陕西省西安中学2022届高三上学期第一次月考数学（理）试题 Word版含答案
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数学（理）试题 |
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
- 已知命题p:的否定是；命题q:“，若，则”的否命题是“，若，则或”；下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
- 已知函数，则( )
A. B. C. D.
- 设，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
- 公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也可以表示为，若，则( )
A. B. C. D.
- 函数的图像大致是( )
A. B. C. D.
- 下列函数中，图像关于原点对称且在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
- 已知，，均为锐角，则( )
A. B. C. D.
- 定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
- 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽增大到原来的1.1倍，信噪比从1000提升到16000，则大约增加了(附：)（ ）
A. B. C. D.
- 已知是定义在上的函数，且都有，若函数的图像关于点对称，且，则( )
A. B. C. D.
- 已知函数，函数有3个不同的零点，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知函数，则在区间上的最大值是________.
- 折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。
如图，某折扇的扇骨长度，扇面长度，已知折扇展开所对圆心角的弧度为，则扇面的面积为________.
- 已知直线与曲线相切，则的值为________.
- 已知函数，若对于任意的且，都有
成立，则的取值范围是________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
- (本题满分10分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和图像的对称轴方程；
(2)求函数在区间上的值域.
- (本题满分12分)已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
- (本题满分12分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极
轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点在曲线上运动。
(1)若点在射线上，且，求点的轨迹的直角坐标方程；
(2)设，求面积的最大值及此时点的坐标.
- (本题满分12分)已知函数
(1)求函数的解析式和值域；
(2)若函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围.
- (本题满分12分)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为两级过滤，
使用寿命为十年。如图1所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装。
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯
都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)。客户在安装净水系统的同
时购买滤芯和在使用过程中单独购买滤芯的情况如上表。
现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该净水系统在十年使用期内更换的滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图二是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图。
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．
(1)记Y表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求Y的分布列；
(2)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若m+n＝18且m{8，9}，以该客户在安装和使用过程中购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值．
- (本题满分12分)已知函数.
(1)若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
(2)若，且当时不等式恒成立，试求的最大值.
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数学（理科）试题答案 |
一、选择题：(5分×12=60分)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | C | B | A | B | B | D | C | C | D | A | D |
二、填空题：(5分×4=20分)
13． ； 14．； 15．； 16．．
三、解答题：(共70分，17题10分，18、19、20、21、22为12分)
17. 【解答】(1)
…………（4分）
。由，得，
。 …………（6分）
(2)，
. …………（10分）
- 【解答】：当时，，
①时，，解得
②
③
综合①②③可知， …………（6分）
…… ……（12分）
- 【解答】：
…………（6分）
…… ……（12分）
(也可通过图像，用数形结合的方法求最值，但要有适当的文字说明；点P的直角坐标为(1,1))
20. 【解答】
…… ……（2分）
…… ……（6分）
…… ……（12分）
21.【解答】(1)由题意可得：Y的可能取值为8,9,10,11,12.
由题意可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6概率分别为0.2，0.4，0.4，
则P（Y＝8）＝0.2×0.2＝0.04，P（Y＝9）＝2×0.2×0.4＝0.16，
P（Y＝10）＝2×0.2×0.4+0.4×0.4＝0.32，P（Y＝11）＝2×0.4×0.4＝0.32，
P（Y＝12）＝0.4×0.4＝0.16，
Y | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
P | 0.04 | 0.16 | 0.32 | 0.32 | 0.16 |
…… ……（5分）
(2)设Z表示该客户的净水系统在使用期间内购买各级滤芯所需费用，
∵m+n＝18且m∈{8，9}，
∴①当m＝8，n＝10时，
E（Z）＝（8×160+200×0.4）+（10×80+100×0.32+200×0.16）＝2224．……（8分）
②当m＝9，n＝9时，
E（X）＝9×160+（9×80+100×0.32+200×0.32+300×0.16）＝2304， ……（11分）
∵2224＜2304，
∴选择方案m＝8，n＝10． …………（12分）
- 【解答】
(也可用讨论导函数的变号零点，利用导函数的极大值大于0来求解)……（4分）
……（8分）
……（12分）
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