河南省原阳县第三高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（文）试题 含答案

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原阳县第三高级中学2020-2021学年度高二数学第一次月考考试卷文科试卷考试范围：必修五第一章~第二章；考试时间：120分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题1．若A，B是△ABC的内角，且sinAsinB，则A与B的关系正确的是（　　）A．AB B．AB C．A+B D．无法确定2．已知△ABC的角A，B，C所对的边为，则a＝（    ）A． B．2 C． D．33．已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S9＝18，am＝2，则m＝（　　）A．4 B．5 C．6 D．74．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（   ）A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．28尺5．在中，一定成立的等式是（    ）A．  B．C． D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若abcosC，则△ABC的形状为（   ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定7．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A．a km B． a kmC． akm D．2akm8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（    ）A．13 B．14C．15 D．169．设是等比数列，则下列结论中正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知数列{an}中，a1=2，an=1﹣（n≥2），则a2017等于（　　）A．﹣ B． C．﹣1 D．211．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S为△ABC的面积，，且A、B、C成等差数列，则C的大小为（    ）A． B． C． D．12．数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（    ）①存在实数，使得为等差数列；②存在实数，使得为等比数列；③若存在使得，则实数唯一.A．① B．①② C．①③ D．①②③ 第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题13．的周长等于，则其外接圆直径等于__________．14．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为______.15．中，角的对边分别为，当最大时，__________．16．等比数列满足，且，则__________． 三、解答题17．在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝．（1）求sinB的值；（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．18．如图，在四边形中，，，，．（1）求的值；（2）若，求的长．19．已知数列满足：.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；（2）求数列的前项和.20．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.21．如图，在中，，点在边上，且.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.22．已知数列满足，（，），（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；（2）数列的前项和为，求证：对任意，.
参考答案1．B【分析】根据正弦定理转化为ab，利用大角对大边的性质进行判断即可．【详解】由正弦定理可知：，又当 但A+B，故Ｃ错误故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数角的大小比较，结合正弦定理以及大边对大角是解决本题的关键．2．B【分析】直接根据余弦定理化简可得，解方程得到a的值，得到答案.【详解】由余弦定理可得 ：cosC＝，即＝，整理可得，解可得a＝2，a＝(舍去).故选：B.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，尤其注意的是增根的讨论，属于基础题型.3．B【分析】根据等差数列的性质和求和公式可得【详解】解：S9＝＝9a5＝18，∴a5＝2，∵am＝2，∴m＝5，故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属于基础题．4．C【分析】根据题意利用等差数列前项和公式列方程，解方程求得第30天织布.【详解】依题意可知，织布数量是首项为，公差的等差数列，且，即，解得（尺）.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的前项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题.5．D【分析】利用特殊值排除A、B、C，利用正弦定理判断D【详解】如果为直角三角形且，则，此时A、B、C均不成立，由正弦定理可得，故，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查对基础知识理解.6．B【分析】利用余弦定理，将，转化为，化简即可判断△ABC的形状.【详解】因为，则，得， 所以为直角三角形.故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形形状的判断，属于基础题.7．B【分析】先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【详解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.故选:B.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．8．B【分析】由已知条件利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十四日所织尺数．【详解】设第一天织尺，从第二天起每天比第一天多织尺，由已知得 解得： ，∴第十四日所织尺数为 ．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题．9．D【解析】，则故选10．D【解析】,,……由此可知周期为3,易知故选D11．C【分析】先根据三角形面积公式得出，再由等差数列求出，由余弦定理得到，联立上式即可得出a、b、c之间的关系，再用余弦定理即可求出结果.【详解】根据题意，在△ABC中，A+C＝π﹣B，则sin（A+C）＝sinB，又由，则有，变形可得：①若A、B、C成等差数列，则，则，变形可得②，联立①②可得：，即，又由，则，即，则＝，故.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式，涉及到等差数列等差中项问题，解题的关键是对公式的熟练应用.12．A【分析】假设为等差数列，根据，求得，得到，使得恒成立，可判定①正确；假设为等比数列，求得，可判定②不是真命题；由，可得，， ，，各式相加得到，进而得到，可判定③不是真命题.【详解】①中，假设为等差数列，则，则，可得，显然当时，可得，使得恒成立，所以存在使得数列为等差数列，所以①正确；②中，假设数列为等比数列，则则，可得，即，即，该式中有为定值，是变量，所以这样的实数不存在，所以②不是真命题；③中，由，可得，， ，，将上述各式相加，可得 ，即，即，若存在这样的实数，则有，从而，可知满足该式的不唯一，所以③不是真命题.故选：A.【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.13．3【分析】根据正弦定理求解.【详解】因为的周长等于，所以，因此由正弦定理得，即外接圆直径等于3.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.14．8【解析】，则即 ，由二次函数的对称轴为可知，当时，取最小值。故答案为15．【解析】,当且仅当，取等号，∴∠C的最大值为75°，此时sinC=,，∴.故答案为16．9【详解】因为数列为等比数列，根据等比数列性质，，故填9．17．（1）；（2）3.【分析】（1）利用余弦定理可求得，再根据正弦定理求得；（2）根据同角三角函数关系求得，利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】（1）由余弦定理可得：由正弦定理可得：（2）为锐角    由余弦定理得：又    【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，属于常考题型.18．（1）；（2）.【分析】（1）设，，由余弦定理求出，，再由正弦定理能求出；（2）由可得，由此可得，再利用正弦定理能求出．【详解】解：（1）因为，所以可设，，．又，，所以由余弦定理，得，解得,所以，，．（2）因为，所以，所以，因为，所以．19．（1）见证明；（2）【分析】（1）由变形得，即，从而可证得结论成立，进而可求出通项公式；（2）由（1）及条件可求出，然后根据分组求和法可得．【详解】（1）证明：因为，所以．因为所以所以．又，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．（2）解：由（1）可得，所以 ．【点睛】证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了说明数列中没有零项这一步骤．另外，对于数列的求和问题，解题时要根据通项公式的特点选择合适的方法进行求解，属于基础题．20．（1）；（2）.【分析】（1）由，得到，结合，即可求解；（2）由（1）和正弦定理，得到，，进而化简，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意知，可得，又因为，可得，所以，所以.（2）由（1）知，且，根据正弦定理，可得，所以，.所以，因为为锐角三角形，可得，所以，所以，所以，即的取值范围为.21．(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由，进而得，然后利用正弦定理求边长；（2）由，得，.，利用余弦定理得，从而试题解析：（Ⅰ）在中，∵.∴ .在中，由正弦定理得，即，解得.（Ⅱ）∵，∴，解得，∴，在中，，在中，.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.22．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【分析】（1）由l两边同时除以得到有，再构造等比数列得解 （2）放缩，再利用等比数列求和得解.【详解】（1）由有，∴∴数列是首项为，公比为2的等比数列.∴，∴ （2）， ∴，.【点睛】本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.