高中数学人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试课堂检测

第一章　集合与函数概念

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设集合A={a∈N|-1≤a≤2},B={b∈Z|-2≤b<3},则A∩B=(　　)

A.{0,1} B.{-1,0,1}

C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}

2.已知M={x|y=x2+1},N={y|y=x2+1},则M∩N=(　　)

A.[1,+∞) B.⌀ C.(-∞,1) D.R

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是(　　)

A.y=|x| B.y=3-x

C.y= D.y=-x2+4

4.已知函数f(x)=则f(3)的值等于　(　　)

A.-2 B.-1 C.1 D.2

5.下列说法正确的个数是(　　)

①空集是任何集合的真子集;

②函数f(x)的值域是[-2,2],则函数f(x+1)的值域为[-3,1];

③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个;

④若A∪B=B,则A∩B=A.

A.0 B.1 C.2 D.3

6.若函数y=ax2+bx+3在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数,则(　　)

A.b>0且a<0 B.b=2a<0

C.b=2a>0 D.a,b的符号不确定

7.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(　　)

A.-1 B.1 C.-5 D.5

8.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则(　　)

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

9.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=45°,AB=5,AD=3,点E由点B沿折线B-C-D向点D移动,EM⊥AB于M,EN⊥AD于N,设MB=x,矩形AMEN的面积为y,那么y与x的函数关系图象大致是(　　)

10.若函数f(x+1)的定义域为[-1,15],则函数g(x)=的定义域是(　　)

A.[1,4] B.(1,4]

C.[1,] D.(1,]

11.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f=1,如果对于0<x<y,都有f(x)>f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为(　　)

A.[-4,0) B.[-1,0)

C.(-∞,0] D.[-1,4]

12.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则实数m的取值范围是(　　)

A.0<m≤4 B.0≤m≤1

C.m≥4 D.0≤m≤4

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知f(-1)=x-2,则函数f(x)的解析式为　　　　. 

14.已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2,3},则这样的集合B有　　　　个. 

15.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a=　　　　.  

16.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x],若A={y|y=g(x),0≤x≤1},则A中所有元素的和为　　　　. 

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|m+1≤x≤2m+3}.

(1)当m=1时,求A∩B;

(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=是R上的偶函数.

(1)求实数m的值;

(2)判断并用定义法证明函数y=f(x)在(-∞,0)上的单调性.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时, f(x)=-1.

(1)用定义法证明f(x)在(0,+∞)上是减函数;

(2)当x<0时,求函数f(x)的解析式.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2, f(x+1)-f(x)=2x-1.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最大值和最小值.

21.(本小题满分12分)设a,b∈R,若函数f(x)在定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)的定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.

(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;

(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.

22.(本小题满分12分)小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量y(百件)与销售单价x(元)之间的关系用下图的一折线表示,职工每人每月工资为1 000元,该店还应支付的其他费用为每月10 000元.

(1)把y表示为x的函数;

(2)当销售价为每件50元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;

(3)若该店只有20名职工,问销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润?(注:利润=收入-支出).

答案全解全析

第一章　集合与函数概念

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一、选择题

1.C　A={a∈N|-1≤a≤2}={0,1,2},B={b∈Z|-2≤b<3}={-2,-1,0,1,2},所以A∩B={0,1,2}.故选C.

2.A　因为M={x|y=x2+1}=R,N={y|y=x2+1}=[1,+∞),所以M∩N=[1,+∞),故选A.

3.A　B中函数非奇非偶,C中函数是奇函数,均不正确,A、D中函数均为偶函数,A中函数在(0,+∞)上递增,D中函数在(0,+∞)上递减,因此A正确,故选A.

4.B　由分段函数可知f(3)=f(2)-f(1),

而f(2)=f(1)-f(0),

∴f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-1,故选B.

5.C　由空集不是它本身的真子集知,①错误;由f(x)与f(x+1)的值域相同知,②错误;设f(x)=0,且x∈D,D是关于原点对称的区间,则f(x)既是奇函数又是偶函数,由于D有无数个,故f(x)有无数个,③正确;由A∪B=B,得A⊆B,从而A∩B=A,④正确.故选C.

6.B　由已知可得,函数y=ax2+bx+3的图象开口向下,且图象的对称轴方程为x=-1,所以所以b=2a<0.故选B.

7.D　令y=g(x)=f(x)+x,∵f(2)=1,

∴g(2)=f(2)+2=1+2=3.∵函数g(x)=f(x)+x是偶函数,∴g(-2)=3=f(-2)+(-2),解得f(-2)=5.

8.D　因为函数y=f(x+8)为偶函数,所以其图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=8对称.又f(x)在(8,+∞)上为减函数,所以f(x)在(-∞,8)上为增函数,所以f(x)在x=8处取得最大值,并且f(6)<f(7), f(6)<f(9), f(7)=f(9), f(7)>f(10).故选D.

9.C　∵EM⊥AB,∠B=45°,

∴EM=MB=x,AM=5-x.

当点E在BC上运动时,

即当0<x≤3时,y=x(5-x)=-+;

当点E在CD上运动时,矩形AMEN即为矩形AMED,此时y=-3x+15,3<x<5.

∴y与x的函数关系为

y=

画出大致图象如选项C所示.故选C.

10.B　设x+1=t,则f(x+1)=f(t).

∵f(x+1)的定义域为[-1,15],

∴0≤x+1≤16,即0≤t≤16,

∴y=f(t)的定义域为[0,16],

∴要使函数g(x)=有意义,必须满足即

解得1<x≤4,故选B.

11.B　令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=,y=2,得f(1)=f(2)+f,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.又由f(-x)+f(3-x)≥-2,可得f(x2-3x)≥f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对于0<x<y,都有f(x)>f(y),所以即解得-1≤x<0,即不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为[-1,0).

12.D　依题意得,无论x取何值,mx2+mx+1均不取负值.

当m=0时,mx2+mx+1=1>0,符合题意;

当m≠0时,由二次函数y=mx2+mx+1的图象上的点均不在x轴下方知:

解得0<m≤4.

综上所述,0≤m≤4,故选D.

二、填空题

13.答案　f(x)=x2-1(x≥-1)

解析　令t=-1,得=t+1,且t≥-1,因此f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1(t≥-1).

故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥-1).

14.答案　4

解析　由A∪B={1,2,3}知,3∈B,所以满足题意的集合B可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.共4个.

15.答案　-1

解析　当x≥0时, f(x)=x(x+1)≥0.

因为f(a)=-2,所以a<0,又因为f(x)为R上的奇函数,所以f(a)=-f(-a)=-2,即f(-a)=-a(-a+1)=2,解得a=-1或a=2(舍),所以a=-1.

16.答案　4

解析　当x∈时,0≤2x<1,g(x)=[x]+[2x]=0;

当x∈时,1≤2x<2,g(x)=[x]+[2x]=1;

当x=1时,2x=2,g(x)=[x]+[2x]=3,

所以A={y|y=g(x),0≤x≤1}={0,1,3},

所以A中所有元素的和为4.

三、解答题

17.解析　(1)当m=1时,B={x|2≤x≤5},因此A∩B={2}.

(2)A∪B=A⇔B⊆A,

①当B=⌀时,即m+1>2m+3,即m<-2,符合题意;

②当B≠⌀时,要满足B⊆A,则

⇒⇒-2≤m≤-.

综上所述,当A∪B=A时,实数m的取值范围是(-∞,-2)∪=.

18.解析　(1)因为函数f(x)=是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即=对任意实数x恒成立,解得m=0.

(2)由(1)得f(x)=,此函数在(-∞,0)上为增函数.

证明:任取x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==,

因为x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,

所以(1+)(1+)>0,x2+x1<0,x2-x1>0,

即f(x1)-f(x2)<0,

所以函数f(x)=在(-∞,0)上单调递增.

19.解析　(1)证明:在(0,+∞)上任取x1,x2,且0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=-=.

∵0<x1<x2,∴x1x2>0,x2-x1>0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.

(2)若x<0,则-x>0,∴f(-x)=--1,

又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=--1,即f(x)=--1(x<0).

20.解析　(1)由f(0)=2,得c=2,又由f(x+1)-f(x)=2x-1,得2ax+a+b=2x-1,故解得所以f(x)=x2-2x+2.

(2)由(1)得f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,所以其图象的对称轴方程为x=1,且其图象的开口向上,

所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(-∞,1).

(3)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象的对称轴x=1在区间[-1,2]内,

所以f(x)min=f(1)=1,又f(-1)=5,

f(2)=2,所以f(x)max=f(-1)=5.

21.解析　(1)证明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),a=-1,b=5,

∴g(-2-x)=.

∴g(x)+g(-2-x)=+=10,

即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立.

∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.

(2)∵g(x)==5-,易知g(x)在-,1上单调递增,

∴g(x)在x∈-,1时的值域为[-1,4].

记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A.

若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,则A⊆[-1,4].

∵x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1,

∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心点(1,2).

(i)当≤0,即m≤0时,函数h(x)在(0,1)上单调递增.由对称性知,h(x)在(1,2)上单调递增,∴函数h(x)在(0,2)上单调递增.

易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,

∴h(2)=3-m,则A=[m+1,3-m].

由A⊆[-1,4],得

解得-1≤m≤0.

(ii)当0<<1,即0<m<2时,函数h(x)在0,上单调递减,在,1上单调递增.由对称性,知h(x)在1,2-上单调递增,在2-,2上单调递减.

∴函数h(x)在0,上单调递减,在,2-上单调递增,在2-,2上单调递减.

∴结合对称性,知A=[h(2),h(0)]或A=h,h2-.

∵0<m<2,∴h(0)=m+1∈(1,3).

又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m∈(1,3).

易知h=-+m+1∈(1,2).

又h+h2-=4,

∴h2-∈(2,3).

∴当0<m<2时,A⊆[-1,4]成立.

(iii)当≥1,即m≥2时,函数h(x)在(0,1)上单调递减.

由对称性,知h(x)在(1,2)上单调递减.

∴函数h(x)在(0,2)上单调递减.

易知h(0)=m+1.又h(0)+h(2)=4,

∴h(2)=3-m,则A=[3-m,m+1].

由A⊆[-1,4],得

解得2≤m≤3.

综上可知,实数m的取值范围为[-1,3].

22.解析　(1)当40≤x≤60时,设AB的方程为y=k1x+b1,将A,B两点坐标代入方程得解得所以AB的方程为y=-2x+140;

当60<x≤80时,同理可得BC的方程为y=-x+50.

所以y=

(2)设该店有职工m名,当x=50时,

该店总收入为100(-2x+140)(x-40)=40 000(元),

又该店的总支出为(1 000m+10 000)元,

所以依题意得40 000=1 000m+10 000,

解得m=30.

所以此时该店有30名职工.

(3)设月利润用S表示,若该店只有20名职工,则月利润

S=

当40≤x≤60时,S=-200(x-55)2+15 000,

所以当x=55时,S取最大值15 000元;

当60<x≤80时,S=-50(x-70)2+15 000,

所以当x=70时,S取最大值15 000元.

故当x=55或x=70时,S取最大值15 000元,即销售单价定为55或70元时,该专卖店月利润最大.