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人教版新课标A必修11.2.2函数的表示法课前预习ppt课件
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这是一份人教版新课标A必修11.2.2函数的表示法课前预习ppt课件，共18页。
如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的④对应关系 ,那么称这样的函数为分段函数.
设A,B是非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
1.解析法可以表示任意的函数. ( ✕ )2.列表法表示y=f(x),y对应的那一行数字可能出现相同的情况. ( √ )3.分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.( ✕ )4.分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系,但它们是一个函数. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
5.任何一个函数都可以用列表法表示. ( ✕ )提示:如果函数的定义域是连续的数集,则该函数就不能用列表法表示.6.函数的图象一定是一条连续不断的曲线. ( ✕ )提示:f(x)= 的图象就不是连续不断的曲线.
1.已知函数f(x)的类型,求f(x)的解析式时,可用待定系数法:根据函数类型先设 出函数解析式,再利用条件列出方程(组),解方程(组)求出待定系数,最后代入函数 解析式即可.2.未知函数f(x)的类型,求f(x)的解析式时,要根据条件的特点选择不同的方法进行 求解,常见的方法有:换元法、配凑法、方程组法等.
(★★☆)(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x-25,求函数f(x)的解析式;(2)已知f = + ,求f(x);(3)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).解析 (1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-25,所以 解得 或 所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+ .
(2)解法一:(换元法)令t= = +1,则x= (t≠1),把x= 代入f = + ,得f(t)= + =(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1,∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).解法二:(配凑法)∵f = + = - = - +1,∴f(x)=x2-x+1.又∵ = +1≠1,∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x∈R,且x≠1).(3)(方程组法)∵f(x)+2f(-x)=x2+2x,①∴将x换成-x,得f(-x)+2f(x)=x2-2x,②∴①-2×②得3f(x)=x2-6x,
∴f(x)= x2-2x.
跟踪训练1(★★☆)已知f( +1)=x+2 ,求f(x).思路点拨思路1:利用换元法.思路2:利用配凑法.
解析 解法一:(换元法)令 +1=t(t≥1),则x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2 =t2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).解法二:(配凑法)∵x+2 =( +1)2-1,∴f( +1)=( +1)2-1.又∵ +1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
分段函数问题的解决方法是分段思考,即根据自变量所在定义域内的不同范 围,选择不同的解析式,利用此解析式解决问题,最后还要由自变量所在范围检验.
(★★☆)已知实数a≠0,函数f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为 - .解析 当a>0时,1-a<1,1+a>1,∴2·(1-a)+a=-1-a-2a,解得a=- (舍去);当a<0时,1-a>1,1+a<1,∴-1+a-2a=2+2a+a,解得a=- .
解析 当-1≤x≤1时, f(x)=x≥ ,得 ≤x≤1;当x>1或x<-1时, f(x)=1-x≥ ,得x<-1.故x的取值范围是(-∞,-1)∪ .
跟踪训练2(★★☆)已知f(x)= 若f(x)≥ ,求x的取值范围.思路点拨由x的范围选解析式 利用解析式即可得到x的取值范围.
画函数图象的一般方法:1.直接法当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征 描出图象的关键点,直接作出图象.2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,则可利用图象 变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(★★☆)作出下列函数的图象:(1)y= ;(2)y=x2-2|x|-1.
解析 (1)∵y= =2+ ,∴函数图象可由y= 的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图①. ①(2)解法一:由题得y= 先用描点法作出y=x2-2x-1的图象,再截取图象在[0,+∞)上的部分;同理,用描点法作出y=x2+2x-1的图象,再截取图象在(-∞,0)上的部
分.将两部分合并在一起,得到y=x2-2|x|-1的图象,如图②. ②解法二:先作出y=x2-2x-1的图象,保持其图象在y轴右侧的部分不变,并将y轴右侧的 图象沿y轴翻折,替代原y轴左侧的图象,即可得到y=x2-2|x|-1的图象,如图③中实线部 分所示.
③解题模板根据函数解析式的特点,选择已知图象的基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等),进而确定由已知函数得到未知函数的图象经过的变换,由变换得到要作的图象.
跟踪训练3(★★☆)函数f(x)=x2-4x+3(x≥0)的图象与直线y=m有两个交点,求实数m 的取值范围.思路点拨作出函数f(x)=x2-4x+3(x≥0)的图象 由图象确定m的取值范围.
如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的④对应关系 ,那么称这样的函数为分段函数.
设A,B是非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
1.解析法可以表示任意的函数. ( ✕ )2.列表法表示y=f(x),y对应的那一行数字可能出现相同的情况. ( √ )3.分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.( ✕ )4.分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系,但它们是一个函数. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
5.任何一个函数都可以用列表法表示. ( ✕ )提示:如果函数的定义域是连续的数集,则该函数就不能用列表法表示.6.函数的图象一定是一条连续不断的曲线. ( ✕ )提示:f(x)= 的图象就不是连续不断的曲线.
1.已知函数f(x)的类型,求f(x)的解析式时,可用待定系数法:根据函数类型先设 出函数解析式,再利用条件列出方程(组),解方程(组)求出待定系数,最后代入函数 解析式即可.2.未知函数f(x)的类型,求f(x)的解析式时,要根据条件的特点选择不同的方法进行 求解,常见的方法有:换元法、配凑法、方程组法等.
(★★☆)(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x-25,求函数f(x)的解析式;(2)已知f = + ,求f(x);(3)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).解析 (1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-25,所以 解得 或 所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+ .
(2)解法一:(换元法)令t= = +1,则x= (t≠1),把x= 代入f = + ,得f(t)= + =(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1,∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).解法二:(配凑法)∵f = + = - = - +1,∴f(x)=x2-x+1.又∵ = +1≠1,∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x∈R,且x≠1).(3)(方程组法)∵f(x)+2f(-x)=x2+2x,①∴将x换成-x,得f(-x)+2f(x)=x2-2x,②∴①-2×②得3f(x)=x2-6x,
∴f(x)= x2-2x.
跟踪训练1(★★☆)已知f( +1)=x+2 ,求f(x).思路点拨思路1:利用换元法.思路2:利用配凑法.
解析 解法一:(换元法)令 +1=t(t≥1),则x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2 =t2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).解法二:(配凑法)∵x+2 =( +1)2-1,∴f( +1)=( +1)2-1.又∵ +1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
分段函数问题的解决方法是分段思考,即根据自变量所在定义域内的不同范 围,选择不同的解析式,利用此解析式解决问题,最后还要由自变量所在范围检验.
(★★☆)已知实数a≠0,函数f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为 - .解析 当a>0时,1-a<1,1+a>1,∴2·(1-a)+a=-1-a-2a,解得a=- (舍去);当a<0时,1-a>1,1+a<1,∴-1+a-2a=2+2a+a,解得a=- .
解析 当-1≤x≤1时, f(x)=x≥ ,得 ≤x≤1;当x>1或x<-1时, f(x)=1-x≥ ,得x<-1.故x的取值范围是(-∞,-1)∪ .
跟踪训练2(★★☆)已知f(x)= 若f(x)≥ ,求x的取值范围.思路点拨由x的范围选解析式 利用解析式即可得到x的取值范围.
画函数图象的一般方法:1.直接法当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征 描出图象的关键点,直接作出图象.2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,则可利用图象 变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(★★☆)作出下列函数的图象:(1)y= ;(2)y=x2-2|x|-1.
解析 (1)∵y= =2+ ,∴函数图象可由y= 的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图①. ①(2)解法一:由题得y= 先用描点法作出y=x2-2x-1的图象,再截取图象在[0,+∞)上的部分;同理,用描点法作出y=x2+2x-1的图象,再截取图象在(-∞,0)上的部
分.将两部分合并在一起,得到y=x2-2|x|-1的图象,如图②. ②解法二:先作出y=x2-2x-1的图象,保持其图象在y轴右侧的部分不变,并将y轴右侧的 图象沿y轴翻折,替代原y轴左侧的图象,即可得到y=x2-2|x|-1的图象,如图③中实线部 分所示.
③解题模板根据函数解析式的特点,选择已知图象的基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等),进而确定由已知函数得到未知函数的图象经过的变换,由变换得到要作的图象.
跟踪训练3(★★☆)函数f(x)=x2-4x+3(x≥0)的图象与直线y=m有两个交点,求实数m 的取值范围.思路点拨作出函数f(x)=x2-4x+3(x≥0)的图象 由图象确定m的取值范围.
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