人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换学案

5.5.2　简单的三角恒等变换

(教师独具内容)

课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及证明三角恒等式．

教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明．

教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.

【知识导学】

知识点一　　　半角公式

知识点二　　　积化和差与和差化积公式

(1)积化和差公式

sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．

sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

(2)和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sincos.

sinα－sinβ＝2cossin.

cosα＋cosβ＝2coscos.

cosα－cosβ＝－2sinsin.

【新知拓展】

辅助角公式

辅助角公式：asinx＋bcosx

＝sin(x＋φ).

推导过程：asinx＋bcosx

＝.

令cosφ＝，sinφ＝，

则asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)，

其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝确定或由sinφ＝和cosφ＝共同确定．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知cosα＝，α∈(0，π)，则sin＝－.(　　)

(2)cos2－＝.(　　)

(3)函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)的最小正周期为π.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)若cosα＝，α∈(0，π)，则cos的值为(　　)

A.  B．－  C．±  D．±

(2)已知cosα＝，α∈，则sin等于(　　)

A．－  B.  C.  D．－

(3)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是(　　)

A．1  B.  C.  D．1＋

(4)若tanα＝2，则tan＝________.

答案　(1)A　(2)B　(3)C　(4)

题型一  利用半角公式求值

例1　已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．

[解]　∵π<α<，sinα＝－，

∴cosα＝－，且<<，

∴sin＝＝，

cos＝－＝－，

tan＝＝－2.

金版点睛

由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤

(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．一般讨论角所在象限．

(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：

①先化简所求的式子．

②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．

③将已知条件代入所求式子，化简求值．

　已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．

解　由题意，得2＝，

即1－sinα＝，得sinα＝.

∵450°<α<540°，∴cosα＝－，

∴tan＝＝＝2.

题型二  三角函数式的化简

例2　化简：(π<α<2π)．

[解]　原式＝

＝

＝.

又∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，

∴原式＝＝cosα.

[变式探究]　将本例改为化简：

(180°<α<360°)．

解　原式＝

＝

＝＝.

∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴sin>0，

∴原式＝－cosα.

金版点睛

化简问题中的“三变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．

　化简：

(1)－；

(2).

解　(1)原式＝－，

∵<θ<2π，∴<<π，

∴0<sin<，－1<cos<－，

从而sin＋cos<0，sin－cos>0.

∴原式＝－－

＝－2sin.

(2)原式＝＝cos2α·

＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α.

题型三  三角恒等式的证明

例3　求证：tan－tan＝.

[证明]　证法一：tan－tan＝－

＝＝

＝＝

＝.

∴原式成立．

证法二：＝

＝＝－

＝tan－tan.

∴原式成立．

金版点睛

在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法.

　求证：＝1－.

证明　证法一：左边＝

＝

＝1－＝1－＝右边．

∴原等式成立．

证法二：右边＝1－

＝

＝

＝＝左边．

∴原式成立.

题型四  利用辅助角公式研究函数性质

例4　已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

[解]　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2

＝sin＋1－cos

＝2＋1

＝2sin＋1

＝2sin＋1，

∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，

有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，

∴所求x的集合为{x.

金版点睛

1为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型余弦型函数，这是解决问题的前提.

2解此类题时要充分运用两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.

　已知函数f(x)＝4cosxsin－1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

解　(1)f(x)＝4cosxsin－1

＝4cosx－1

＝sin2x＋2cos2x－1

＝sin2x＋cos2x

＝2sin，

所以f(x)的最小正周期为π.

(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.

于是当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2；

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1.

题型五  三角变换的实际应用

例5　如图，A，B是半径为1的圆O上任意两点，以AB为一边作等边三角形ABC.当点A，B处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多少？

[解]　如图，设∠AOB＝θ(0<θ<π)，四边形OACB的面积为S.取AB的中点D，连接OD，CD，则OD⊥AB，CD⊥AB.

在Rt△ODA中，OA＝1，∠AOD＝，

所以AD＝OAsin∠AOD＝sin，

OD＝OAcos∠AOD＝cos，

所以AB＝2AD＝2sin.

因为△ABC为等边三角形，

所以CD＝ACsin∠CAB＝2sinsin60°＝sin.

所以S＝S△ABC＋S△AOB

＝CD·AB＋OD·AB

＝×sin×2sin＋×cos×2sin

＝sin2＋sinθ

＝×＋sinθ

＝sinθ－cosθ＋

＝sin＋.

因为0<θ<π，所以－<θ－<.

所以当θ－＝，即θ＝时，S取得最大值1＋.

所以当OA与OB的夹角为时，四边形OACB的面积最大，最大面积是1＋.

金版点睛

解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.

　有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD建为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，才能使矩形ABCD的面积最大？

解　画出图形如图所示．

设∠AOB＝θ，θ∈，

则AB＝asinθ，OA＝acosθ.

设矩形ABCD的面积为S，

则S＝2OA·AB

＝2acosθ·asinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.

因为θ∈，所以2θ∈(0，π)．

当2θ＝，即θ＝时，Smax＝a2，

此时点A，D距离点O均为a.

1．已知sinα＝，则cos等于(　　)

A.  B．－  C．－  D.

答案　D

解析　∵sinα＝且0<α<，∴cosα＝.又cosα＝2cos2－1，∴cos2＝＝，

∵0<<，∴cos＝.

2.·等于(　　)

A．tanα  B．tan2α  C．1  D.

答案　B

解析　原式＝＝＝＝tan2α.

3．函数y＝3sinx＋cosx，x∈的值域为________．

答案　[－3,2]

解析　函数y＝3sinx＋cosx＝2sin，

又x∈，

∴x＋∈，

∴sin∈，

∴2sin∈[－3,2]．

4．求值：＝________.

答案　－1

解析　＝

＝＝－1.

5．已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．

解　(1)f(x)＝sin2xcos＋cos2xsin＋sin2xcos－cos2xsin＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)因为f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，又f＝－1，f＝，f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.