人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）当堂达标检测题

第四章　4.5　4.5.3

A组·素养自测

一、选择题

1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　D　)

A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)

B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)

D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

[解析]　据题意知：y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．

2．某企业生产的一种电子产品的成本是每件500元，计划在今后的3年内，使成本降低到每件256元，则平均每年成本应降低(　C　)

A．10%　　　　　　　 B．15%

C．20% D．35%

[解析]　设平均每年降低百分比为x，则500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故选C．

3．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为(　C　)

A．100 km　　　　　　　 B．125 km

C．150 km D．225 km

[解析]　t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150 km，故选C．

4．设某产品2018年12月底价格为a元(a>0)，在2019年的前6个月，价格平均每月比上个月上涨10%，后6个月，价格平均每月比上个月下降10%，经过这12个月，2019年12月底该产品的价格为b元，则a，b的大小关系是(　A　)

A．a>b B．a<b

C．a＝b D．不能确定

[解析]　由题意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a<a，故选A．

5．(2019·济南济钢中学高一期中测试)某种新药服用x h后血液中残留量为y mg，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240 mg时，治疗有效．设某人上午8∶00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　C　)

A．上午10∶00 B．中午12∶00

C．下午4∶00 D．下午6∶00

[解析]　由图象可知，当x∈[0,4]时，设y＝kx，代入点(4,320)，得320＝4k，∴k＝80，∴y＝80x.

当x∈[4,20]时，设y＝kx＋b，由题意得，

解得.∴y＝400－20x.

当x∈[0,4]时，由80x≥240，得3≤x≤4，

当x∈[4,20]时，由400－20x≥240，得4≤x≤8，

∴3≤x≤8.

∴第二次服药应在第一次服药8小时后，即当日16∶00时．

6．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为(　C　)

A．(1＋P)11 B．(1＋P)12

C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1

[解析]　设年平均增长率为x，

∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，

∴x＝(1＋P)12－1，故选C．

二、填空题

7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是__y＝x(x∈N＋)__.

[解析]　依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝a，∴y＝b·20%·x＝a·20% ·x，即y＝x(x∈N＋)．

8．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：

则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是__①__.

[解析]　若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得即解得经检验是最适合的函数模型．

三、解答题

9．某纪念章从2018年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．

[解析]　(1)选取②y＝ax2＋bx＋c.理由如下：

∵随着时间x的增加，y的值先减后增，

而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，∴选取y＝ax2＋bx＋c.

(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入y＝ax2＋bx＋c中，得

解得a＝，b＝－10，c＝126.

∴y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26，

∴当x＝20时，y有最小值ymin＝26.

故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元．

B组·素养提升

一、选择题

1．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度均加速开走，那么(　D　)

A．人可在7 s内追上汽车

B．人可在10 s内追上汽车

C．人追不上汽车，其间距最少为5 m

D．人追不上汽车，其间距最少为7 m

[解析]　设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D．

2．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率(×100%)由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(　B　)

A．12 B．15

C．25 D．50

[解析]　设原来的进货价为m元，则由题意得m(1＋r%)＝m(1－8%)[1＋(r＋10)%]，解得r＝15，故选B．

3．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是(　D　)

[解析]　水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D．

4．(多选题)下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是(　ABD　)

A．这几年生活水平逐年得到提高

B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年

C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2017年

D．虽然2018年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善

[解析]　由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2016～2017年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2017～2018年比较平缓，故C错；2018年“生活价格指数”降低，而“收入指数”上升．因此生活水平有较大改善，故D正确，故选ABD．

二、填空题

5．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__45__min，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．

[解析]　设过n个3 min后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15.

故时间为15×3＝45(min)．

6．(2019·济南济钢中学高一期中测试)生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间)为5 730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有__2 161__年．(参考数据：lg0.77＝－0.113 5，lg0.5＝－0.301 0，结果精确到年)

[解析]　设生物死亡的年数为x年，由题意得()＝77%，

∴＝log0.77＝＝＝，

∴x＝5 730×≈2 161.

∴该古墓距出土时约有2 161年．

三、解答题

7．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．

(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．

①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？

②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

[解析]　(1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．

由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.

根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．

g(x)＝2(x≥0)．

(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6.∴总利润y＝8.25万元．

②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．

则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.

令＝t，t∈[0,3]，

则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.

∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.

∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．