高中数学人教版新课标A必修12.3 幂函数同步训练题

第二章　基本初等函数(Ⅰ)

2.3　幂函数

基础过关练

题组一　幂函数的概念

1.(2019湖南长沙南雅中学高一下期中)下列函数是幂函数的是(　　)

A.y=2x2 B.y=x3+x C.y=3x D.y=

2.已知α为常数,幂函数f(x)=xα满足f=2,则f(3)=(　　)

A.2 B. C.- D.-2

3.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是(　　)

A.y= B.y=

C.y= D.y=

4.若幂函数f(x)的图象经过点,则f(x)的定义域为　(　　)

A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞)

C.[0,+∞) D.(0,+∞)

5.已知幂函数f(x)的图象过点(25,5).

(1)求f(x)的解析式;

(2)若函数g(x)=f(2-lg x),求g(x)的定义域、值域.

题组二　幂函数的图象及其应用

6.在同一平面直角坐标系中,函数y=xa(a≠0)和y=ax+的图象可能是(　　)

7.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则(　　)

A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1

C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1

8.(2019宁夏银川一中高一上期中)函数y=loga(2x-3)+4的图象恒过定点A,且点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)=　　　　. 

9.已知x2>,则x的取值范围是　　　　　　　. 

10.若对数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,3),则f(4)+g(4)=　　　　.  

题组三　幂函数的性质及综合应用

11.设α∈-1,,1,2,3,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　)

A.1,3 B.1,2 C.2,3 D.-1,1,3

12.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>c>b B.a>b>c

C.c>a>b D.b>c>a

13.(2020安徽安庆高一上期末教学质量调研监测)已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)·xa在区间(0,+∞)上是单调递增函数,则a的值为(　　)

A.3 B.-1 C.-3 D.1

14.已知幂函数f(x)=(m∈N*).

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;

(2)若函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.

能力提升练

一、选择题

1.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考,★★☆)已知a,b,c,d∈R,函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在[a,c]上是奇函数,则f(1)的值(　　)

A.随a,b,c,d的取值而变化 B.只与a的取值有关

C.与a和c的取值都有关 D.为0

2.(2020安徽屯溪一中高一上期中,★★☆)若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为(　　)

A.(-2,+∞) B.(1,+∞) C.(-1,+∞) D.(2,+∞)

3.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测,★★☆)函数y=xa,y=ax,y=logax,其中a>0,且a≠1,存在某个实数a,使得以上三个函数图象在同一平面直角坐标系中,则其图象只可能是(　　)

4.(2020山西长治二中高一上期中,★★☆)若a>b>1,0<c<1,则(　　)

A.ac<bc B.abc<bac

C.alogbc<blogac D.logac<logbc

5.(2020河南省实验中学高一上期中,★★★)我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征,如函数f(x)=的图象大致是(　　)

二、填空题

6.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,★★☆)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则函数f(x)=　　　　,若f(2-a)>f(a-1),则实数a的取值范围是　　　　. 

7.(2019广东中山纪念中学高一上第一次大考,★★★)若关于x的函数f(x)=(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为　　　　. 

三、解答题

8.(2019四川成都七中高一上期中,★★☆)设函数f(x)=xk(x∈R,k为常数).

(1)当k=3时,判断函数f(x)的奇偶性,并证明;

(2)当k=1时,设函数g(x)=f(x)-,利用函数单调性的定义证明函数g(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.

9.(2020山东泰安一中高一上期中,★★☆)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.

答案全解全析

第二章　基本初等函数(Ⅰ)

2.3　幂函数

基础过关练

1.D　y=2x2,y=x3+x不是幂函数;y=3x是指数函数;y=是幂函数,故选D.

2.B　∵α=2,∴α=lo2,∴f(3)=3α=.

3.D　A中定义域、值域都是R;B中定义域、值域都是(0,+∞);C中定义域、值域都是R;D中定义域为R,值域为[0,+∞).

4.D　设f(x)=xα,则=2α,

即2α=,

∴α=-,∴f(x)==,

其定义域为(0,+∞),故选D.

5.解析　(1)设f(x)=xα,则由题意可知25α=5,∴α=,∴f(x)=.

(2)∵g(x)=f(2-lg x)=,

∴要使g(x)有意义,只需2-lg x≥0,

且x>0,解得0<x≤100,

∴g(x)的定义域为(0,100].

又2-lg x≥0,

∴g(x)的值域为[0,+∞).

6.B　综合选项可知,函数y=ax+的图象与y轴交点在x轴下方,∴<0,∴a<0,∴函数y=ax+在R上递减,排除A、C,由幂函数的性质知,当a<0,x>0时,y=xa为减函数,B中图象符合,故选B.

7.B　解法一:在(0,1)内取一值x0,作直线x=x0及y=x,与各图象有交点,如图所示.根据“点低指数大”,由图可得,0<m<1,n<-1.

解法二:根据幂函数图象增减性知m>0,n<0,由直线x=1右侧图象对应的幂函数的指数逆时针增大,知n<-1,由图象上凸知0<m<1,故选B.

8.答案　9

解析　当2x-3=1时,x=2,

此时y=loga1+4=4,

∴y=loga(2x-3)+4的图象恒过点(2,4).

设f(x)=xα,

则2α=4=22,

解得α=2,

∴f(x)=x2,∴f(3)=32=9.

9.答案　(-∞,0)∪(1,+∞)

解析　作出函数y=x2和y=的图象(如图所示).

由图象易知,x<0或x>1时,x2>.

故x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).

10.答案　15

解析　设f(x)=logax(a>0,且a≠1),g(x)=xα,由题意可得3=loga2,3=2α,即a=,α=log23,所以f(4)+g(4)=lo4+=6+9=15.

11.A　当α=-1时,幂函数y=x-1的定义域为{x|x∈R,且x≠0},不符合题意;当α=时,幂函数y=的定义域为[0,+∞),不符合题意;当α=1时,幂函数y=x的定义域为R且为奇函数,符合题意;当α=2时,幂函数y=x2的定义域为R且为偶函数,不符合题意;当α=3时,幂函数y=x3的定义域为R且为奇函数,符合题意.故选A.

12.A　因为y=(x>0)为增函数,所以a>c.

因为y=x(x∈R)为减函数,所以c>b,所以a>c>b.故选A.

13.A　由题意知a2-2a-2=1,解得a=3或a=-1,又f(x)在区间(0,+∞)上是单调递增函数,所以a=3,故选A.

14.解析　(1)∵m∈N*,∴m2+m=m×(m+1)为偶数.

令m2+m=2k,k∈N*,则f(x)=,

∴f(x)的定义域为[0,+∞), f(x)在[0,+∞)上为增函数.

(2)由题意可得==,∴m2+m=2,解得m=1或m=-2(舍去),

∴f(x)=.

由(1)知f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,

∴f(2-a)>f(a-1)等价于2-a>a-1≥0,解得1≤a<,故实数a的取值范围为.

能力提升练

一、选择题

1.D　由f(x)在[a,c]上是奇函数知

∴f(1)=a+b+c+d=a+c=0,故选D.

2.B　由题意得,m+2=1,解得m=-1,故f(x)=xa,

将(2,4)代入函数的解析式得2a=4,解得a=2,故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1),

令x-1>0,解得x>1,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,故选B.

3.C　记①y=xa,②y=ax,③y=logax,

在选项A中,函数①②中的a>1,函数③中的0<a<1,错误;

在选项B中,函数①③中的a>1,函数②中0<a<1,错误;

在选项C中,三个函数中均有0<a<1,可能正确;

选项D中,函数②③中a>1,函数①中0<a<1,错误.故选C.

4.C　已知a>b>1,0<c<1,

设f(x)=xc,则f(x)=xc在(0,+∞)上是增函数,∴ac>bc,故A错误.

设f(x)=xc-1,则f(x)=xc-1在(0,+∞)上为减函数,∴ac-1<bc-1,∴abc>bac,故B错误.由题易得logac<0,logbc<0,logab<1,∵logab==<1,∴0>logac>logbc,故D错误.又∵a>b>1,∴blogac>alogbc,故C正确.

5.C　由题易知1-x2≠0,即x≠±1,

∴函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).

当x<-1时,f(x)>0;

-1<x<0时,f(x)<0;

0<x<1时,f(x)>0;

x>1时,f(x)<0.结合选项知C正确.

二、填空题

6.答案　;1,

解析　设f(x)=xα,由f(4)=4α=2,得α=,于是f(x)==,所以f(x)的定义域为[0,+∞),且其在定义域内为增函数.

所以f(2-a)>f(a-1),即>,即解得1≤a<.所以实数a的取值范围是1,.

7.答案　2

解析　由题得f(x)==t+.设F(x)=f(x)-t=,则F(x)是奇函数.由f(x)的最大值为M,最小值为N得,F(x)的最大值为M-t,最小值为N-t,又F(x)是奇函数,所以(M-t)+(N-t)=0,即M+N=2t,又M+N=4,所以t=2.

三、解答题

8.解析　(1)函数f(x)为奇函数.

证明如下:当k=3时, f(x)=x3,

其定义域为R,关于原点对称.

∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),

∴f(x)为R上的奇函数.

(2)证明:当k=1时, f(x)=x,

则函数g(x)=x-.

任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,

则g(x1)-g(x2)=-=(x1-x2)-=(x1-x2)+=.

∵x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0,x1x2+4>0,

∴g(x1)-g(x2)>0,即g(x1)>g(x2).

故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数.

9.解析　(1)由题意得m2-5m+7=1,

即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.

又f(x)为偶函数,所以m=3,此时f(x)=x2.

(2)结合(1)知,g(x)=x2-ax-3,因为g(x)=x2-ax-3在[1,3]上不是单调函数,所以1<<3⇒2<a<6,即a的取值范围为(2,6).