人教版新课标A必修1本节综合课时练习

第一章　集合与函数概念

1.2~1.3综合拔高练

五年高考练

考点1　函数的概念与表示

1.(2015课标Ⅱ,13,5分,★☆☆)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=　　　　. 

2.(2016浙江,12,6分,★★☆)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=　　　　,b=　　　　. 

考点2　分段函数的应用

3.(2017山东,9,5分,★★☆)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=(　　)

A.2 B.4 

C.6 D.8

4.(2019课标Ⅱ,12,5分,★★★)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

5.(2019天津,8,5分,★★★)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(　　)

A. B.

C.∪{1} D.∪{1}

6.(2018天津,14,5分,★★☆)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是　　　　. 

7.(2016江苏,11,5分,★★☆)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上, f(x)=其中a∈R.若f=f,则f(5a)的值是　　　　. 

考点3　函数基本性质的综合运用

8.(2018课标Ⅱ,11,5分,★★☆)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(　　)

A.-50 B.0 C.2 D.50

9.(2017浙江,5,4分,★★☆)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(　　)

A.与a有关,且与b有关

B.与a有关,但与b无关

C.与a无关,且与b无关

D.与a无关,但与b有关

10.(2016山东,9,5分,★★☆)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>时, f=f,则f(6)=(　　)

A.-2 B.-1 

C.0 D.2

11.(2017课标Ⅱ,14,5分,★☆☆)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　. 

12.(2016北京,10,5分,★☆☆)函数f(x)=(x≥2)的最大值为　　　　　. 

13.(2017北京,11,5分,★★☆)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是　　　　　　. 

强基计划

14.(2018中国科技大学自主招生试题,6改编,★★★)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)是单射(即如果x,y∈(0,+∞),且x≠y,都有f(x)≠f(y)),对任意的x>0,有xf(x)>1, f(xf(x)-1)=2,则f(2)=　. 

三年模拟练

一、选择题

1.(2020河北邢台一中高一上期末,★★☆)设f(x)=则f(1)=(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

2.(2020广东佛山一中高一上第一次段考,★★☆)德国数学家狄利克雷在1837年时提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数”,这个定义较清楚地说明了函数的内涵,只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值,有一个确定的y和它对应就可以,不管这个对应的法则是公式,图象,表格还是其他形式.已知函数f(x)由下表给出,则f10f的值为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

3.(2020福建六校高一上期中联考,★★☆)已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)有最大值,无最小值

B.f(x)有最大值,最小值

C.f(x)有最大值,无最小值

D.f(x)有最大值2,最小值

4.(2019湖北武昌实验中学高一上月考,★★★)记实数x1,x2,x3,…,xn中的最大数为max{x1,x2,x3,…,xn},最小数为min{x1,x2,x3,…,xn},则max{min{x+1,x2-x+1,-x+6}}=(　　)

A. B.1 C.3 D.

5.(多选题)(2020山东菏泽高一上期末联考,★★☆)关于函数f(x)=的性质描述,正确的是(　　)

A.f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]

B.f(x)的值域为(-1,1)

C.f(x)在定义域上是增函数

D.f(x)的图象关于原点对称

6.(多选题)(★★★)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=若f(x)=2-x2,g(x)=x2,下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的是(　　)

A.函数F(x)是偶函数

B.方程F(x)=0有四个解

C.函数F(x)有4个单调区间

D.函数F(x)有最大值为1,无最小值

二、填空题

7.(2019山东泰安一中高一上检测,★★☆)关于x的不等式mx2-2x+1≥0对任意的x∈(0,3]恒成立,则m的取值范围是　　　　　. 

8.(★★★)已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6,则a的值为　　　　. 

9.(★★★)如果函数f(x)=满足对任意x1≠x2都有 >0成立,那么b的取值范围是　　　　. 

三、解答题

10.(★★☆)如图,用长为12米的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架窗户,设半圆的半径为x米.

(1)求此铁丝围成的框架面积y与x的函数式y=f(x),并求出它的定义域;

(2)求半圆的半径是多长时,窗户透光的面积最大.

11.(2020黑龙江哈尔滨四校高一上期中联考,★★★)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y), f=1.

(1)求f(0)的值;

(2)判断函数f(x)的奇偶性;

(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.

答案全解全析

第一章　集合与函数概念

1.2~1.3综合拔高练

五年高考练

1.答案　-2

解析　因为函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),解得a=-2.

2.答案　-2;1

解析　f(x)-f(a)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)[x2+ax+a2+3(x+a)]=(x-a)[x2+(a+3)·x+a2+3a]=(x-a)(x-a)(x-b),则x2+(a+3)x+a2+3a=x2-(a+b)x+ab,得到解得

3.C　当0<a<1时,a+1>1,由f(a)=f(a+1),得=2(a+1-1)=2a,解得a=,此时f=f(4)=2×(4-1)=6;当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1),得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知f=6,故选C.

4.B　由题意可知,当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=时, f(x)min=-,且当x=时, f(x)=-.当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=f(x+1).

∴若x∈(1,2],则当x=时, f(x)min=-,且x=时, f(x)=-.

同理,若x∈(2,3],则当x=时, f(x)min=-1,且x=时, f(x)=-.

∴函数f(x)的大致图象如图所示.

∵f(x)≥-对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时, f(x)min≥-,由图可知m≤.故选B.

5.D　画出函数y=f(x)的图象,如图.

方程f(x)=-x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-x+a的公共点的个数.

当直线l经过点A时,有2=-×1+a,a=;

当直线l经过点B时,有1=-×1+a,a=.

由图可知,a∈时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.

另外,当直线l与曲线y=,x>1相切时,恰有两个公共点,此时a>0.

联立得=-x+a,即x2-ax+1=0,

由Δ=a2-4××1=0,得a=1(舍去负根).

综上,a∈∪{1}.故选D.

6.答案　

解析　当x>0时, f(x)=-x2+2x-2a,

此时只需-x2+2x-2a≤x恒成立,

即2a≥-x2+x恒成立,

因为x>0时,-x2+x的最大值为,

所以a≥;

当-3≤x≤0时, f(x)=x2+2x+a-2,

此时只需x2+2x+a-2≤-x恒成立,

即a≤-x2-3x+2恒成立,

因为-3≤x≤0时,-x2-3x+2的最小值为2,

所以a≤2.故a的取值范围为.

7.答案　-

解析　因为f(x)的周期为2,

所以f=f=-+a, f=f=,所以-+a=,

解得a=,

所以f(5a)=f(3)=f(-1)=-.

8.C　因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,

所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.

又因为f(1-x)=f(1+x),

所以f(-x)=f(2+x)②.

由①②可得f(x+2)=-f(x),

则有f(x+4)=f(x).

由f(1)=2,得f(-1)=-2,

于是有f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0, f(5)=f(1)=2, f(6)=f(2)=0,……,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.

9.B　由题意,得f(x)=x2+ax+b=+b-,因此函数f(x)的图象的对称轴为x=-.当-≤0,即a≥0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的最大值M=f(1)=1+a+b,最小值m=f(0)=b,所以M-m=1+a;当-≥1,即a≤-2时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以函数f(x)的最大值M=f(0)=b,最小值m=f(1)=1+a+b,所以M-m=-1-a;当0<-≤,即-1≤a<0时,函数f(x)在[0,1]上的最小值m=f=b-,最大值M=f(1)=1+a+b,所以M-m=1+a+;当<-<1,即-2<a<-1时,函数f(x)在[0,1]上的最小值m=f=b-,最大值M=f(0)=b,所以M-m=.结合各选项,可得B正确,A,C,D错误.故选B.

10.D　当x>时,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),

又由题意知f(-1)=(-1)3-1=-2, f(1)=-f(-1),

所以 f(6)=f(1)=2,故选D.

11.答案　12

解析　因为函数f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.

12.答案　2

解析　因为函数f(x)==1+在区间[2,+∞)上是减函数,所以当x=2时,函数f(x)有最大值,即f(x)max=f(2)=1+1=2.

13.答案　

解析　由x+y=1,得y=1-x,所以x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1.由x≥0,y≥0,x+y=1,得0≤x≤1.令f(x)=2x2-2x+1,由二次函数的图象可知,当x=时, f(x)=2x2-2x+1取得最小值,即x2+y2的最小值为;当x=0或x=1时, f(x)=2x2-2x+1取得最大值1,即x2+y2的最大值为1.故x2+y2的取值范围是.

14.答案　1

解析　由函数f(x)是单射,且f(xf(x)-1)=2,得xf(x)-1是常数,令xf(x)-1=t(x>0),则f(x)=,且f(t)=2,①

因此tf(t)-1=t,所以f(tf(t)-1)=2,由f(t)=2,得f(2t-1)=2,②

由①②及函数f(x)是单射得t=2t-1,解得t=1,所以f(x)=,所以f(2)=1.

三年模拟练

一、选择题

1.D　f(1)=f[f(2)]+1=f(2×2-1)+1=f(3)+1=(2×3-1)+1=6.

2.D　∵∈(-∞,1],∴f=1,

则10f=10,∴f10f=f(10),

又∵10∈[2,+∞),∴f(10)=3,故选D.

3.A　f(x)===2+(x∈[-8,-4)),所以f(x)在[-8,-4)上为减函数,所以f(x)max=f(-8)=,无最小值.

4.D　设f(x)=min{x+1,x2-x+1,-x+6},

则f(x)=

其图象如图所示的实线部分.

由图象可知, f(x)max=f=,故选D.

5.ABD　由得-1≤x≤1,且x≠0,因此A正确;

综合A知f(x)===.

当0<x≤1时,f(x)=-∈(-1,0],

当-1≤x<0时,f(x)=∈[0,1),

故f(x)的值域为(-1,1),B正确;

由x=0没意义,结合B的解析知选项C错误;

∵f(-x)==-f(x),∴D正确.

故选ABD.

6.ACD　依题意,

F(x)=

显然函数是偶函数,A正确;方程F(x)=0有三个解,分别是±,0,B错误;当x<-1,0<x<1时,F(x)是增函数,当x>1,-1<x<0时,F(x)是减函数,∴函数F(x)有4个单调区间,C正确;F(x)在x=±1时,取得最大值为1,无最小值,D正确.故选ACD.

二、填空题

7.答案　[1,+∞)

解析　当0<x≤3时,由mx2-2x+1≥0可得,m≥-.

设y=-,令t=,

由0<x≤3得t≥,

∴y=-+=-t2+2t=-(t-1)2+1,

∴只需满足m≥ymax即可.

∵当t=1时,ymax=1,

∴m≥1,即m的取值范围是[1,+∞).

8.答案　或-5

解析　f(x)=ax2+2ax+1=a(x+1)2+1-a,其图象的对称轴为x=-1,

当a>0时,图象开口向上,

函数f(x)在[-2,3]上的最大值为f(3)=9a+6a+1=6,所以a=,

当a<0时,图象开口向下,函数f(x)在[-2,3]上的最大值为f(-1)=a-2a+1=6,所以a=-5.

综上,a的值为或-5.

9.答案　[1,2]

解析　由对任意x1≠x2都有>0可知,x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,

从而f(x)在R上递增.

由分段函数的单调性知

解得即1≤b≤2.

故b的取值范围是[1,2].

三、解答题

10.解析　(1)由题意可知下部为矩形且一边长AB=2x米,其邻边长AD=米,

∴f(x)=+2x·

=-x2+12x.

由得0<x<,

∴函数的定义域为.

(2)∵x∈,且函数y=f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=,

∴当x=时,函数取得最大值,

即当半圆的半径为米时,窗户透光的面积最大.

11.解析　(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.

(2)已知函数f(x)的定义域是R,

令y=-x,则有 f(x-x)=f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),

∴函数f(x)为奇函数.

(3)由题意得,2=2f=f,

∴f(x)+f(2+x)=f(x+2+x)<f,

又f(x)在R上单调递增,∴2x+2<,

∴x<-,

∴x的取值范围是.