2019年人教版四川省自贡市中考数学试卷及答案解析

这是一份2019年人教版四川省自贡市中考数学试卷及答案解析，共19页。试卷主要包含了填空题，解答題等内容，欢迎下载使用。

2019年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣2019的倒数是（　　）
A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019
2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（　　）
A．2.3×104 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×105
3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）

A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞0
8．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1
9．（4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）

A． B． C． D．
11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（　　）

A． B． C． D．
12．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝　 　．

14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是　 　分．
15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝　 　．
16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　 　．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　 　．

18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　 　．

三、解答題（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：|﹣3|﹣4sin45°++（π﹣3）0
20．（8分）解方程：﹣＝1．
21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；（2）AE＝CE．

22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．
收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：
90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97
88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82
整理分析数据：
成绩x（单位：分）
频数（人数）
60≤x＜70
1
70≤x＜80
　 　
80≤x＜90
17
90≤x＜100
　 　

（1）请将图表中空缺的部分补充完整；
（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；
（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　 　．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．

24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝　 　；
（2）3+32+…+310＝　 　；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①线段DB和DG的数量关系是　 　；
②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．
（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．

26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．


2019年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．解：﹣2019的倒数是﹣．
故选：B．
2．解：23000＝2.3×104，
故选：A．
3．解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
4．解：∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定，
故选：B．
5．解：从上面观察可得到：．
故选：C．
6．解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
7．解：利用数轴得m＜0＜1＜n，
所以﹣m＞0，1﹣m＞1，mn＜0，m+1＜0．
故选：B．
8．解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，
解得m＞1．
故选：D．
9．解：∵一次函数y1＝ax+c图象过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣＞0，
∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；
∵反比例函数y2＝的图象在第一、三象限，
∴c＞0，
∴与y轴交点在x轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选：A．
10．解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．
故选：D．
11．解：连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC＝AB＝a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：＝≈，
故选：C．

12．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，

∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝＝，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝，
∴AH＝＝，
∴tan∠BAD＝＝＝，
故选：B．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．解：∵∠1＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝60°．
故答案为：60°．

14．解：这组数据的众数是90分，
故答案为：90．
15．解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
16．解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
，
故答案为：，
17．解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABE，
∴∠D＝∠CBE，
∴CD＝BC＝6，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∴CE＝AC＝×8＝3，
BE＝，
DE＝BE＝×＝，
故答案为．
18．解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°．
同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，
∴AD＝＝a，
∴cos（α+β）＝＝．
故答案为：．

三、解答題（共8个题，共78分）
19．解：原式＝3﹣4×+2+1＝3﹣2+2+1＝4．
20．解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等，
所以x＝2是原方程的解．
21．证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；

（2）∵＝，
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
22．解：（1）补全图表如下：

（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×＝120（人）；
（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6，
所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为，
故答案为：．
23．解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为y2＝；
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝＝3．
（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．

24．解：（1）设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，
25．解：（1）①DB＝DG，理由是：
∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，

由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∴∠G＝45°，
∴∠G＝∠CBD＝45°，
∴DB＝DG；
故答案为：DB＝DG；
②BF+BE＝BD，理由如下：
由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，
∴△FDG≌△EDB（ASA），
∴BE＝FG，
∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，
Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，
∴CD＝CG＝CB，
∵DG＝BD＝BC，
即BF+BE＝2BC＝BD；
（2）①如图2，BF+BE＝BD，
理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，
由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，
在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠DBG＝∠G＝30°，
∴DB＝DG，
∴△EDB≌△FDG（ASA），
∴BE＝FG，
∴BF+BE＝BF+FG＝BG，
过点D作DM⊥BG于点M，如图2，

∵BD＝DG，
∴BG＝2BM，
在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，
∴BD＝2DM．
设DM＝a，则BD＝2a，
DM＝a，
∴BG＝2a，
∴＝，
∴BG＝BD，
∴BF+BE＝BG＝BD；
②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，

Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，
∴AN＝1，BN＝，
∴BD＝2BN＝2，
∵DC∥BE，
∴＝，
∵CM+BM＝2，
∴BM＝，
Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，
∴BP＝3，
由旋转得：BD＝BF，
∴BF＝2BP＝6，
∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．
26．解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，
得，，
解得a＝﹣1，c＝3，
∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，
将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，
得，，
解得，k＝1，b＝1，
∴yAB＝x+1，
设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），
则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）
＝﹣（a﹣）2+，
根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，
∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK
＝MK•AH+MK•（xB﹣xH）
＝MK•（xB﹣xA）
＝××3
＝，
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，
S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；

（3）y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，
设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，
则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，
由题意可列：，
解得，a＝，
∴F（1，）．


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