人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念第1课时导学案，共7页。学案主要包含了素养目标，学法解读，对点练习等内容，欢迎下载使用。
5.2　三角函数的概念5.2.1　三角函数的概念【素养目标】1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学建模)2．理解三角函数的概念．(数学抽象)3．熟练掌握三角函数值在各象限的符号．(直观想象)4．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算)5．通过对三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力．(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中利用坐标系中单位圆给出角的三角函数的定义，由三角函数定义判断出函数值符号，得出其结论“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．第1课时　三角函数的概念(一) 必备知识·探新知基础知识知识点1　三角函数的定义(坐标法)如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝____，cos α＝____，tan α＝____.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为__三角函数__，通常将它们记为：正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z).思考1：(1)在初中是如何定义锐角三角函数的？(2)如果改变α终边上点P的位置，a，b，r均会改变，那么，，这三个比值会改变吗？为什么？提示：(1)如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离r＝>0，过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，MP的长度为b，则有sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.(2)不会改变．如图，sin α＝＝，sin α＝＝，其中r1＝，r2＝，又△MOP∽△NOQ，∴＝，∴＝，同理可知＝，＝.因此，，这三个比值不会改变．知识点2　三角函数的定义(单位圆法)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，那么：sin α＝y；cos α＝x；tan α＝(x≠0)．思考2：(1)什么是单位圆？(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点的位置的改变而改变？提示：(1)单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆．(2)不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．基础自测1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应．(　×　)(2)sinα，cosα，tanα的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关．(　√　)(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　×　)(4)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－.(　×　)2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　D　)A．　　　　　　　 B．C．－ D．－[解析]　r＝＝5，∴cos α＝＝－，故选D．3．若角α的终边与单位圆相交于点(，－)，则sinα的值为(　B　)A．　 B．－　 　C．　 D．－1[解析]　x＝，y＝－，则sinα＝y＝－.4．已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于____.[解析]　由三角函数的定义，tanα＝＝2，cosα＝＝，∴tanα·cosα＝.关键能力·攻重难题型探究题型一　利用三角函数的定义求三角函数值例1 (1)若角α的终边与单位圆的交点是P(x，)，则sinα＝____，cosα＝__±__，tanα＝__±__.(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝__－__.(3)若角α的终边在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．[分析]　(1)先求出x的值，再计算；(2)利用三角函数的定义的推广求解；(3)先在终边上取点，再利用定义求解．[解析]　(1)依题意，x2＋()2＝1，解得x＝±，于是sinα＝，cosα＝±，tanα＝＝±.(2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，∴cosα＝＝－，解得x＝，∴P(－，－6)，∴sinα＝－，∴tanα＝＝，则＋＝－＋＝－.(3)设P(a，a)(a≠0)是其终边上任一点，则tanα＝＝，r＝＝2|a|，当a>0时，sinα＝＝，cosα＝＝；当a<0时，sinα＝＝－，cosα＝＝－.所以tanα＝，sinα＝，cosα＝或tanα＝，sinα＝－，cosα＝－.[归纳提升]　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sinα＝，cosα＝.(4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．【对点练习】❶ 已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．[解析]　当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝＝，得：sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝2.题型二　三角函数概念的综合应用例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．[解析]　由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，sin α＝＝＝－，＝＝＝，所以10sin α＋＝10×(－)＋3＝－3＋3＝0.(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，sin α＝＝＝，＝＝＝－，所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.综上所述，10sin α＋＝0.[归纳提升]　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.【对点练习】❷ 已知角θ的终边在射线y＝－x(a≠0，y<0)上，且tan θ＝－a，求sin θ，cos θ的值．[解析]　因为角θ的终边在射线y＝－x(a≠0，y<0)上，所以可设P(a，－1)(a≠0)为角θ终边上任意一点，则r＝(a≠0)．又tan θ＝－a，所以－＝－a，解得a＝±1.当a＝1时，r＝，sin θ＝－，cos θ＝；当a＝－1时，r＝，sin θ＝－，cos θ＝－.课堂检测·固双基1．角α的终边上有一点P(1，－1)，则sinα的值是(　B　)A． B．－C．± D．1[解析]　利用三角函数定义知：sin＝＝＝－.2．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是(　B　)A．(，) B．(－，)C．(－，) D．(，－)3．已知角α的终边与单位圆的交点为(－，y)(y<0)，则sin αtan α＝__－__.4．已知角α的终边上一点坐标为(－3，a)，且α为第二象限角，cos α＝－，则sin α＝____.5．利用定义求sin、cos、tan的值．[解析]　如图所示，在坐标系中画出角π的终边．设角的终边与单位圆的交点为P，则有P(－，－)．∴tan＝＝1，sin＝－，cos＝－.