数学必修 第一册3.3 幂函数学案

3.3 幂函数

【素养目标】

1．通过具体实例，理解幂的概念．(数学抽象)

2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)

3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)

【学法解读】

以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象，通过观察比较研究其图象和性质，进而研究一般幂函数的图象和性质．

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　幂函数的概念

函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

思考1：幂函数的解析式有什么特征？

提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．

知识点2　幂函数的图象及性质

(1)五个幂函数的图象：

(2)幂函数的性质：

思考2：当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？

提示：图象都是从左向右逐渐上升．

基础自测

1．下列函数为幂函数的是(　D　)

A．y＝2x4　　　　　　 B．y＝2x3－1

C．y＝ D．y＝x2

[解析]　y＝2x4中，x4的系数为2，故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．

2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f(x)的图象过点(2,2)，则f(4)的值为(　B　)

A．4 B．8

C．2 D．

[解析]　设f(x)＝xα，∴2＝2α，∴α＝.

∴f(x)＝x.∴f(4)＝4＝(22)＝23＝8.

3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于(　C　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]　由题意，得，∴∴m＋n＝3.

4．已知α∈{－2，－1，－，，1,2,3}，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝__－1__.

[解析]　∵α∈{－2，－1，－，，1,2,3}，

且函数f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1,1,3，

又∵f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＝－1.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　幂函数的概念

例1 已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

[分析]　本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数y＝(k≠0)；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)幂函数y＝xα(α是常数)，转化为系数和指数的取值问题．

[解析]　(1)若f(x)为正比例函数，则，∴m＝1.

(2)若f(x)为反比例函数，则，∴m＝－1.

(3)若f(x)为二次函数，则，

∴m＝.

(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.

[归纳提升]　形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数．

【对点练习】❶ 有下列函数：

①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－；④y＝；⑤y＝x；⑥y＝x3.

其中，是幂函数的有__④⑤⑥__(只填序号)．

[解析]　①中，x2的系数为3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是幂函数；③中，y＝－＝－x－1，系数是－1，故不是幂函数；④中，y＝＝x－1是幂函数；⑤中，y＝x是幂函数；⑥中，y＝x3是幂函数．

题型二　幂函数的图象

例2 函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1,1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个(　C　)

[分析]　逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状．

[解析]　A中直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1，故A错；B中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x，2≠，故B错；C中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2，当x＝2时，22＝2×2，故C对；D中直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．

[归纳提升]　解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：

①在(0,1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴；

②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴．

(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．

【对点练习】❷ (1)函数y＝x的图象大致是(　B　)

(2)当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__二、四__象限．

[解析]　(1)函数y＝x＝是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C．另外，因为y＝()＝×()＜，y＝1＝1，y＝2＝2×2＞2，所以当x∈(0,1)时，函数y＝x的图象在直线y＝x的下方；

当x∈(1，＋∞)时，函数y＝x的图象在直线y＝x的上方．故选B．

(2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，y＝x的图象分布在第一象限．

所以幂函数y＝xα(α＝－1，，1,3)的图象不可能经过第二、四象限．

题型三　幂函数简单性质的应用

角度1　比较幂的大小

例3 比较下列各题中两个数的大小：

(1)2.3，2.4；

(2)()－，()－；

(3)(－0.32)，0.35.

[分析]　

[解析]　(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.3<2.4.

(2)∵y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，且<，

∴()－>()－.

(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31)＝0.31.

又函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且0.31<0.35，

∴0.31<0.35，即(－0.31)<0.35.

[归纳提升]　比较幂值的大小，关键是构造适当的函数．对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较．

角度2　已知单调性求参数

例4 (2020·湖南省长沙市联考)已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式．

[分析]　先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，＋∞)上单调递减进行检验．

[解析]　∵y＝(m2＋m－5)x m2－2m－3是幂函数，

∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.

当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；

当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．

∴y＝x－3(x≠0)．

[归纳提升]　本题根据幂函数的定义可求出m有两个值，求出m的值后，一定要根据题目要求对m的值进行检验．

【对点练习】❸ 比较下列各组数的大小：

(1)1.10.1,1.20.1.(2)0.24－0.2,0.25－0.2.

[解析]　(1)由于函数y＝x0.1在第一象限内单调递增，

又因为1.1<1.2，所以1.10.1<1.20.1.

(2)由于函数y＝x－0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24<0.25，所以0.24－0.2>0.25－0.2.

误区警示

用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论

例5 已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．

[错解]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.

∵m∈N*，∴m＝1,2.

又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．

又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.

又 ∵y＝x－是减函数，由(a＋1)－<(3－2a)－，得a＋1>3－2a.解得<a.

[错因分析]　该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．

[正解]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.

∵m∈N*，∴m＝1,2.

又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．

又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，由(a＋1)－<(3－2a)－，得a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<.

[方法点拨]　解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．

学科素养

新定义题

新定义问题都要按照定义要求，变形为普通的运算表达的函数形式，再使用相关方法获得结论．考查逻辑推理及直观想象素养．

例6 定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．

[分析]　按定义用分段函数表示f(x)，使用图象求解．

[解析]　因为f(x)＝max{x2，x－2}，

x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，

所以f(x)总是取x2和x－2中最大的一个值．

令x2>x－2，得x2>1，所以x>1或x<－1.

令x2≤x－2，得－1≤x≤1且x≠0，

所以f(x)＝

函数f(x)的图象如图所示：

由图可知f(x)在x＝－1与x＝1时取最小值1.

所以函数f(x)的最小值为1.

课堂检测·固双基

1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为(　B　)

A．0　　 B．1　　

C．2　　 D．3

[解析]　显然，根据幂函数定义可知，只有y＝＝x－2是幂函数．

2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过(　A　)

A．第四象限 B．第三象限

C．第二象限 D．第一象限

[解析]　∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，

∴图象不可能经过第四象限，故选A．

3．(2019·山东金乡县高一期中测试)已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象过点(2，)，则函数f(x)的值域为(　C　)

A．(－∞，0) B．(0，＋∞)

C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)

[解析]　由题意得＝2α，∴α＝－1.

∴f(x)＝x－1＝≠0，

∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

4．幂函数f(x)的图象过点(2，)，那么f(9)的值是__3__.

[解析]　设f(x)＝xα，∴＝2α，∴2＝2α，

∴α＝，∴f(x)＝x，∴f(9)＝9＝3.

5．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

(1)(－1.5)3，(－1.4)3；(2)，.

[解析]　(1)设f(x)＝x3，则f(x)在R上为增函数．

∵－1.5<－1.4，∴(－1.5)3<(－1.4)3.

(2)设g(x)＝，则g(x)在(－∞，0)上为减函数．

∵－1.5<－1.4<0，∴>.