初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形导学案及答案

【巩固练习】

一.选择题

1.在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：

（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F．

以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　）

　 A．（1）（5）（2） B．（1）（2）（3） C． （2）（3）（4） D．              （4）（6）（1）

2. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有（　　）

A．0个          B．1个          C．2个       D．3个

3. 如图, AB∥CD, AC∥BD, AD与BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么图中全等的三角形有(      )

  A. 5对 B. 6对  C. 7对        D. 8对

4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上一点，AD＝AB，则（    ）．

A．∠1＝∠EFD       B． FD∥BC    C．BF＝DF＝CD      D．BE＝EC

5. 如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（     ）

A.20°        B.30°        C.40°       D.150°

6. 根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（    ）

   A.AB＝3，BC＝4，AC＝8           B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°

C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4   D.∠C＝90°，AB＝AC＝6

7. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（    ）

   A.1个        B. 2个         C.3个        D. 4个

8. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）

A．50       B．62       C．65         D．68

二.填空题

9.  在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标                    ．

10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.

11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.

12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3，则点D到AB边的距离是_______.

13. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.

14. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.

15. 已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是            　．

16. 如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为　              　．

三.解答题

17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，

求证：AE＋CD＝AC．

18. 在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD.

求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.

19. 如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.

20．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　    　  ，线段CF、BD的数量关系为　     　；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】C；

【解析】解：A、（1）（5）（2）符合“SAS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误；

B、（1）（2）（3）符合“SSS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误；

C、（2）（3）（4），是边边角，不能判断△ABC与△DEF全等，故本选项正确；

D、（4）（6）（1）符合“AAS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误．

故选C．

2. 【答案】D；

【解析】△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；△AOD≌△COD（SAS），

∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故②正确；

四边形ABCD的面积==AC•BD，

故③正确；故选D．

3. 【答案】C；

4. 【答案】B ；

【解析】证△ADF≌△ABF，则∠ABF＝∠ADF＝∠ACB，所以FD∥BC.

5. 【答案】B；

   【解析】∠C＝∠E，∠B＝∠FDE＝180°－110°－40°＝30°.

6. 【答案】C；

   【解析】A项构不成三角形，B项是SSA，D项斜边和直角边一样长，是不可能的.

7. 【答案】D；

8. 【答案】A；

【解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，故S=（6+4）×16-3×4-6×3=50．

二.填空题

9. 【答案】（1，5）或（1，－1）或（5，－1） ；

10.【答案】45°；

   【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.

11.【答案】20；

   【解析】BC＝AC＝AE，△DBE的周长等于AB.

12.【答案】1.3；

   【解析】AD是∠BAC的平分线，点D到AB的距离等于DC.

13.【答案】135°；

【解析】点O为角平分线的交点，∠AOC＝180°－（∠BAC＋∠BCA）＝135°.

14.【答案】4；

   【解析】证△ABC≌△CED.

15.【答案】3+4；

   【解析】解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，

则PE=PB=4，

∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，

∴∠ABE=∠CBP，

在△ABE和△CBP中，

，

∴△ABE≌△CBP（SAS），

∴AE=PC，

由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，

此时AE=AP+PE=3+4，

所以，PC的最大值是3+4．

故答案为：3+4．

16.【答案】（2，4）或（4，2）；

   【解析】①当点P在正方形的边AB上时，Rt△OCD≌Rt△OAP，∴OD=AP，∵点D是OA中点，∴OD=AD=OA，∴AP=AB=2，∴P（4，2），②当点P在正方形的边BC上时，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P（2，4）.

三.解答题

17.【解析】

证明：如图所示，在AC上取点F，使AF＝AE，连接OF，

在△AEO和△AFO中，

∴  △AEO≌△AFO（SAS）．

∴  ∠EOA＝∠FOA．

∵  ∠B＝60°，

∴  ∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)

          ＝180°－(∠BAC＋∠BCA)

          ＝180°－(180°－60°)

＝120°．

      ∴  ∠AOE＝∠AOF＝∠COF＝∠DOC＝60°．

在△COD和△COF中，

∴  △COD≌△COF（ASA）．

∴  CD＝CF．

∴  AE＋CD＝AF＋CF＝AC．

18.【解析】

证明：过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于E，

     ∵ BP平分∠ABC，PD⊥BC ，PE⊥AB，

     ∴PE＝PD

     在Rt△PBE与Rt△PBD中，BP＝BP，PE＝PD

     ∴Rt△PBE≌Rt△PBD（HL）

     ∴BE＝BD

     又∵AB＋BC＝2BD.

       ∴AB＋BD＋DC＝2BD，即AB＋DC＝BD

       ∴AE＝DC

     由（SAS）可证Rt△PEA≌Rt△PDC，

     ∴∠PAE＝∠PCD

     ∵∠BAP＋∠PAE＝180°

     ∴∠BAP＋∠BCP＝180°.

19.【解析】

证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，
　　　 在△DBE和△DNE中：
　　　　
　　　　∴△DBE≌△DNE （SAS）
　　　  ∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）
　　　　 同理可得：CF＝NF
　　　　 在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）
　　　　 ∴BE＋CF＞EF.

20．【解析】

证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

故答案为：CF⊥BD，CF=BD.

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．

由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．

即CF⊥BD．

（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．

理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，

则∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°﹣45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG，

∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．