陕西省渭南市蒲城县2021-2022学年高三上学期期中数学【试卷+答案】（理科）

这是一份陕西省渭南市蒲城县2021-2022学年高三上学期期中数学【试卷+答案】（理科），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高三（上）期中数学试卷
（理科）（附教师版答案详细解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2＜4}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5分）命题“∀x∈R，x3+sinx≥0”的否定是（　　）
A．∃x∈R，x3+sinx≥0 B．∀x∈R，x3+sinx＜0
C．∃x∈R，x3+sinx＜0 D．∃x∈R，x3+sinx≤0
3．（5分）已知，则tan2α的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）若a，b∈R，则“a3＞b3”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）函数f（x）＝在[﹣，]上的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）
（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年
7．（5分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2，BC＝1，P是DC的中点，则＝（　　）
A． B． C．3 D．9
8．（5分）将函数的图像向右平移个单位长度，则平移后的图像中与y轴最近的对称中心的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（　　）
A．0 B．1 C． D．
10．（5分）魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（　　）
A． B． C．8 D．﹣8
11．（5分）已知2a+a＝log2b+b＝log3c+c，则下列关系不可能成立的是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＜b＝c D．c＜b＜a
12．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，f（﹣3）＝0．当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，其中f'（x）为f（x）的导函数，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣3，0）∪（3，+∞）
C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则f'（﹣π）＝　 　．
14．（5分）若非零向量，满足||＝3||＝|+2|，则与夹角的余弦值为　 　．
15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x都有f（x+4）＝﹣f（x），若函数f（x）的图像关于y轴对称，且f（﹣5）＝2，则f（2021）＝　 　．
16．（5分）某校开展数学活动，甲、乙两同学合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，如图，甲站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，乙站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知甲、乙两同学相距（BD）6米，甲的身高（AB）1.5米，乙的身高（CD）1.75米，则旗杆的高EF为 　 　米．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．
18．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，若2acosA＝ccosB+bcosC．
（1）求A；
（2）若a＝，△ABC的面积S＝，求b+c的值．
19．（12分）我国作为世界上主要的产茶国，在全球茶叶生产、消费和出口中都占据重要地位．某茶叶销售商通过上一年销售统计发现，某种品牌的茶叶每袋进价为40元，每袋茶叶的销售价格（52≤x≤57，x∈N）与日均销售量之间的函数关系如表：
销售价格（元/每袋）
57
56
55
54
53
52
日均销售量（袋）
69
72
75
78
81
84
（Ⅰ）求平均每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；
（Ⅱ）求平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；
（Ⅲ）当每袋茶叶的售价为多少元时，该茶叶销售商每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
20．（12分）已知函数f（x）＝lnx．
（Ⅰ）求函数F（x）＝f（x+1）﹣x的单调区间；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）ex﹣2x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞﹣x2﹣4．

2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2＜4}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】利用列举法表示A，再由交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x∈Z|x2＜4}＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}∩{0，1，2}＝{0，1}．
故选：B．
2．（5分）命题“∀x∈R，x3+sinx≥0”的否定是（　　）
A．∃x∈R，x3+sinx≥0 B．∀x∈R，x3+sinx＜0
C．∃x∈R，x3+sinx＜0 D．∃x∈R，x3+sinx≤0
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x3+sinx＜0，
故选：C．
3．（5分）已知，则tan2α的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用二倍角公式计算即可．
【解答】解：∵，
∴tan2α＝＝＝＝﹣．
故选：A．
4．（5分）若a，b∈R，则“a3＞b3”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由幂函数的单调性即可判断选项．
【解答】解：因为函数y＝x3为增函数，
∴由a＞b，可以推出a3＞b3，
由a3＞b3，可以推出a＞b，
故“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件．
故选：C．
5．（5分）函数f（x）＝在[﹣，]上的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，利用排除法分析：先分析函数的奇偶性，再分析在区间（0，）上，f（x）＞0，由排除法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝，有f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），
则[﹣，]上，f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，
又由在区间（0，）上，cosx＞0，2x＞0，2﹣x＞0，则f（x）＞0，排除D；
故选：C．
6．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）
（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年
【分析】将每年投入的资金表示为等比数列，求出投入的研发资金开始超过200万元的项，再转化成年份即可
【解答】解：设2018年全年投入研发资金为130，2018年后n年投入的研发资金为an，则数列{an}是以130×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，
∴an＝130×（1.12）n，令130×（1.12）n＞200，得n＞＝3.8，即当n≥4时，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
所以2022年会超过200万元．
故选：C．
7．（5分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2，BC＝1，P是DC的中点，则＝（　　）
A． B． C．3 D．9
【分析】将所求向量均用，表示后运算即可．
【解答】解：因为＝，
＝＝﹣，
所以||＝||＝||＝||＝，
故选：C．
8．（5分）将函数的图像向右平移个单位长度，则平移后的图像中与y轴最近的对称中心的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【分析】函数的图像向右平移个单位长度，得到y＝3sin[2（x﹣）+]＝3sin（2x﹣），再利用三角函数的图像的对称性，可得答案．
【解答】解：函数的图像向右平移个单位长度，
所得函数图像的解析式为y＝3sin[2（x﹣）+]＝3sin（2x﹣），
令2x﹣＝kπ（k∈Z），得x＝+，k∈Z．
令k＝0，则x＝，
即平移后的图像中与y轴最近的对称中心的坐标是（，0），
故选：A．
9．（5分）设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（　　）
A．0 B．1 C． D．
【分析】由题意可得f（）是函数的最小值，故2ω×+＝2kπ+π，k∈Z，由此可得ω的最小值．
【解答】解：∵函数，若对于任意的实数x，恒成立，
∴f（）是函数的最小值，故2ω×+＝2kπ+π，k∈Z，即ω＝3k+，
则令k＝0，可得ω的最小值为，
故选：D．
10．（5分）魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（　　）
A． B． C．8 D．﹣8
【分析】将π＝4sin52°代入中，结合三角恒等变换化简可得结果．
【解答】解：将π＝4sin52°代入中，
得＝＝＝＝＝﹣＝﹣，
故选：B．
11．（5分）已知2a+a＝log2b+b＝log3c+c，则下列关系不可能成立的是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＜b＝c D．c＜b＜a
【分析】问题转化为函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝﹣x+k的图像的交点问题，结合图像判断即可．
【解答】解：由题意设2a+a＝log2b+b＝log3c+c＝k，
则2a+a＝k，log2b+b＝k，log3c+c＝k，
则2a＝﹣a+k，log2b＝﹣b+k，log3c＝﹣c+k，
分别画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝﹣x+k的图像，
如图示：

k＜1时，a＜c＜b，
k＝1时，a＜b＝c，
k＞1时，a＜b＜c，
故c＜b＜a不可能，
故选：D．
12．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，f（﹣3）＝0．当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，其中f'（x）为f（x）的导函数，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣3，0）∪（3，+∞）
C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
【分析】令g（x）＝x2f（x），依题意，可得g（x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，由f（﹣3）＝0⇒g（﹣3）＝g（3）＝0，从而可得答案．
【解答】解：令g（x）＝x2f（x），
∵当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，
∴当x＞0时，g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[xf'（x）+2f（x）]＞0，
∴g（x）＝x2f（x）在（0，+∞）上单调递增； ①
又f（x）为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数，
∴g（x）＝x2f（x）为R上的奇函数； ②
由f（﹣3）＝f（3）＝0，知g（﹣3）＝g（3）＝0； ③
由①②③，得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣3，0）∪（3，+∞），
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则f'（﹣π）＝　π　．
【分析】求出原函数的导函数，再由诱导公式求三角函数值即可．
【解答】解：由f（x）＝xsinx+cosx，得f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，
∴f'（﹣π）＝﹣πcos（﹣π）＝﹣πcosπ＝﹣π×（﹣1）＝π．
故答案为：π．
14．（5分）若非零向量，满足||＝3||＝|+2|，则与夹角的余弦值为　﹣　．
【分析】利用条件化简可得 4＝﹣4，由此可得||•||＝||•||cos＜，＞，从而求得与夹角的余弦值．
【解答】解：由题意可得 ＝9，且 ＝+4+4，化简可得 4＝﹣4，
∴||•||＝﹣||•||cos＜，＞，∴cos＜，＞＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x都有f（x+4）＝﹣f（x），若函数f（x）的图像关于y轴对称，且f（﹣5）＝2，则f（2021）＝　2　．
【分析】先判断函数为偶函数，然后利用恒成立求出函数f（x）的周期为8，利用奇偶性以及周期性化简求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）的图像关于y轴对称，
所以f（x）为偶函数，
由f（x+4）＝﹣f（x），可得f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
所以函数f（x）的周期为8，
则f（2021）＝f（5+252×8）＝f（5）＝f（﹣5）＝2．
故答案为：2．
16．（5分）某校开展数学活动，甲、乙两同学合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，如图，甲站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，乙站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知甲、乙两同学相距（BD）6米，甲的身高（AB）1.5米，乙的身高（CD）1.75米，则旗杆的高EF为 　10.3　米．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【分析】过点A作AM⊥EF于M，过点N作CN⊥EF于N，设AM＝ME＝xm，依题意，在直角三角形ENC，由tan∠ECN＝＝＝，可求得x≈8.8，从而可得旗杆EF的长．
【解答】解：过点A作AM⊥EF于M，过点N作CN⊥EF于N，

∴MN＝0.25m，
∵∠EAM＝45°，
∴AM＝ME，
设AM＝ME＝xm，
则CN＝（x+6）m，EN＝（x﹣0.25）m，
∵∠ECN＝30°，
∴tan∠ECN＝＝＝，
解得x≈8.8，
则EF＝EM+MF≈8.8+1.5＝10.3m，
故答案为：10.3．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．
【分析】（Ⅰ）由降幂公式将函数进行化简，可求得最小正周期；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中解析式，代入正弦函数单调递减区间求解．
【解答】解：（1）由cos2x＝cos2x−sin2x，sin2x＝2sinxcosx得：
，
所以f（x）的最小正周期为π．
（2）由（1）知，
令，
解得．
所以f（x）的单调递减区间为[]（k∈Z）．
18．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，若2acosA＝ccosB+bcosC．
（1）求A；
（2）若a＝，△ABC的面积S＝，求b+c的值．
【分析】（1）根据正弦定理整理条件进行求解即可．
（2）根据余弦定理，结合三角形的面积公式进行化简计算即可．
【解答】解：（1）因为2acosA＝ccosB+bcosC，由正弦定理得；2sinAcosA＝sinCcosB+sinBcosC，
所以2sinAcosA＝sin（B+C）＝sinA，由于sinA≠0，所以2cosA＝1，即，则A＝；
（2）因为S△ABC＝bcsinA＝bc×＝．则bc＝4，
由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bccosAa2＝（b+c）2﹣2bc（1+cosA）
所以，
所以．
19．（12分）我国作为世界上主要的产茶国，在全球茶叶生产、消费和出口中都占据重要地位．某茶叶销售商通过上一年销售统计发现，某种品牌的茶叶每袋进价为40元，每袋茶叶的销售价格（52≤x≤57，x∈N）与日均销售量之间的函数关系如表：
销售价格（元/每袋）
57
56
55
54
53
52
日均销售量（袋）
69
72
75
78
81
84
（Ⅰ）求平均每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；
（Ⅱ）求平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；
（Ⅲ）当每袋茶叶的售价为多少元时，该茶叶销售商每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（I）根据已知条件，结合表中的数据，可求求解．
（II）根据已知条件，结合公式平均每天的销售利润＝每件产品的利润×平均每天的销售量，即可求解．
（III）根据（II）所得式子，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（I）由表可知，每箱销售价格每提高1元，则日均销售量减少3箱，
∴y＝69﹣3（x﹣57），即y＝﹣3x+240（52≤x≤57，x∈N）．
（II）∵某种品牌的茶叶每袋进价为40元，
∴w＝（x﹣4）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600（52≤x≤57，x∈N）．
（III）∵w＝﹣3x2+360x﹣9600＝﹣3（x﹣60）2+1200（52≤x≤57，x∈N）．
∴当52≤w≤57，x∈N时，w为增函数，
∴当x＝57时，w取得最大值，且最大值为1173元．
20．（12分）已知函数f（x）＝lnx．
（Ⅰ）求函数F（x）＝f（x+1）﹣x的单调区间；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）f（x）＝lnx⇒F（x）＝f（x+1）﹣x＝ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），求导，分析可得函数F（x）＝f（x+1）﹣x的单调区间；
（Ⅱ）＝lnx﹣mx+（x＞0），求导得g′（x）＝﹣，令h（x）＝mx2﹣x+m，依题意，方程mx2﹣x+m＝0有两个不相等的正数根x1，x2，列式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝lnx，
∴F（x）＝f（x+1）﹣x＝ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），
∴F′（x）＝﹣1＝，
当x∈（﹣1，0）时，F′（x）＞0，F（x）在（﹣1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）单调递减；
∴函数F（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
（Ⅱ）∵＝lnx﹣mx+（x＞0），
∴g′（x）＝﹣m﹣＝＝﹣，
令h（x）＝mx2﹣x+m，
要使g（x）存在两个极值点x1，x2，
则方程mx2﹣x+m＝0有两个不相等的正数根x1，x2，
故只需满足，解得0＜m＜，即实数m的取值范围为（0，）．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，解得a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，恒成立．即恒成立，进而可得答案；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，则，解得答案．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，求得a＝0．……………………（2分）
又此时f（x）＝﹣x是R上的奇函数．
所以a＝0为所求．………………………………（4分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是一切实数，则恒成立．
即恒成立，由于．……………………………………（6分）
故只要a≥0即可 ………………………………………………………………（7分）
（Ⅲ）由已知函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）＝log2（1+a），
最小值是．…………………………………（8分）
由题设………（11分）
故 为所求．…………………………………………（12分）
22．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）ex﹣2x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞﹣x2﹣4．
【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；
（2）要证f（x）＞﹣x2﹣4，即证（x﹣1）（x2+2）ex＞2x﹣x2﹣4，设g（x）＝（x﹣1）（x2+2）ex，h（x）＝2x﹣x2﹣4，运用导数和二次函数的最值求法，分别求得g（x）的最小值和h（x）的最大值，比较即可得证．
【解答】解：（1）函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）ex﹣2x的导数为f′（x）＝（x3+2x2）ex﹣2，
可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝﹣2，切点为（0，﹣2），
则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x﹣2；
（2）证明：要证f（x）＞﹣x2﹣4，即证（x﹣1）（x2+2）ex＞2x﹣x2﹣4，
设g（x）＝（x﹣1）（x2+2）ex，g′（x）＝x2（x+2）ex，
当x＞﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜﹣2时，g′（x）＜0，g（x）递减，
可得g（x）在x＝﹣2处取得极小值，且为最小值﹣18e﹣2；
设h（x）＝2x﹣x2﹣4，可得h（1）为最大值﹣3．
由﹣18e﹣2＞﹣3，可得（x﹣1）（x2+2）ex＞2x﹣x2﹣4恒成立，
则f（x）＞﹣x2﹣4．