(广东版)2021年中考数学模拟练习卷05（含答案）

这是一份(广东版)2021年中考数学模拟练习卷05（含答案），共24页。试卷主要包含了的倒数是，定义，下列运算结果正确的是，一次函数y=﹣x﹣2的图象经过等内容，欢迎下载使用。
中考数学模拟练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．的倒数是（　　）
A．2016 B． C．﹣2016 D．﹣
2．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（　　）

A．30° B．15° C．18° D．20°
4．北京故宫的占地面积达到720 000平方米，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.72×106平方米 B．7.2×106平方米
C．72×104平方米 D．7.2×105平方米
5．定义：一个自然数，右边的数字总比左边的数字小，我们称它为“下滑数”（如：32，641，8531等）．现从两位数中任取一个，恰好是“下滑数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为（　　）

A．30 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
7．对于代数式ax2﹣2bx﹣c，当x取﹣1时，代数式的值为2，当x取0时，代数式的值为1，当x取3时，代数式的值为2，则当x取2时，代数式的值是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
8．下列运算结果正确的是（　　）
A．（x3﹣x2+x）÷x=x2﹣x B．（﹣a2）•a3=a6
C．（﹣2x2）3=﹣8x6 D．4a2﹣（2a）2=2a2
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
10．一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
　
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．比较大小：　 　．（填“＞”、“＜”或“=”）[来源:
12．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为　 　．
13．若不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围是　 　
14．如图大矩形的长10cm，宽8cm，阴影部分的宽2cm，则空白部分的面积是　 　cm2．

15．如果|x+1|+（y+1）2=0，那么代数式x2017﹣y2018的值是　 　．
16．如图，已知图中小正方形的边长为1，△ABC的顶点在格点上，则△ABC的面积为　 　．

　
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）计算：﹣12+﹣（3.14﹣π）0﹣|1﹣|．
18．（6分）先化简，再求值：（+）÷，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
19．（6分）为了迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务．这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面彩旗．如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？
　
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线AE，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：△CEF为等腰三角形．

21．（7分）某校为了丰富学生课余生活，计划开设以下课外活动项目：A一版画、B一机器人、C一航模、D一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有　 　人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是　 　°；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校学生总数为1500人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数．

22．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF，
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD的面积．

　
五．解答题（共3小题，满分9分）
23．（9分）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣6）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B（4，），C（2，﹣5）是否在这个函数的图象上？
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？
24．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为，sinA=，求BH的长．

25．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．

（1）思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌　 　，故EF，BE，DF之间的数量关系为　 　；
（2）类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，则DE的长为　 　．







参考答案与试题解析
一．选择题
1．的倒数是（　　）
A．2016 B． C．﹣2016 D．﹣
【分析】利用倒数的定义判断即可．
【解答】解：的倒数是2016，
故选：A．
【点评】此题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解本题的关键．
2．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
3．如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（　　）

A．30° B．15° C．18° D．20°
【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．
【解答】解：∵正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°=108°，正方形的内角是90°，
∴∠1=108°﹣90°=18°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．
4．北京故宫的占地面积达到720 000平方米，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.72×106平方米 B．7.2×106平方米
C．72×104平方米 D．7.2×105平方米
【分析】根据科学记数法的定义，写成a×10n的形式．a×10n中，a的整数部分只能取一位整数，1≤|a|＜10，且n的数值比原数的位数少1，720 000的数位是6，则n的值为5．
【解答】解：720 000=7.2×105平方米．
故选：D．
【点评】把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：
（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
5．定义：一个自然数，右边的数字总比左边的数字小，我们称它为“下滑数”（如：32，641，8531等）．现从两位数中任取一个，恰好是“下滑数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数：根据题意得知这样的两位数共有90个；
②符合条件的情况数目：从总数中找出符合条件的数共有45个；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：两位数共有90个，下滑数有10、21、20、32、31、30、43、42、41、40、54、53、52、51、50、65、64、63、62、61、60、76、75、74、73、72、71、70、87、86、85、84、83、82、81、80、98、97、96、95、94、93、92、91、90共有45个，
概率为=．
故选：A．[来源:Z#xx#k.Com]
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
6．如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为（　　）

A．30 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
【分析】因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度．
【解答】解：∵直角△ABC中，∠C=90°，
∴tan∠BAC=，
又∵AC=30cm，tan∠BAC=，
∴BC=AC•tan∠BAC=30×=10（cm）．
故选：C．
【点评】此题考查解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟知tan∠BAC=是解答此题的关键．
7．对于代数式ax2﹣2bx﹣c，当x取﹣1时，代数式的值为2，当x取0时，代数式的值为1，当x取3时，代数式的值为2，则当x取2时，代数式的值是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】根据x=﹣1，代数式的值为2，x=0，代数式的值为1，x=3，代数式的值为2，可知a、b、c的数量关系．
【解答】解：根据题意可知：
当x=﹣1时，
a+2b﹣c=2
当x=0时，
﹣c=1
当x=3时，
9a﹣6b﹣c=2，
联立
∴解得：
∴代数式为﹣x+1
当x=2时，
原式=﹣+1=1
故选：A．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
8．下列运算结果正确的是（　　）
A．（x3﹣x2+x）÷x=x2﹣x B．（﹣a2）•a3=a6
C．（﹣2x2）3=﹣8x6 D．4a2﹣（2a）2=2a2
【分析】根据多项式除以单项式法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方及合并同类项法则计算可得．
【解答】解：A、（x3﹣x2+x）÷x=x2﹣x+1，此选项计算错误；
B、（﹣a2）•a3=﹣a5，此选项计算错误；
C、（﹣2x2）3=﹣8x6，此选项计算正确；
D、4a2﹣（2a）2=4a2﹣4a2=0，此选项计算错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方及合并同类项法则．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=3，
∴DE=2OD=6．
故选：B．
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
10．一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．
【解答】解：∵﹣1＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限；
又∵﹣2＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
　
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．比较大小：　＞　．（填“＞”、“＜”或“=”）
【分析】通分后做差，借助于平方差公式即可求出9﹣4＞0，进而即可得出＞．
【解答】解：∵=，
∴﹣=．
∵（9﹣4）×（9+4）=81﹣80=1＞0，9+4＞0，
∴9﹣4＞0，
∴﹣＞0，即＞．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数大小比较，利用做差法找出﹣＞0是解题的关键．
12．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为　：1　．
【分析】先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
【解答】解：设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°=R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF=∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°=R，
∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，
故答案为：：1．
【点评】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
13．若不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围是　m≥4　
【分析】根据不等式组的解集，同小取小，可得答案
【解答】解：若不等式组的解集是x＜4，
则m≥4，
故答案为：m≥4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14．如图大矩形的长10cm，宽8cm，阴影部分的宽2cm，则空白部分的面积是　48　cm2．

【分析】根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解．
【解答】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为10﹣2=8cm，
宽为8﹣2=6cm，
所以，空白部分的面积是：8×6=48cm2．
故答案为：48．
【点评】本题考查了平移的性质，构想出把四个空白部分平移为一个空白矩形求解更简便．
15．如果|x+1|+（y+1）2=0，那么代数式x2017﹣y2018的值是　﹣2　．
【分析】首先根据非负数的性质求出x、y的值，然后再代值求解．
【解答】解：由题意，得：x+1=0，y+1=0，
即x=﹣1，y=﹣1；
所以x2017﹣y2018=﹣1﹣1=﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．[来源:学科网ZXXK]
16．如图，已知图中小正方形的边长为1，△ABC的顶点在格点上，则△ABC的面积为　5　．

【分析】根据图示，用边长是4的正方形的面积减去两条直角边的长度分别是2、1，4、2，4、3的直角三角形的面积，求出△ABC的面积为多少即可．
【解答】解：△ABC的面积等于边长是4的正方形的面积与两条直角边的长度分别是2、1，4、2，4、3的直角三角形的面积的差，
4×4﹣2×1÷2﹣4×2÷2﹣4×3÷2
=16﹣1﹣4﹣6
=5
∴△ABC的面积为5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及正方形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出边长是4的正方形的面积和两条直角边的长度分别是2、1，4、2，4、3的直角三角形的面积各是多少．
　
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）计算：﹣12+﹣（3.14﹣π）0﹣|1﹣|．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=﹣1++4﹣1﹣（﹣1）
=﹣1++4﹣1﹣+1
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简，再求值：（+）÷，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=[+]÷
=（+）•x
=x﹣1+x﹣2
=2x﹣3
由于x≠0且x≠1且x≠﹣2
所以x=﹣1
原式=﹣2﹣3=﹣5
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（6分）为了迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务．这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面彩旗．如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？
【分析】关键描述语是：“这两个小组的每一名学生就要比原计划多做4面彩旗”．等量关系为：实际每个学生做的彩旗数﹣原来每个学生做的旗数=4．
【解答】解；设每个小组有x名学生，根据题意得：
，
解之得 x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意．
答：每组有10名学生．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
　
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线AE，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：△CEF为等腰三角形．

【分析】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧交AC、AB于M、N，分别以M、N为圆心大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，直线射线AP交BC于E，线段AE即为所求；4
（2）只要证明∠CEF=∠CFE，即可推出CE=CF；
【解答】（1）解：如图线段AE即为所求；

（2）证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，[来源:Z_xx_k.Com]
∴∠ACD=∠B，
∵∠CFE=∠ACF+∠CAF，∠CEF=∠B+∠EAB，∠CAF=∠EAB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（7分）某校为了丰富学生课余生活，计划开设以下课外活动项目：A一版画、B一机器人、C一航模、D一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有　200　人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是　72　°；
（2）请你将条形统计图补充完整；[来源:学|科|网Z|X|X|K]
（3）若该校学生总数为1500人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数．

【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D人数占总人数的比例可得；
（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；
（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得．
【解答】解：（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，
∴这次被调查的学生共有：20÷=200（人）；
选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360°×=72°，
故答案为：200、72；

（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40=60（人）；
补充如图．


（3）1500×=1050（人），
答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF，
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD的面积．

【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=3，AC=2OA=6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE=CF；
（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=3，
∴AC=2OA=6，
在Rt△ABC中，BC=，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=3×3=9．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
　
五．解答题（共3小题，满分9分）
23．（9分）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣6）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B（4，），C（2，﹣5）是否在这个函数的图象上？
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？
【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）把点B（4，），C（2，﹣5）分别代入反比例函数解析式即可；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣6）．
∴﹣6=，
解得，k=18
则反比例函数解析式为y=；
（2）点B（4，），C（2，﹣5），
∴4×=18，2×（﹣5）=10，
∴点B（4，）在这个函数的图象上，
点C（2，﹣5）不在这个函数的图象上；
（3）∵k=18＞0，
∴这个函数的图象位于一、三象限，
在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为，sinA=，求BH的长．

【分析】（1）如图1中，欲证明BD是切线，只要证明AB⊥BD即可；
（2）连接AC，如图2所示，欲证明CE2=EH•EA，只要证明△CEH∽△AEC即可；
（3）连接BE，如图3所示，由CE2=EH•EA，可得EH=，在Rt△BEH中，根据BH=，计算即可；
【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：连接AC，如图2所示：

∵OF⊥BC，
∴=，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴=，
∴CE2=EH•EA；

（3）解：连接BE，如图3所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为，sin∠BAE=，
∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5×=3，
∴EA==4，
∵=，
∴BE=CE=3，
∵CE2=EH•EA，
∴EH=，
∴在Rt△BEH中，BH===．
【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．

（1）思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌　△AFE　，故EF，BE，DF之间的数量关系为　EF=BE+DF　；
（2）类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，则DE的长为　　．
【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；
（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，证明△AFE≌△AFE'，据全等三角形的性质解答；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，根据全等三角形的性质、勾股定理计算．
【解答】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，
∵∠BAF=∠DAG，∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE，
∴EF=FG=FD+FG=FD+BE，
故答案为：△AFE、EF=BE+DF；
（2）EF，BE，DF之间的数量关系是EF=DF﹣BE．
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，
则△ABE≌ADE'，
∴∠DAE'=∠BAE，AE'=AE，DE'=BE，∠ADE'=∠ABE，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∠ADE'=∠ADC，即E'，D，F三点共线，
又∠EAF=∠BAD
∴∠E'AF=∠BAD﹣（∠BAF+∠DAE'）=∠BAD﹣（∠BAF+∠BAE）
=∠BAD﹣∠EAF=∠BAD．
∴∠EAF=∠E'AF，
在△AEF和△AE'F中，
，
∴△AFE≌△AFE'（SAS），
∴FE=FE'，
又∵FE'=DF﹣DE'，
∴EF=DF﹣BE；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，
由（1）得，△AED≌AED'，．
∴DE=D'E．
∵∠ACB=∠B=∠ACD'=45°，
∴∠ECD'=90°，
在Rt△ECD'中，ED'==，即DE=，
故答案为：．


【点评】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．