高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时学案设计，共10页。
第2课时　诱导公式(二)必备知识·探新知基础知识知识点1　诱导公式五思考1：(1)角－α与角α的终边有什么样的位置关系？(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是什么？提示：(1)如图，角－α与角α的终边关于y＝x对称．(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a)．知识点2　诱导公式六思考2：如何由公式四及公式五推导公式六？提示：sin(＋α)＝sin[π－(－α)]＝sin(－α)＝cosα，cos(＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－sinα.知识点3　对诱导公式的理解1．对诱导公式五、六的两点说明(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．2．对诱导公式一～六的两点说明(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．(2)公式一～六的记忆口诀和说明①口诀：奇变偶不变，符号看象限．②说明：思考3：六组诱导公式各有什么作用？提示：公式一：将角化为0～2π内的角求值；公式二：将0～2π内的角转化为0～π内的角求值；公式三：将负角转化为正角求值；公式四：将～π内的角转化为0～内的角求值；公式五、公式六：实现正弦与余弦的相互转化．基础自测1．已知sinα＝，则sin(＋α)的值为(　D　)A．－ B．－C． D．±[解析]　∵sinα＝，∴cosα＝±，∴sin(＋α)＝cosα＝±，故选D．2．已知sin(＋α)＝，那么cosα＝(　B　)A．－ B．－C． D．[解析]　因为sin(π＋α)＝sin(2π＋＋α)＝sin(＋α)＝－cosα，所以cosα＝－，故选B．3．下列与sin(θ－)的值相等的式子为(　D　)A．sin(＋θ) B．cos(＋θ)C．cos(－θ) D．sin(＋θ)[解析]　sin(θ－)＝－sin(－θ)＝－cosθ.对于A，sin(＋θ)＝cosθ；对于B，cos(＋θ)＝－sinθ；对于C，cos(－θ)＝cos[π＋(－θ)]＝－cos(－θ)＝－sinθ；对于D，sin(＋θ)＝sin[π＋(＋θ)]＝－sin(＋θ)＝－cosθ.故选D．4．化简：1＋cos(＋α)·sin(－α)·tan(π＋α)＝__cos2α__.[解析]　原式＝1－sinα·cosα·tanα＝1－sin2α＝cos2α.5．化简：＝__－sinα__.[解析]　∵π－α＝π＋－α，π＋α＝π＋＋α，∴原式＝＝－sinα.关键能力·攻重难题型探究题型一　利用诱导公式进行化简、求值例1 计算：(1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；(2).[分析]　利用诱导公式，先化简再求值．[解析]　(1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝－1＋1－＋＝.(2)原式＝＝＝＝＝＝.[归纳提升]　利用诱导公式化简三角函数式的步骤用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．【对点练习】❶ .[解析]　原式＝＝＝＝.题型二　三角恒等式的证明例2 求证：＝.[分析]　.[证明]　左边＝＝＝＝＝＝.右边＝＝＝.∴左边＝右边，故原式得证．[归纳提升]　对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．【对点练习】❷ 求证：＝－1.[证明]　左边＝＝＝＝－1＝右边，故原式得证．题型三　诱导公式与函数结合的运用例3 已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．[分析]　解答此题的关键是利用诱导公式对f(α)进行化简，进而利用cos(α－)＝，求出cosα的值以达到求f(α)的目的．[解析]　(1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)因为cos(α－)＝－sinα＝，所以sinα＝－，又α是第三象限角，所以cosα＝－＝－＝－，所以f(α)＝－cosα＝.[归纳提升]　用诱导公式化简求值的方法(1)解决与函数有关问题的关键就是利用诱导公式对表达式进行化简．(2)运用诱导公式时要特别注意三角函数在各象限的符号．【对点练习】❸ 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点(m，)．(1)求tanα的值；(2)求的值．[解析]　(1)由题得m2＋()2＝1，所以m＝±，因为角α的终边在第二象限，所以m＝－.所以tanα＝＝－2.(2)＝＝＝＝－.误区警示对诱导公式理解不透彻而致错例4 已知sin(x＋)＝，则sin(－x)＋sin2(－x)＝____.[错解]　∵sin(x＋)＝，∴cos[－(x＋)]＝cos(－x)＝sin(x＋)＝，∴sin(－x)＋sin2(－x)＝sin[π－(x＋)]＋[1－cos2(－x)]＝－sin(x＋)＋[1－cos2(－x)]＝－＋[1－()2]＝.[错因分析]　在利用诱导公式sin(π－α)时，没能正确利用“符号看象限”来判断符号．[正解]　∵sin(x＋)＝，∴cos[－(x＋)]＝cos(－x)＝sin(x＋)＝，∴sin(－x)＋sin2(－x)＝sin[π－(x＋)]＋[1－cos2(－x)]＝sin(x＋)＋[1－cos2(－x)]＝＋[1－()2]＝.[方法点拨]　利用诱导公式解题时，只有在利用诱导公式时才视公式中的角为锐角，变换前后原来是什么角就是什么角．学科素养分类讨论思想在三角函数化简中的应用例5 化简：sin＋cos(n∈Z)．[分析]　(1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论；(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．[解析]　当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则原式＝sin＋cos＝sin[2kπ＋(－－α)]＋cos[2kπ＋(－α)]＝sin(－－α)＋cos(－α)＝－sin(＋α)＋cos[－(＋α)]＝－sin(＋α)＋sin(＋α)＝0.当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则原式＝sin＋cos＝sin[2kπ＋(－α)]＋cos[2kπ＋(－α)]＝sin(－α)＋cos(－α)＝sin[π－(＋α)]＋cos[π＋(－α)]＝sin(＋α)－cos(－α)＝sin(＋α)－cos[－(＋α)]＝sin(＋α)－sin(＋α)＝0.故sin(π－α)＋cos(π－α)＝0.[归纳提升]　1.本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．课堂检测·固双基1．若cos65°＝a，则sin25°的值是(　B　)A．－a B．aC． D．－[解析]　sin 25°＝sin(90°－65°)＝cos 65°＝a.2．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是(　B　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]　因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．3．已知cos＝－，且α是第二象限角，则sin的结果是(　B　)A． B．－C．± D．[解析]　∵cos＝－，∴－sinα＝－，∴sinα＝，又α是第二象限角，∴cosα＝－，∴sin＝cosα＝－.4．若α∈(π，)，则＝(　B　)A．sinα B．－sinαC．cosα D．－cosα[解析]　∵α∈(π，π)，∴sinα<0，∴＝＝－sinα.5．(2019·青岛二中高一月考)已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为(　A　)A．－ B．－C．－ D．－4[解析]　∵角α的终边上有一点P(1,3)，在第一象限，∴由三角函数的定义知sinα＝，cosα＝.∵＝＝＝－.∴选A．