明：当时，在区间上恒成立．
解：（Ⅰ）时，，
，（1），（1），
故切线方程是：，即．
（Ⅱ），
，
①当时，在上恒成立，
在上单调递减，
②当时，由，得，
当时，，递减，
当，时，，递增，
综上：时，在上单调递减，
时，在递减，在，递增．
（Ⅲ）证明：当时，，
即在上恒成立，
令，，
则，，
由于，，则，
故在上单调递增，
而（1），则在上单调递增，
故（1），
故当时，在区间上恒成立．