山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 含答案

运城市2021～2022年度教育发展联盟

高二10月份月考测试

数学

考生注意：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：选择性必修第一册2.4圆的方程结束。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．经过，两点的直线的倾斜角为（    ）

A．   B．   C．   D．

2．已知向量，，且，则实数等于（    ）

A．1   B．2   C．   D．

3．若圆：过坐标原点，则实数的值为（    ）

A．1   B．2   C．2或1   D．或

4．“”是“直线：与直线：平行”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

5．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ）

A．   B．   C．   D．

6．已知，为两条异面直线，在直线上取点，，在直线上取点，，使，且（称为异面直线，的公垂线）．已知，，，，则异面直线，所成的角为（    ）

A．   B．   C．   D．

7．过点作直线分别交轴正半轴，轴正半轴于，两点，为坐标原点当取最小值时，直线的方程为（    ）

A．     B．

C．    D．

8．设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（    ）

A．5   B．6   C．7   D．8

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ）

A．   B．   C．   D．

10．已知圆心为的圆与点，则（    ）

A．圆的半径为2

B．点在圆外

C．点与圆上任一点距离的最大值为

D．点与圆上任一点距离的最小值为

11．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．则下列说法正确的是（    ）

A．

B．平面的法向量

C．⊥平面

D．点到平面的距离为

12．在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（包含线段的端点），点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，点，，，四点共面

B．异面直线与的距离为

C．三棱锥的体积为定值

D．不存在点，使得

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．空间直角坐标系中，点，的坐标分别为，，则______．

14．已知直线，关于轴对称，的方程为：，则点到直线的距离为______．

15．已知直线：过定点，直线过点，且，分别绕、旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是______．

16．在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子到直线的距离为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，，

（1）试用，，表示向量；

（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长．

18．（12分）

已知点与直线：．

（1）若直线过点，且与直线垂直，求直线的方程；

（2）一条光线点射出，经直线反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）

已知圆经过，，三点．

（1）求圆的方程；

（2）设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程．

21．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，，为中点，．

（1）求点到平面的距离；

（2）点为棱上一点，求与平面所成角最大时，的值．

22．（12分）

如图甲所示，是梯形的高，，现将梯形沿折成为直二面角的四棱锥，如图乙所示，在该四棱锥中，，异面直线与所成的角为．

（1）若点是棱的中点，求证：平面；

（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正弦值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由．

运城市2021～2022年度教育发展联盟高二10月份月考测试·数学

参考答案、提示及评分细则

1．D  2．C  3．A  4．C  5．A  6．B  7．D  8．C

9．AC  10．BCD  11．BCD  12．AC

13．  14．  15．  16．

17．解：（1）由图可知

即

（2），

又∵，

∴，

∴，，，

∴．

18．解：（1）∵与垂直，∴设直线方程为，

又∵过点，∵，解得，

∴直线的方程为．

（2）设点关于的对称点坐标为

则，

解得∴．

又∵反射光线过点，

∴反射光线所在直线方程为．

19．（1）证明：∵为矩形，且，

∴．

又∵，．∴，．

又∵，，

∴平面．

∵平面，∴

又∵，，

∴平面．

（2）解：以为原点，，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，，，

∴，，

设平面的法向量

则，即

∴，

∴

∴直线与所成角的正弦值为．

20．解：（1）设圆的方程为，将三点，，分别代入得

解得．

所以圆的方程为（．

（2）设，则：，，

∵，∴∴

∵点在圆上运动∴，

即．∴，

所以点的轨迹方程为，是以为圆心，以1为半径的圆．

21．解：（1）取中点，连结，

∵为等腰直角三角形，∴，，，

∴，∴，∴，

又∵为等腰直角三角形，∴．

又∵，∴平面，

又∵，，，∴为等边三角形，

∴以为原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，

设平面的法向量为，

则，即

取则，，∴

∴点到平面的距离．

（2）设，则，

∴设与平面所成角为，

则．

∴当时，最大，即最大．

22．（1）证明：解法一，由甲图可知，

∵为直二面角，∴，

，，∴平面，

∵在四棱锥中，

∴以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

∵，，，异面直线和所成角等于．

∴设，，则，，，，．

∵，，，

∴，解得，

当为的中点时，，

又∵平面的法向量为

∴，

又∵平面，平面．

解法二，由甲图可知，

∵为直二面角，，

，，∴平面

又∵平面，∴

又∵，，∴平面，

∴，又∴，，，

∴为等腰直角三角形，∴，，

取中点连接，，，则，，

∴四边形为平行四边形，∴，

平面，平面，

∴平面．

（2）解：取的中点，连接，

∵异面直线和所成角等于，∴，

又∵，，∴为等边三角形，

∴，∴，

另：∵在四棱锥中，

∴以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

又，，

∵异面直线和所成角等于，

∴，解得，

假设在棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，

设，且，

则，解得，

，，

设平面的一个法向量为，

则取，得，

又平面的法向量，

∵二面角的余弦值为，∴

解得或（不合题意）．

∴存在这样的点，为棱上的靠近的三等分点．