高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换学案设计

5.5.2　简单的三角恒等变换

【素养目标】

1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)

2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)

3．进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)

【学法解读】

在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．

必备知识·探新知

基础知识

知识点　半角公式

cos＝±(C)，

sin＝±(S)，

tan＝±(T)．

思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？

(2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？

(3)半角公式对α∈R都成立吗？

提示：(1)二倍角的余弦公式．推导如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，即得：cosα＝1－2sin2＝2cos2－1.

所以sin2＝，

cos2＝，

tan2＝.开方可得半角公式．

(2)不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号．

(3)公式C，S对α∈R都成立，但公式T要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．

基础自测

1．下列说法中正确的个数是(　A　)

①sin＝±.

②cos20°＝±.

③tan＝＝.

④sin4α＋cos4α＝2sin(4α＋)．

A．1　　  B．2　　

C．3　　  D．4

[解析]　①②③错误，④正确，故选A．

2．已知180°<α<360°，由cos的值等于(　C　)

A．－ B．

C．－ D．

3．已知cosα＝，α∈，则sin等于(　B　)

A．－ B．

C． D．－

[解析]　∵α∈，∴∈，

∴sin＝＝.

4．sinx－cosx等于(　C　)

A．sin2x　　　　　　　　 B．sin

C．sin D．sin

[解析]　原式＝

＝sin.

5．已知cos θ＝，且270°<θ<360°，试求sin和cos的值．

[解析]　∵270°<θ<360°，∴135°<<180°，

∴sin>0，cos<0.

∴sin＝＝＝；

cos＝－＝－＝－.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　应用半角公式给角求值

例1 求下列式子的值：

sin 75°、cos 75°、tan 75°.

[分析]　75°是150°的半角．

[解析]　sin 75°＝＝

＝＝＝

＝＝.

cos 75°＝＝＝

＝＝＝＝.

tan 75°＝＝＝＝2＋.

或tan 75°＝＝＝＝2＋.

或tan 75°＝＝＝2＋.

或tan 75°＝＝＝2＋.

[归纳提升]　求sin 75°、cos 75°，利用sin(45°＋30°)，cos(45°＋30°)求解不易出错，但比较麻烦．而应用半角公式化简容易化简不到位．tan 75°的求解应注意选择合理的公式．当然sin 75°、cos 75°，可以先利用诱导公式将角变小，sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°，cos 75°＝cos(90°－15°)＝sin 15°，再利用半角公式求解．

【对点练习】❶ 求值tan＋.

[解析]　方法一：tan＋＝＋

＝＋＝＋

＝＋2＋＝－1＋2＋＝1＋＋.

方法二：tan＋＝＋

＝＋＝－1＋2＋＝1＋＋.

题型二　应用半角公式求值

例2 已知sinθ＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan.

[分析]　已知条件中的角θ与所求角中的成二倍关系，从而选择半角公式求值．

[解析]　∵sinθ＝，<θ<3π，

∴cosθ＝－＝－.

∵<<，

∴sin＝－＝－，

cos＝－＝－，tan＝＝2.

[归纳提升]　已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．

【对点练习】❷ 设π<θ<2π，cos＝－，求：

(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2的值．

[解析]　(1)∵π<θ<2π，∴<<π，

又cos＝－，∴sin＝

＝＝，

∴sinθ＝2sincos＝2×(－)×＝－.

(2)cosθ＝2cos2－1＝2×(－)2－1＝－.

(3)sin2＝＝＝.

题型三　三角恒等式的化简与证明

例3 求证：tan－tan＝.

[分析]　可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x＝－，2x＝＋，从消除等式两边角的差异入手考虑．

[证明]　证法一：tan－tan＝－

＝＝

＝＝

＝.

证法二：＝

＝＝－

＝tan－tan.

[归纳提升]　化简问题中的“三变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．

【对点练习】❸ 求证：＝sin2α.

[证明]　证法一　左边＝

＝

＝＝

＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．

∴原式成立．

证法二　左边＝

＝＝sinαcosα＝sin2α＝右边．

∴原式成立．

证法三：　左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．

∴原式成立．

误区警示

忽略对角的终边所在象限的讨论

例4 已知sinα＝，求sin，cos与tan的值．

[错解]　∵sinα＝，∴cosα＝±.

(1)当cosα＝时，sin＝±＝±，cos＝±＝±，tan＝＝±.

(2)当cosα＝－时，sin＝±＝±，cos＝±＝±，tan＝＝±3.

[错因分析]　由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角，从而必为第一或第三象限角，所以tan的值必然为正．上述解法中忽视了sinα>0，从而为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的tan有正负两个值．

另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sin，cos与tan的值的对应情况，依上述解法，sin，cos与tan的值对应着2×2×2＋2×2×2＝16(组)情况，但实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况．

[正解]　由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角．

(1)当α是第一象限角时，cosα＝，且为第一或第三象限角，于是

①当为第一象限角时，sin＝＝，cos＝＝，tan＝＝；

②当为第三象限角时，sin＝－，cos＝－，tan＝＝.

(2)当α是第二象限角时，cosα＝－，且为第一或第三象限角，于是

①当为第一象限角时，sin＝，cos＝，tan＝＝3；

②当为第三象限时，sin＝－，cos＝－，tan＝＝3.

[方法点拨]　(1)应用公式sin＝±，cos＝±以及tan＝±时，一定要注意根号前的符号是由的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误．另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果．(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致．

学科素养

三角恒等变换的综合应用

三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点．

例5 已知f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)．

(1)若tanα＝2，求f(α)的值；

(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围．

[分析]　(1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α与cos2α的值，代入f(x)求f(α)．

(2)将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解．

[解析]　(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin(x＋)·cos(x＋)＝＋sin2x＋sin(2x＋)

＝＋(sin2x－cos2x)＋cos2x

＝(sin2x＋cos2x)＋.

由tanα＝2，得sin2α＝＝＝.

cos2α＝＝＝－.

所以，f(α)＝(sin2α＋cos2α)＋＝.

(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin(2x＋)＋.由x∈[，]，得≤2x＋≤.

所以－≤sin(2x＋)≤1,0≤f(x)≤.

所以f(x)的取值范围是[0，]．

[归纳提升]　利用三角恒等变换的解题技巧

(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．

(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．

课堂检测·固双基

1．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝(　A　)

A．－　　 B．　　

C．2　　  D．－2

[解析]　∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－.

∴＝＝＝·＝＝＝－.故选A．

2．若θ∈[，]，且sin2θ＝，则sinθ＝(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式．∵θ∈[，]，∴2θ∈[，π]，

∴sinθ>0，cos2θ<0，∴cos2θ＝－＝－，

又sin2θ＝，∴sin2θ＝，∴sinθ＝，故选D．

3．设－3π<α<－，则化简的结果是(　C　)

A．sin B．cos

C．－cos D．－sin

[解析]　∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，

∴cos<0，

∴原式＝＝|cos|＝－cos.

4．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有(　C　)

A．c<b<a B．a<b<c

C．a<c<b D．b<c<a

[解析]　a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝sin26°，c＝＝sin25°，∴b>c>a.故选C．

5．已知tan(α＋)＝2，则的值为(　A　)

A．－ B．

C． D．－

[解析]　tanα＝tan[(α＋)－]

＝＝，

原式＝＝tanα－＝－＝－，故选A．